2026年高考数学二轮专题复习09 解三角形（七大考点）试题（含答案）

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考点01：正余弦定理的应用条件
《正弦定理》
①正弦定理：
②变形：
③变形：
④变形：
⑤变形：
《余弦定理》
①余弦定理：
②变形：
核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角?
⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角
⑵当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边
⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题
⑷当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可
1．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则（ ）
A．B．4C．D．5
2．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
4．在锐角中，，，分别为三个内角所对的边，且，则角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．记的内角的对边分别为，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
7．在中，角的对边分别是，，则（ ）
A．B．C．D．
8．若的内角，，对边分别是，，，，且，则（ ）
A．外接圆的半径为B．的周长的最小值为
C．的面积的最大值为D．边的中线的最小值为
9．在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 .
10．已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为 .
考点02：三角形的多解问题
在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：


一解一解


两解无解
②若A为直角或钝角时：
11．记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（ ）
A．2B．C．D．4
12．在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若是边长为1的正三角形，则
B．若，则为等腰直角三角形
C．若，，，则这样的三角形有且只有两个
D．若，，为外心，则
13．在，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则必有两解
C．若是锐角三角形，则
D．若,则为锐角三角形
14．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则符合条件的恰有两个
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是直角三角形
15．已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若的三角形有两解
16．在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是（ ）
A．若，则的面积为B．若，则
C．若，则D．若有两解，则
17．在中，内角所对的边分别为,，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．当时，最小值为
C．当有两个解时，的取值范围是
D．当为锐角三角形时，的取值范围是
18．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，的三角形有两解，则的取值范围为
19．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，，，则符合条件的有两个
B．若，，，则符合条件的有且只有一个
C．若，则一定是锐角三角形
D．若，则一定是等腰三角形
20．在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为 ．
考点03：判断三角形形状问题
Ⅰ：特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：，
互余关系：，，；
（2）等腰三角形
，；
Ⅱ：用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
21．在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
22．在△ABC中，若c＝2a cs B，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．非等边三角形
23．若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
24．记的内角的对边分别为，则（ ）
A．当时，为直角三角形
B．当时，最大角与最小角之和为
C．当.时，
D．当时，为锐角三角形
25．在中，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若为锐角三角形，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若为钝角三角形，且，则的面积为或
26．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，则为等腰或直角三角形
C．若，则不一定为直角三角形
D．若，则解的个数为1
27．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，，且有唯一解，则或
D．若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9.
28．在中，角，，所对的边依次为，，，已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．为钝角三角形
C．若，则的面积是
D．若的外接圆半径是，内切圆半径为，则
29．已知 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 有两解
C．当时， 为直角三角形
D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是
30．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列叙述正确的是（ ）
A．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
B．若，则为钝角三角形
C．若不是直角三角形，则
D．若，则为等腰三角形
考点04：三角形面积定值问题
三角形面积公式
①
②其中分别为内切圆半径及的周长
推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式
③（为外接圆的半径）
推导：将代入可得
将代入
可得
④
⑤海伦公式（其中）
推导：根据余弦定理的推论
令，整理得
31．在中，，，，则的面积为 .
32．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ．
33．已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
34．已知锐角的内角的对边分别为，向量，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求．
35．的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
36．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求A；
(2)若D为上一点，平分，且，，求的面积.
37．已知的内角的对边分别为，.
3(1)求;
(2)若的面积为，求和.
38．在中，．
(1)求；
(2)若的面积是，求的最小值．
39．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
40．平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求四边形周长的取值范围；
(3)若为边上一点，且满足，，求的面积．
考点05：三角形面积最值问题
正规方法：面积公式+基本不等式
①
②
③
41．已知三个内角，，的对边分别是，，，且满足，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
42．在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，，则满足条件的△ABC有两个
C．若D是边BC上一点，满足，且，则△ABC面积的最大值为
D．若△ABC为锐角三角形，D是边BC上一点（不含端点），满足，则的取值范围是
43．在中，已知点满足.
(1)若，求的长度；
(2)若，求面积的取值范围.
44．在中，内角所对的边分别为，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值；
(3)求的值域
45．已知在中，，在线段上，且.
(1)若是的中点，求面积的最大值；
(2)若，求面积的最小值.
46．在中，为角对应的边，为的面积.且.
(1)求；
(2)若，求内切圆半径的最大值.
47．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
48．在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)若，且的面积为，求的长度；
(2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围.
49．如图，已知平面四边形中，.
(1)若四点共圆，求；
(2)求四边形面积的最大值.
50．在中，内角的对边分别是，，.
(1)求角的大小；
(2)设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长.
考点06： 三角形周长定值问题
类型一：已知一角与两边乘积模型
第一步：求两边乘积
第二步：利用余弦定理求出两边之和
类型二：已知一角与三角等量模型
第一步：求三角各自的大小
第二步：利用正弦定理求出三边的长度
51．在中，角所对的边为，已知.
(1)求；
(2)若，，求的周长.
52．在条件①，②，③中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
已知的内角，，的对边分别为，，，且满足______.
(1)求；
(2)的内角平分线交于点，若的面积为，，求的周长.
53．在中，，在边上，且.
(1)若，求的周长;
(2)求周长的最大值.
54．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)证明：是锐角三角形；
(2)若，求的周长．
55．在中，内角的对边分别为，已知，且．
(1)求A；
(2)已知角A的平分线交于点M，若，求的周长．
56．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，，求的周长.
57．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 且 .
(1)求角A的大小;
(2)若，且的面积为，求的周长.
58．在中，内角的对边分别为，且满足
(1)求；
(2)若的面积，求的周长.
59．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A；
(2)若，求的周长．
60．在中，角，，所对的边分别为，，，，.
(1)求的面积；
(2)若，求的周长.
考点07： 三角形周长最值问题
高端结论：在中，已知,
其中 分别是的系数，其中
周长往往求
则 其中
61．在中，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则有两解B．面积有最大值
C．若是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为D．周长最大值为6
62．已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（ ）
A．B．边的取值范围是
C．面积取值范围是D．周长取值范围是
63．在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则该三角形有两解
C．周长有最大值12D．面积有最小值
64．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，求的周长l的取值范围．
65．已知，，，函数，且在区间上的最大值为.
(1)求m的值；
(2)锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求的周长l的取值范围.
66．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)设，的面积为S，周长为L，求的最大值．
67．记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求a；
(2)若，求的周长l的取值范围．
68．设的内角所对边分别为，若．
(1)求的值;
(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积．
69．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若为锐角三角形，，求周长范围．
70．设的内角所对的边分别为，已知向量，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长取值范围．