高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项分布与超几何分布表格教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项分布与超几何分布表格教学设计，共7页。
7.4.2超几何分布
教材分析
超几何分布是一种离散型随机变量的分布，该概率模型的学习与简单随机抽样、样本空间、事件的关系与运算、概率的基本性质与计算、古典概型等基础知识紧密联系，是概率知识的综合应用的过程.教材将超几何分布的学习安排在离散型随机变量及其分布列、数字特征的一般性知识后，与二项分布构成一个课时单元，一方面体现了两个模型的重要性，另一方面也能突出两个模型的应用价值。在解决简单的实际问题的过程中，教材借助信息技术直观地帮助学生理解二项分布与超几何分布的区别与联系，体现了应用信息技术研究概率统计问题的内在需求。
学情分析
从知识基础来看，超几何分布模型是古典概率模型，学生在必修第二册第十章10.1《随机事件与概率》中已经对古典概型有了初步认识，本节以实例引入，学生不难得到其分布列。
从思维基础来看，学生在学习上一节《二项分布》时已经经历过从特殊到一般的推理方法，已经具备一定的数学建模素养，但运用类比、直观想象、数学抽样和计算验证等论证能力较为欠缺。
教学目标
1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，培养数学抽象素养.
2.能用超几何分布解决简单的实际问题，提升数学建模与数学运算素养.
教学重点：超几何分布的概念及应用。
教学难点：超几何分布与二项分布的区别与联系。
教学过程
（一）对比问题、探究方法
问题1：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
追问1：采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？如果服从，求出其分布列
如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X～B(4，0.08).所以的分布列为.
追问2：采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X是否服从二项分布？
采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.
师生活动：审视问题，明确差异，将问题分解为有放回和不放回两个随机试验的问题.
那如何求解其分布列呢，可以从样本空间出发，借助最开始的概率求解模型古典概型来进行求解。
复习：应用古典概型求概率包含哪些步骤？
师生活动：复习回顾古典概型求概率的基本步骤：①计算样本空间中样本点的个数，②计算符合条件的样本点的个数，③求比值.
问题2：已知100件产品中有8件次品，采用不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列.
师生活动：借助问题1的活动经验，引导学生在将“不放回抽取”理解为“一次性批量无顺序随机抽取”和“逐个有顺序依次抽取”的基础上，得到两种利用古典概型求解概率分布列的思路，进而组织学生分组根据两种不同的思路进行概率分布列的求解，开展数学探究活动.
师生活动：小组讨论3.5min，填写左侧表格，讲解思路。
思路1：“一次性批量无顺序随机抽取”求解概率分布列。
思路2：“逐个有顺序依次抽取”求解概率分布列。
具体活动结果如下表：
思考：两种思路下不同的分布列表达式之间有什么联系？
（二）抽象概括、生成概念
问题3：一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中不放回地随机抽取件产品，用表示抽取的件产品中的次品数，如何求的分布列？
师生活动：结合Venn图，仿照问题2的研究思路，抽象概括出一般情形下的分布列模型：
思考：你能结合Venn图的约束关系，探究随机变量取值的取值范围吗？
师生活动：结合图示，分析并求解随机变量的取值范围.具体过程如下：
由
得其中
超几何分布：从件产品中任取件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的，其中件产品中恰有件次品的结果数为.由古典概型的知识，得到的分布列为
知识辨析：
1.辨析 判断正误.
(1)超几何分布就是一种概率分布模型.( )
2.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，
则不出现二级品的概率为( )
(2)一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则取出的黑球个数X服从超几何分布.( )
（三）应用概念、解决问题
例1（教材例4） 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
师生活动：确定问题服从超几何分布，找准模型中的参数，，，规范表达例题1，并形成解题步骤：.
解：设表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则服从超几何分布，且，，. 因此，甲被选中的概率为
例2（教材例5） 一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
师生活动：借确定问题服从超几何分布，找准模型中的参数，，，规范表达例题2.
解：设抽取的10个零件中不合格品数为，则服从超几何分布，且，，. 的分布列为
至少有1件不合格的概率为：
间接法：
（四）直观猜想、推理论证
思考：你能结合Venn图和等比例分层抽样猜想超几何分布的均值吗？
师生活动：先结合Venn图猜想超几何分布的均值，再用代数证明.
猜想过程：，记，则.
证明过程：令，，由随机变量均值的定义：
当时，，
由上图可以得到，
所以，
当时，注意到（1）式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立.
（五）探究差异、深化认识
例3（教材例6）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.
(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
师生活动：学生分别运用二项分布和超几何分布解决有放回和不放回摸球的分布列.用信息技术计算两个分布列的概率值，展示并利用分布列计算误差不超过0.1的概率，总结分析二项分布与超几何分布的区别与联系，具体结果如下.
区别
（1）一般地,二项分布的模型是“独立重复试验”，是有放回抽样；而超几何分布的模型是不放回抽样.
（2）在相同的误差限制下，超几何分布的结果更可靠些.
（3）超几何分布更集中在均值附近.
联系
（1）二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律.
（2）二项分布和超几何分布的均值相同.
（3）对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，此时超几何分布可以用二项分布近似.
总结提升、巩固理解
布置作业、发展素养
课本作业：课本第80页练习1,2；课本第81页练习6
探究作业：请你举出两个服从超几何分布的随机变量的例子，并在Excel中计算分布列的概率；
课外拓展：我们今天所学的内容为称之为超几何分布，为什么这样命名，有没有“几何分布”？请大家自主查阅相关资料并进行交流．