2025-2026学年下学期甘肃兰州高三数学3月模拟试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期甘肃兰州高三数学3月模拟试卷含答案，共10页。试卷主要包含了 已知曲线 C等内容，欢迎下载使用。
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. )
1. 集合 A={x∣2≤x≤5,x∈Z},B={1,2,3,6} ,则图中阴影部分所表示的集合为

A. {2,3} B. {4,5}
C. {1,2,3,6} D. {2,3,4,5}
2. 已知函数 fx=2x,x≤0,x1+i,x>0 (i 是虚数单位),则 ff−1=
A. 14−14i B. 14+14i C. 1−i D. 1+i
3. 下列函数中,既是奇函数又在区间 0,1 上单调递增的是
A. y=ex B. y=x+1x C. y=lg2x D. y=x−1x
4. Sn 为等差数列 an 的前 n 项和. 若 S9−18=2S6−S3 ,则公差 d=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 在 △ABC 中, AB=2,BC=23,∠ABC=90∘,E 为 AC 边上靠近点 A 的三分点, F 为 AC 的中点,则 BE⋅BF=
A. 163 B. 143 C. 103 D. 83
6. 已知直线 l,m ,平面 α,β ,则下列说法正确的是
A. 若 α//β,m//α, 则 m//β B. 若 l//β,m//β,l⊂α,m⊂α ,则 α//β
C. 若 m⊥α,m⊥n ,则 n//α D. 若 m⊥α,n//α ,则 m⊥n
7. 为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了 A, B, C, D 共 4 个不同的国家立场, 由 4 名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动. 已知这 4 名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且 4 人心仪的国家立场互不相同, 则仅有 1 名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是
A. 4 B. 8 C. 12 D. 24
8. 已知曲线 C:x=3−3y2 ,则曲线上的点到直线 l:x+y+4=0 的距离的取值范围是
A. 322,522 B. 2,32 C. 322,6+422 D. 322,32
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 某校高一年级开设了文学社、科创社、体育社、艺术社、辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图(1)，(2)，其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取 20 名学生做问卷调查.

图(1)

图(2)
根据以上信息, 下列说法正确的是
A. 艺术社的学生人数有 120 人
B. 文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有 5 人
C. 从参加社团的学生中任选 1 人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 720
D. 调查结果显示文学社、科创社的满意率均为 0.7 , 其他社团的满意率均为 0.9 , 则社团活动总体满意率为 0.81
10. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,满足 2bcsC=2a−3c , 且 BA⋅BC=92 ,设 △ABC 外接圆半径为 R ,则下列结论正确的是
A. △ABC 的面积为 332 B. 当 b=3 时, R=3
C. 当 a=3 时, C=π6 D. b 的取值可能是 2
11. 已知函数 fx 是定义在 R 上的偶函数且在区间 0,3 上单调,函数 gx=x−3fx 的图象关于点 3,0 中心对称,则以下说法正确的是
A. fx+3=fx
B. 若 g1=−1 ，则 f5=12
C. 若 gx 在区间 0,2 上是增函数，则 gx 在区间 4,6 上是增函数
D. 若 f32=0 ，则 gx 在区间 −5,6 上的零点之和为 0
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 双曲线 C:x2a2−y24=1a>0 的右焦点为 22,0 ，则双曲线的渐近线方程为_____.
13. 正四面体 ABCD 的棱长为 6 ，过棱 AB 作平面 α 与棱 CD 平行，则平面 α 截该正四面体的外接球所得截面的面积为_____.
14. 已知函数 fx=1,x≥12,−1,xb>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,且 F1,F2 在椭圆 E1:x2+3y2=4 上，椭圆 E 与椭圆 E1 离心率相同.
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2) P 是椭圆 E1 上异于 F1 ， F2 的一点，过点 P 作直线 PF1 交椭圆 E 于点 A ， C ，作直线 PF2 交椭圆 E 于点 B,D .
i)证明: AC+BD 为定值;
ii) 若 ∠F1PF2=θ ，四边形 ABCD 的面积为 S ，求 Ssinθ 的最大值.
19. (17 分) 一项物理实验是向区域 Ω 中发射某种粒子,该粒子随机落于 Ω 中的任何位置, 且任意两个粒子落于何处互不影响. 当某个粒子落于 Ω 中特定区域 A 内时,则需对其进行检测,已知每个粒子落于 A 内的概率均为 1−1e ( e 是自然对数的底).
(1)若一次向 Ω 中发射 3 个粒子，求恰有 2 个粒子需要检测的概率；
(2)若向 Ω 中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于 A 内，就停止发射. X 表示粒子首次落于 A 内的发射次数， PX=i 表示第 i 次发射时粒子首次落于 A 内的概率，若 k=1mPX=k>9991000 ,求 m 的最小值; (参考数据: ln10≈2.303 )
(3)若一次向 Ω 中发射 nn∈N∗ 个粒子， X 表示落于 A 内的粒子个数， PX=i 表示有 i 个粒子落于 A 内的概率,求证: k=1nPX≤k=ne−1en+1 .
2026 年兰州市高三模拟考试 数学试题参考答案及评分参考
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. )
1. B 2. A 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. D

8.
已知曲线 C:x=3−3y2 ,整理得: x23+y2=1x≥0 如图所示: 椭圆的右半部分,则曲线上的点到直线 l :
x+y+4=0 距离可以转化为平行线间距离,做平行直线 l1 , 过椭圆下顶点时距离最大,此时 l1:x+y+1=0 ,距离的最小值为: 4−12=322 ,做平行直线 l2 ,与椭圆相切时距离最大,此时 l2:x+y−2=0 ,距离的最大值为: 62=32 .
故选: D
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分)
9. ABD 10. BCD 11. BC
11.因为函数 fx 是定义在 R 上的偶函数,所以 f−x=fx ,又因为函数 gx=x−3fx 的图象关于点 3,0 中心对称,所以 g3−x+g3+x=0 ,
即 3+x−3f3+x+3−x−3f3−x=0 ,所以 xf3+x−xf3−x=0 对于 x∈R 均成立,
所以 f3+x=f3−x ,结合 f−x=fx 得: f6+x=f3+3+x=f3−3+x=f−x=fx ,即 f6+x=fx.
对于选项 A: 由前推导知 A 错误.
对于选项 B: 因为 g1=−1 ,即 g1=1−3f1=−2f−5=−1 ,所以 f−5=12 ,
又因为 fx 是定义在 R 上的偶函数,所以 f5=12 ,即选项 B 正确.
对于选项 C:gx 在 0,2 上是增函数,当 x∈4,6 时, 6−x∈0,2 ,所以 g6−x 为减函数,
又因为 g6−x=−gx ,所以 gx 在 4,6 上是增函数,即选项 C 正确.
对于选项 D: 因为函数 fx 是在 R 上的偶函数且在 (0,3) 单调,且 f32=0 ,所以 f−32=0 ,
又因为 fx+6=fx ,所以当 x∈−5,6,f92=f−92=0 ,
又因为 gx=x−3fx ,所以 x∈−5,6,gx 的零点为 −92,−32,32,92,3
所以函数 gx 在 x∈−5,6,gx 的零点之和为 3,选项 D 错误,所以正确答案为 BC.
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
14.因为函数 fx=1,x≥12,−1,x0 对任意 x∈0,π2 恒成立,
令 gx=13x3−a+1x+2sinx ,则 g′x=x2−a+1+2csx ,
令 hx=x2−a+1+2csx ,则 h′x=2x−2sinx=2x−sinx ,
由于 x−sinx′=1−csx≥0 ,故 h′x 在 0,π2 为增函数,所以 h′x>h′0=0 ,
则 hx 在 0,π2 为增函数,所以 hx>h0=1−a ,即 g′x>1−a ,
当 1−a≥0 即 a≤1 时, g′x>0,gx 在 0,π2 为增函数,则 gx>g0=0 满足条件.
当 a>1 时,必存在 x0 ,使 x∈0,x0 时 gx9991000 ,则 1−1em>9991000 ,所以 em>103 ,解得: m>3ln10≈6.909 ,
所以 m 的最小值为 7 ; 11 分
(3)由题意可知 X∼Bn,1−1e ，
k=0nPX≤k=PX≤0+PX≤1+PX≤2+⋯+PX≤n
=n+1PX=0+nPX=1)+n−1PX=2⋯+(PX=n
因为 EX=0×PX=0+1×PX=1+2×PX=2+⋯+n×PX=n 且 Ex=n1−1e
所以 EX+k=0nPX≤k=i=0niPX=i+n+1PX=0+nPX=1)+⋯+PX=n
=n+1PX=0+PX=1+⋯+PX=n=n+1 ,
所以 k=1nPX≤k=n+1−EX−PX≤0=n+1−n1−1e−1en=ne−1en+1 17 分