2026年 中考数学第一轮专项训练：三角形动点问题 [含答案]

这是一份2026年 中考数学第一轮专项训练：三角形动点问题 [含答案]，共22页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，已知直线y=−43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点C从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向匀速运动，同时动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t>0）．
（1）求△AOB的面积；
（2）用含有t的代数式表示C点的坐标；
（3）直接写出t为何值时，△ACD面积为845；
（4）直接写出△ACD与△AOB相似时t的值．
2．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AP= ，AQ= ．
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
3．如图，在△ABC中，O是AC边上的一个动点（不与点A，C重合），过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长．
（3）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
4．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=1时，直接写出P，Q两点间的距离．
（2）是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在t，使得△BPQ的面积等于10cm2，若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．
5．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，
（1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？
（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6cm，OB=8cm，点P从点B开始沿BA边向终点A以1cm/s的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1cm/s的速度移动.有一点到达终点，另一点也停止运动，若P、Q同时出发，运动时间为t（s）.
（1）用含t的代数式表示AP的长；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
7．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角α（0°＜α＜360°）．
（1）当DE⊥AC时，旋转角α＝ 度，AD与BC的位置关系是 ，AE与BC的位置关系是 ；
（2）当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（3）当旋转角α＝ 时，△ABD的面积最大．
8．如图所示，等边△ABC的边长为12cm，动点P以每秒2cm的速度从A向B匀速运动，动点Q以每秒1cm的速度从B向C匀速运动，两动点同时出发，当点P到达点B时，所有运动停止.设运动的时间为x秒.
（1）当运动时间为1秒时，PB＝ ，BQ＝ ；
（2）运动多少秒后，△PBQ恰好为等边三角形？
（3）运动多少秒后，△PBQ恰好为直角三角形？
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．动点P以2cm/s的速度沿射线BC运动，同时，点Q从点C出发，以acm/s的速度向终点A运动，当Q点停止运动时，P点也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示PC的长；
（2）若点Q的运动速度为1cm/s，当△CQP是以∠C为顶角的等腰三角形时，求t的值；
（3）当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP在某一时刻全等．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动.如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s.它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为t秒.
（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q点的三角形与 ΔABC 相似？
（2）如图2，Q在CB上，否存着某时刻，使得以点B、P、Q顶点的三角形与 ΔABC 相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
11．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
（1）经过多少秒，△BMN为等边三角形；
（2）经过多少秒，△BMN为直角三角形．
12．如图所示，在 Rt△ABC 中， ∠B=90° ， AB=6cm ， BC=8cm ，点P由点A出发，沿 AB 边以 1cm/s 的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿 BC 边以 2cm/s 的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问
（1）经过几秒后， △PBQ 的面积等于 8cm2 ？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是 53cm ？
13．如图，在 Rt△ABC 中， ∠B=90° ， AB=8cm ， BC=10cm ，点P由点A出发，沿 AB 边以 1cm/s 的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿 BC 边以 2cm/s 的速度向点C移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后， AP=CQ ？
（2）经过几秒后， △PBQ 的面积等于 15cm2 ？
14．如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．
（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；
（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；
（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示BD的长；
（2）求AB的长；
（3）求AB边上的高；
（4）当△BCD为等腰三角形时，求t的值
16．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D（﹣m，﹣m）为AC上的点（m＞0）
（1）试分别求出A，B，C三点的坐标；
（2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？请说明理由；
（3）如图2，若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，求∠APQ与∠PBQ的度数和．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：在y=−43x+8中，
当x=0时，y=8，
当y=0时，−43x+8=0，
解得：x=6，
∴A(6，0)，B(0，8)，
即OA=6，OB=8，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×6×8=24，
即△AOB的面积为24；
（2）解：如图：
过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，
∴CN∥x轴，CM∥y轴，
在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=10，
由题意可得，BC=t，则AC=10−t，
∴CNOA=BCAB，即CN6=t10，
解得：CN=35t，
CMOB=ACBC，即CM8=10−t10，
解得：CM=40−4t5，
∴C点坐标为(35t，40−4t5)；
（3）t的值为3时，△ACD的面积为845
（4）△ACD与△AOB相似时t的值为3013
2．【答案】（1）2t厘米；(16-3t)厘米
（2）解：∵∠PAQ=∠BAC，
∴当APAB=AQAC时，△APQ∽△ABC，即2t8=16−3t16，解得t=167；
当APAC=AQAB时，△APQ∽△ACB，即2t16=16−3t8，解得t=4．
∴运动时间为167秒或4秒．
3．【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
∵MN//BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠ACE=∠OEC，∠OFC=∠ACF，
∴OC=OE，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
∵∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF=180°，
∴∠ACE+∠ACF=90°，
即∠ECF=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴在Rt△CEF中，EF=CE2+CF2=122+52=13，
∵OE=OF=OC，
∴OC=6.5．
（3）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
∵OE=OF，O是AC的中点，OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．
4．【答案】（1）PQ=226cm
（2）解：∵∠B=90°，
∴△BPQ是等腰三角形时，只有BP=BQ，
由题意可知：BP=(11−t)cm，
∵Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴当0≤t≤4时，BQ=2tcm；当4＜t≤8时，BQ=(16−2t)cm；当8＜t≤11时，BQ=(2t−16)cm；
∵BP=BQ
∴11−t=2t，解得：t=113＞4，故不符合题意；
11−t=16−2t，解得：t=5，符合题意；
11−t=2t−16，解得：t=9，符合题意；
综上所述：t=5或t=9；
（3）解：假设存在t使得△BPQ的面积等于10cm2，
由（2）可知：BP=(11−t)cm，当0≤t≤4时，BQ=2tcm；当4＜t≤8时，BQ=(16−2t)cm；当8＜t≤11时，BQ=(2t−16)cm；
∴当0≤t≤4时，12×(11−t)×2t=10；解得：t=1或t=10（舍去）
当4＜t≤8时，12×(11−t)×(16−2t)=10，解得：t=6或t=13（舍去）；
当8＜t≤11时，12×(11−t)×(2t−16)=10，因为Δ＜0，故无解，
综上所述，当t=1或t=6时△BPQ的面积等于10cm2．
5．【答案】（1）解：设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有：12 （6-x）•2x=8，解得x1=2，x2=4，经检验，x1，x2均符合题意，
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2
（2）解：不能，理由如下：设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有：
S△ABC = 12 ×6×8=24，
12 （6﹣y）•2y=12，
y2﹣6y+12=0，∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分
6．【答案】（1）解：∵AO=6cm，BO=8cm，
∴AB=AO2+BO2=62+82=10（cm），
∵点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s，
∴AP=(10−t)cm，
∴AP的长为(10−t)cm.
（2）解：∵点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s，
∴AQ=t，AP=10−t，
①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，
∴APAO=AQAB，
即10−t6=t10，
解得t=254>6，舍去；
②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，
∴AQAO=APAB，
即t6=10−t10，
解得t=154，
综上所述，t=154秒时，△APQ与△AOB相似.
7．【答案】（1）45；垂直；平行
（2）解：如图所示
∵∠BAC=90° ， ∠DAE=90°
∴∠BAD=∠CAE
∵△ABC 与 △ADE 为等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠AED=45°
在 △ABD 与 △ACE 中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD ≌ △ACE(SAS)
∴∠ADB=∠AEC
∵∠ADB=180°−∠ADE=180°−45°=135°
∴∠AEC=135°
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=135°−45°=90°
（3）90° 或 270°
8．【答案】（1）10cm；1cm
（2）解：当BP＝BQ时，∵∠B＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴12﹣2t＝t，
解得t＝4s，
答：运动4s时，△PBQ是等边三角形.
（3）解：①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴PB＝2BQ，
∴12﹣2t＝2t，
解得t＝3，
②当∠BPQ＝90°时，∵∠BQP＝30°，
∴BQ＝2PB，
∴t＝2(12﹣2t)，
解得t＝ 245 ，
综上所述，当t＝3s或 245 s时，△PBQ是直角三角形.
9．【答案】（1）解：∵点P的运动速度为2cm/s，
∴BP=2t，
∴PC=10−2t；
（2）解：△CQP以∠C为顶角的等腰三角形，
则PC=CQ，
PC=10−2t，CQ=t，
即10−2t=t，
解得：t=103，
∴当t=103s时，△CQP是以∠C为顶角的等腰三角形；
（3）解：①当BP=CQ时，BD=CP，
此时△BPD≅△CQP，
根据题意可得：BP=2t，CQ=at，BD=13AB=6，PC=10−2t，
∴2t=at，6=10−2t，
解得：a=2，t=2，
②当BP≠CQ时，
∵△BPD与△CQP全等，∠B=∠C，
∴BP=CP=12BC=5，BD=CQ=6，
∴t=52s，
∴a=CQt=125cm/s，
综上可得：当Q的速度为2cm/s或125cm/s时，△BPD与△CQP在某一时刻全等．
10．【答案】（1）解：如图1，当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，
∴AQAC=APAB .
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB= AC2+BC2=82+62 =10（cm）.
∵BP=t，AQ=t，
∴PA=10-t，
∴t8=10−t10 ，
∴t= 409 ；
如图2，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB，
∴AQAB=APAC ，
∴t10=10−t8 ，
t= 509 .
综上所述，t= 409 或 509 时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）解：如图3，当△BPQ∽△BAC时，
∴BPAB=BQBC .
∵BQ=14-t，BP=t，
∴t10=14−t6 ，
∴t= 354 ，
当△BQP∽△BAC时，
∴BPBC=BQBA ，
∴t6=14−t10 ，
∴t= 214 ，
∵Q在CB上，
∴t>8，
∴t= 214 舍去，
∴t= 354 时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.
11．【答案】（1）设经过x秒，△BMN为等边三角形，
则AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝30－x，
根据题意得30－x＝2x，
解得x＝10，
答：经过10秒，△BMN为等边三角形；
（2）经过x秒，△BMN是直角三角形，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝ 12 BM，即2x＝ 12 (30－x)，
解得x＝6；
②当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝ 12 BN，即30－x＝ 12 ×2x，
解得x＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．
12．【答案】（1）解：设x秒后， ΔPBQ 面积为 8cm2 ，则 BP=6−x ， BQ=2x ，
由 12BP⋅BQ=8 可得 12(6−x)×2x=8 ，
解得 x1=2 ， x2=4 ；
答：经过2秒或4秒后， ΔPBQ 面积为 8cm2 ．
（2）解：设t秒后，P，Q两点间距离是 53cm ，
由勾股定理，得 BP2+BQ2=PQ2 ，即 (6−t)2+(2t)2=(53)2 ，
解得： t1=−1 （舍去） t2=175 ；
答： 175 秒后，P，Q两点间距离是 53cm ．
13．【答案】（1）解：设经过 x 秒后， AP=CQ ，则 AP=xcm ， CQ=(10−2x)cm
依题意，得 x=(10−2x) ，化简，得 3x=10 ，
解得 x=103 .
答：经过 103 秒后， AP=CQ .
（2）解：设经过 y 秒后， △PBQ 的面积等于 15cm2 ，则 BP=(8−y)cm,BQ=2ycm ，
依题意，得 12(8−y)×2y=15 ，
化简，得 y2−8y+15=0 ，
解得 y1=3,y2=5 .
答：经过3秒或5秒后， △PBQ 的面积等于 15cm2 .
14．【答案】（1）解：如图（1）当点A′落在边BC上时，由题意得 四边形AP A′D为平行四边形
∵△APD∽△ABC，AP=5x，
∴ A′P=AD=4x，PC=4－5x．
∵A′P//AB ∴△A′PC∽△ABC．
x＝ 2041 ．当点A′落在边BC上时， x＝ 2041
（2）解：当A′B＝BC时， (5−8x)2+(3x)2=32 ，
解得： x=40±12373 ．
∵ x≤ 45 ， ∴x=40−12373 ．
当A′B＝A′C时，x= 58 ．
（3）解：当A′B′⊥AB时，x= 514 ，A′B′= 514 ．当A′B′⊥BC时x= 1546 ，A′B′= 2546 ．
当A′B′⊥AC时x= 2053 ， A′B′= 2553
15．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，BC＝30cm，AC＝40cm，
根据勾股定理得，AB＝ AC2+BC2 ＝ 402+302 ＝50cm，
当点D运动到点A时，t＝ 502 ＝25秒，
∵点D的运动速度为2cm/s，
∴BD＝2t（0≤t≤25）
（2）解：由（1）知，AB＝50cm
（3）解：如图1，过点C作CE⊥AB于E，
根据三角形的面积得，S△ABC＝ 12 AC•BC＝ 12 AB•CE，
∴CE＝ AC⋅BCAB ＝ 40×3050 ＝24cm，
即：AB边上的高为24cm
（4）解：∵△BCD为等腰三角形，
∴①当BC＝BD时，由（1）知，BD＝2t，
∴2t＝30，
∴t＝15；
②当CD＝CB时，如图1，过点C作CE⊥BD于E，
∴BD＝2BE＝2t，
∴BE＝t，
∵∠BEC＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCA，
∴BEBC=BCAB ，
∴BE＝ BC2AB=30250 ＝18，
∴t＝18；
③当BD＝CD时，如图2，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD＝CD，DF⊥BC
∴BF＝CF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BFD＝90°，
∴DF∥AC，
即：DF是△ABC的中位线，
∴BD＝ 12 AB＝25，
∴2t＝25，
∴t＝12.5，
即：当△BCD是等腰三角形时，t的值为12.5秒或15秒或18秒．
16．【答案】（1）解：∵ABC面积为9，∴OA=OB=OC=3
∴A（﹣3，0），B（3，0），C（0，﹣3）；
（2）解：当t=3秒时，DP与DB垂直且相等．理由如下：连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，∵D（﹣m，﹣m），∴DM=DN=OM=ON=m，∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，∴DC=DO，∠ODC=90°∵∠ODB+∠BDC=∠CDP+∠BDC=90°∴∠ODB =∠CDP又∵DP=DB
∴△PCD≌△BOD（SAS）
∴ PC=BO又∵BO=3
∴ t=3 ；
（3）解：在QA上截取QS=QP，连接PS．
∵∠PQA=60°，
∴△QSP是等边三角形，
∴PS=PQ，∠SPQ=60°，
∵PO是AB的垂直平分线，
∴PA=PB而PA=AB，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠APS=∠BPQ，
∴△APS≌△BPQ，
∴∠PAS=∠PBQ，
∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．