2025-2026学年下学期陕西高三数学3月适应性检测二试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期陕西高三数学3月适应性检测二试卷含答案，共13页。试卷主要包含了 答卷前， 双曲线 E等内容，欢迎下载使用。
1. 答卷前. 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并将自己的姓名、准考证号座位号填写在本试卷上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑: 如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。
3. 作答非选择题时,将答案书写在答题卡上,书写在本试卷上无效。
4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是 正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 U=1,2,3,4,5,A=2,4,5,B=1,3,5 ,则 Λ∩C0B= ( )
A. 2 B. {2,4} C. 2,4,5 D. 1,2,3,4,5
2. 已知复数 z 满足 1−iz=−2i (i 是虚数单位),则 z 的虚部是( )
A. -1 B. -i C. 1 D. 2
3. 为研究某型号新能源汽车的耗电量(单位: kW⋅h/100 km )情况，随机调查得到了 1000 个该型号新能源汽车样本,据统计该型号新能源汽车的耗电量 ξ∼N13,1 ,若 P120 的离心率으 =223 . 以椭圆 C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 6 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 A 为椭圆 C 的上顶点， P 为椭圆上任意一点，求 AP 的最大值及此时点 P 坐标.
16. (15分)在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 acsB+3bsinA=c ，且 a=2b .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 c=15+3 ，求 △ABC 的面积.
17. (15 分) 如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形、 变 AA1=3 ，且 ∠A1AB=∠A1AD=120∘ .

(1)求证: BD⊥ 平面 ACC1A1 ；
(2)求平面 AB1C 与平面 ACC1A1 夹角的余弦值.
(第 17 题图)
18.(17分)甲、乙两入进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(先胜三局者获胜)，每局比赛甲获胜的概率为 p014=121−P121 ,故选项 C 不正确.
由 f′x=3x2−6ax+3=3x2−2ax+1 可知 f′x 不能恒小于 0,所以 fx 不能单调递减,故选项 D 不正确.
11.【答案】BCD
由抛物线方程 y=x2 知 F0,14 ,准线 l 方程为 y=−14 ,故选项 A 不正确; 由题意知 AB:y−14=kx ,代入 y=x2 得 x2−kx−14=0 ,设 Ax1,y1,Bx2,y2,MxM,yM ,则 xP=xM= 12x1+x2=k2 ,故抛物线 E 过点 P 的切线斜率 k′=x2′x=k2=k ,从而抛物线 E 过点 P 的切线与直线 AB 平行,故选项 B 正确.
由 xP=xV=k2 得 yM=kxM+14=k22+14,yP=xP2=k24 ,所以 MN=yM−yN=k22+12,MP=yM−yP= k22+14−k24=k24+14=12MN ,则 MP=PN ,故选项 C 正确.
S△OAB=12OAOBsin∠AOB=12x1y2−x2y1=12x1kx2+14−x2kx1+14=18x1−x2= 18x1+x22−4x1x2=18k2Γ=14 ,则 k2=3 ,解得 k=±3 ,故选项 D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.【答案】 y=ex,y=−ex .
当 x>0 时， y=ex ，在点 x1,ex1 处的切线方程为 y−ex1=ex1x−x1 . 由该切线经过原点， 则 −ex1=ex1−x1 ,解得 x1=1 ,此时切线方程为 y=ex .
当 x0 ,所以 max0,AP⋅n0AP=AP⋅n0AP=2.5AP .
从而 IP=100AP2⋅2.5AP=250AP3=250x−22+y−12+6.2532 .
当 x=2,y=1 时, IP 有最大值 2506.2532=16 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1)由题意得， 12×2a×2b=6,e=ca=223 ,又 c2=a2−b2 ,联立解得 a=3,b=1 . 所以，椭圆 C 的方程为: x29+y2=1 . (5 分)
(2) A0,1 ,设 Px,y 在椭圆上,则 y∈−1,1 且 x2=91−y2 ,则
AP2=x2+y−12=91−y2+y−12
=−8y2−2y+10 (7 分)
记 fy=−8y2−2y+10,y∈−1,1 .
fy 是开口向下的二次函数,对称轴为 y=−−22×−8=−18∈−1,1 , (9 分) 故当 y=−18 时, fy 取得最大值 f−18=818 ,
所以 AP 的最大值为 818=924 .
把 y=−18 代入 x29+y2=1 可得 x=±978 ,从而点 P 的坐标为 ±978,−18 . (13 分)
16. (1)已知 acsB+3bsinA=c ，由正弦定理得 sinAcsB+3sinBsinA=sinC ， (1 分) 由于 C=π−A+B ,故 sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB ,
故可得 sinAcsB+3sinBsinA=sinAcsB+csAsinB (2 分)
整理得 3sinBsinA=csAsinB , (4 分)
因为 B∈0,π ,所以 sinB≠0 ,两边同除以 sinB 得 3sinA=csA , (5 分)
即 tanA=33 , (6 分)
又因为 A∈0,π ,所以 A=π6 . (7 分)
(2)由 a=2b 及正弦定理知 sinA=2sinB ，由(1)中 A=π6 ，得 sinB=14 . (8 分)
因 a>b ,故 A>B,B 为锐角, csB=1−sin2B=154 . (9 分)
因 C=π−A−B=5π6−B ,故
sinC=sin5π6−B=sin5π6csB−cs5π6sinB=12×154+32×14=15+38 . (11 分)
由正弦定理 bsinB=csinC ,得 b=c⋅sinBsinC=15+3⋅1415+38=2 . (13 分)
则 a=2b=4 .
从而 △ABC 的面积 S=12absinC=12×4×2×15+38=15+32 . (15 分)
17. (1)以 A 为坐标原点, AB,AD 方向为 x . 轴， y 轴正方向， z 轴为经过点 A 且垂直于底面向上方向,建立空间直角坐标系,则 B2,0,0,D0,2,0,C2,2,0 . 由题意,
AA1,AB=AA1,AD=120​∘.AB=2,0,0,AD=0,2,0 . 不妨设 AA1=a′,b,c ,则
cs120∘=AA1⋅ABAA1⋅AB=2a6=−12 ,得 a=−32 .
cs120∘=AA1⋅ADAA1⋅AD=2b6=−12 ,得 b=−32 .
又 AA12=a2+b2+c2=9 ,联合可得 c=322 .
从而 AA1=−32,−32,322 ,又 BD=−2,2,0 . (3 分)
所以 BD⋅AA1=−2,2,0⋅−32,−32,322=3−3=0 ,所以 BD⊥AA1 . (5 分)
由正方形 ABCD 知 BD⊥AC ,且 AC∩AA1=A ,
所以 BD⊥ 平面 ACC1A1 . (7 分)
(2)由题意得 AB1=AB+BB1=AB+AA1=2,0,0+−32,3−2,322=12,−32,322,AC= 2,2,0 ,
设平面 AB1C 的法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅AB1=0,n⋅AC=0 可得 12x−32y+322z=0,2x+2y=0
取 x=32 ,则 y=−32,z=−4 ,从而 n=32,−32,−4 . (10 分)
由 (1) 知 BD⊥ 平面 ACC1A1 ,则平面 ACC1A1 的一个法向量为 BD=−2,2,0 . (11 分) 设平面 AB1C 与平面 ACC1A1 夹角为 θ ,则
csθ=n⋅BDn⋅BD=32,−32,−4⋅−2,2,0213×22=122426=31313 . (15 分)
18.(1)甲获得 3 分，当且仅当甲以 3:0或 3:1 获胜.
若甲以 3:0 获胜,则甲获胜的概率为 p3 ;
若甲以 3:1 获胜: 则前 3 局甲胜 2 局、负 1 局、且第 4 局甲胜,从而甲获胜的概率为 C32p2(1− p) p ;
因此甲获得 3 分的概率为 p3+C32p21−pp=p3+3p31−p=p34−3p . (5 分)
(2)当 p=12 ，甲的得分 X 可能取值为 0,1,2,3,
PX=3=−123+C32122×1−12×12=516, (6 分)
PX=2=C42122×1−122×12=316, (7 分)
PX=1=C42122×1−122×12=316, (8 分)
PX=0=1−123+C321−122×12×1−12=516. (9 分)
X 的分布列为
所以 EX=0×516+1×316+2×316+3×516=32 . (11 分)
(3)①由题意， Up=PX=1+PX=2=6p21−p3+6p31−p2=6p21−p2
又 U1−p=61−p2p2 ,
所以 Up=U1−p . (14 分)
② 设 t=p1−p ，则 t∈0,14 ，从而 Up=6t2 在 t∈0,14 上单调递增，
故当 t=14 ,即 p=12 时, Upmax=U12=38 . (17 分)
19. ( 1 )函数 fx 的定义域为 R，求导得 f′x=aex−1 (1 分)
由 f′x=0 得 x=−lna (3 分)
当 x∈−∞,−lna 时, f′x0 ,故 fx 单调递增.
综上, fx 的递减区间为 −∞,−lna ,递增区间为 −lna,+∞ . (5 分)
(2)由(1)得 fx极小值=f−lna=ae−lna−−lna=1+lna . (6 分)
当 x→−∞ 时, fx→+∞ ; 当 x→+∞ 时, f′x→+∞ ;
当 a>1e 时,极小值 f−lna=1+lna>0 ,此时 fx≥f−lna>0 ,无零点. (7 分)
当 a=1e 时,极小值 f−ln1e=f1=1e⋅e−1 ,此时 fx 在 x−1 处取得最小值 0,仅有 1 个
零点 x=1 . (9 分)
当 00 ,无零点. (7 分)
当 a=1e 时,极小值 f−ln1e=f1=1e⋅e−1 ,此时 fx 在 x−1 处取得最小值 0,仅有 1 个
零点 x=1 . (9 分)
当 00 ,故 gt 在 t>0 上单调递增, (16 分)
又因为 g0=0 ,从而 gt≥0 对所有的 t>0 成立.
因此, et−1−tet2≥0 ,即 et−1t≥e12 .
从而对于任意 x1≠x2 ,函数 fx 的图象上两点 Ax1,fx1 和 Bx2,fx2 满足 fx2−fx1x2−x1≥f′x1+x22. (17 分)X
0
1
2
3
P
5 16
3 -16
316
5 16