专题四 平面向量——2026年高考数学二轮复习小讲练含答案

这是一份专题四 平面向量——2026年高考数学二轮复习小讲练含答案，共9页。试卷主要包含了平面向量的数量积，平面向量的重要性质及结论， 平面向量的重要公式，复数概念，复数的几何意义，设向量，，则，已知向量，，则等内容，欢迎下载使用。
常用向量
零向量：长度为0的向量
单位向量：长度为1个单位长度的向量，非零向量a的单位向量为
平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量
相等向量：长度相等且方向相同的向量
相反向量：长度相等且方向相反的向量
向量的线性运算
加法
加法法则：三角形法则、平行四边形法则
运算律：交换律、结合律
减法：
数乘运算律
交换律：
第一分配律：
第二分配律：
3.平面向量的数量积
（1）平面向量的数量积有两种运算形式：
a.数量积的定义：（其中为向量a，b的夹角）.
b.坐标运算：, 时，.
（2）投影
向量a在向量b方向上的投影为（其中为向量a，b的夹角）.
4.平面向量的重要性质及结论
（1）若a与b不共线，且，则.
（2）已知 (λ，μ为常数)，
则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1．
（3）若，则．
（4）若，则|eq \(AB,\s\up13(→))|＝．
（5）设θ为a与的夹角，且, ，则＝.
5. 平面向量的重要公式
两个非零向量平行、垂直的充要条件：若, ，则
（二）复数
1.复数概念
复数相等：
复数的模（运算性质）
的模
2.复数的几何意义
复数复平面内的点复平面内的向量
复数的运算
加法：
减法：
乘法：
除法：
易错易混
忽视向量共线、零向量等特殊情况
混淆两向量相等、平行和模相等的区别
未弄清向量的夹角致误
混淆复数的模与实数的绝对值致误
复数的几何意义认识不清致误
实战演练
1.已知与为非零向量，，，，若三点共线，则( )
A.0B.1C.2D.3
2.已知向量，，若，则( )
A.B.C.D.2
3.已知向量，，则( )
A.B.C.D.
4.已知向量，，若，则( )
A.5B.2C.3D.4
5.已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为( )
A.B.C.D.
6.如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是( )
A.18B.22C.D.
7.平面中两个向量，满足，，则在方向上的投影向量为( )
A.2B.C.D.-2
8.已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是的( )
A.重心、外心、垂心B.外心、重心、垂心
C.重心、外心、内心D.外心、重心、内心
9.（多选）设向量，，则( )
A.B.与的夹角是
C.D.向量在向量上的投影向量是
10.（多选）已知向量，，则( )
A.
B.
C.
D.在上的投影向量的坐标为
11.（多选）已知在平面直角坐标系中，点，.当P是线段的一个三等分点时，点P的坐标为( )
A.B.C.D.
12.（多选）已知向量，，则下列结论正确的是( )
A.若a与b方向相反，则
B.若，则
C.若，则b在a上的投影向量的坐标为
D.若，则a与b的夹角的余弦值为
13.如图，在正方形中，，点E，F分别为，的中点，点G在上，则________.
14.已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围____________.
15.已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数k的取值范围_________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意知，A，B，C三点共线，故，，且，共线，故不妨设，则，所以，解得，
故选：D
2.答案：B
解析：因为，，所以，，又，所以，解得.故选：B
3.答案：D
解析：因为，，则，所以，又，，所以，故选：D.
4.答案：B
解析：向量，，由，得，所以.故选：B.
5.答案：A
解析：由可得，将，代入可得，所以，故，由于，所以，故选：A.
6.答案：B
解析：
，.故选B
7.答案：B
解析：由题意得：，故在方向上的投影向量为 ，故选：B.
8.答案：B
解析：因为，所以O到顶点A，B，C的距离相等，所以点O为的外心；由，则，取的中点E，
则，所以，所以点N是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点P为的垂心.故选：B.
9.答案：BC
解析：对于选项A：因为，，则，，，即，故A错误；
对于选项B：可得，且，则，所以与的夹角是，故B正确；
对于选项C：因为，所以，故C正确；
对于选项D：向量在向量上的投影向量是，故D错误；故选：BC.
10.答案：ABD
解析：因，则，故A正确；
，则，则，故B正确；
，则，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确.故选：ABD
11.答案：AD
解析：设，则，当点P靠近点时，，
则，解得，所以，
当点P靠近点时，，则，解得，所以，故选：AD
12.答案：AC
解析：选项A：若a与b方向相反，则，解得，故A正确.
选项B：若，则，解得，故B错误.
选项C：若，则，，所以b在a上的投影向量的坐标为，故C正确.
选项D：若，则，，所以a与b的夹角的余弦值为，故D错误.故选：AC.
13.答案：4
解析：设，则.故答案为：4
14.答案：
解析：依题意可得，若向量与的夹角是钝角，可得且向量与不反向，所以，解得；当两向量方向相反时可得，且，解得；因此可得或；即实数的取值范围为.故答案为：
15.答案：
解析：向量，，且与的夹角为钝角，则（且排除反向共线情况）.当时，则，解得.当，反向共线时，，解得.综上所得，求实数k的取值范围为.故答案为：.