湖北黄石市2025-2026学年高二上学期2月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无
效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知直线 过点 ，且直线 的一个方向向量为 ，则直线 的方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 数列 的前四项依次是 3，33，333，3333，则数列 的通项公式可以是（ ）
A. B. C. D.
3. 双曲线 的焦距为 6，则 C 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，
请问尖头儿几盏灯”．意思是：一座七层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，
则塔的顶层共有几盏灯．若改问为塔底层，则灯有几何？（ ）
A. 96 B. 128 C. 192 D. 212
5. 已知点 为抛物线 上的动点，点 为圆 上的动点，点 为拋物线
的焦点，则 的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 已知四棱柱 的底面 ABCD 是正方形，以 为坐标原点，直线 AB，AD 分别为 x，y 轴，
过点 且与平面 ABCD 垂直的直线为 轴建立空间直角坐标系，若 ，则四棱柱
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的体积为（ ）
A. B. 12 C. 8 D. 4
7. 已知点 ，圆 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 为圆 一条弦，且 ，则 的面积最大值为
B. 过 且与圆 相切的直线 有且仅有 2 条
C. 为平面上的点且 ， 为圆 上的点，则 的最小值为 2
D. 为圆 上的点且 ，则点 的轨迹长度为
8. 已知 ，其中 .点 M，N 分别满足
，其中 ，直线 CM 与直线 DN 交于点 ，则下列选项中错误 是（
）
A. 直线 CM 与直线 DN 斜率乘积为 B. 当 时， 面积最大值为
C. 当 时，存在点 ，使得 D. 若 的最大值为
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9 已知方程 ，则（ ）
A. 当 时，方程表示椭圆 B. 当 时，方程表示双曲线
C. 方程可能表示两条直线 D. 方程表示的曲线不可能为抛物线
10. 如 图 ， 一 个 半 圆 柱 的 轴 截 面 为 矩 形 ， 点 E 在 上 底 面 上 ， 连 接 ， 若 ，
，该几何体的外接球的表面积为 ，则（ ）
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A.
B.
C. 面积为
D. 点 C 到平面 的距离为
11. 已知直线 ，圆 ，则有（ ）
A. 当 变化时，由所有的 所围成的区域的面积为
B. 当 变化时，由某三条这样的直线 所围成正三角形的面积值是唯一的
C. 为圆 上的点，则 到直线 的距离的最大值为 10
D. 当 变化时，与圆 相切的直线 可作 3 条
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知直线 .若 与 平行且不重合，则实数 ______.
13. 将一段长度为 1 的长绳均分为三段，去掉中间的一段，记为第 1 次操作；再将剩下的两段长绳分别均分
为三段，并各自去掉中间的一段，记为第 2 次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的长
绳均分为三段，同样各自去掉中间的那段；操作过程不断地进行下去．若第 次操作去掉的区间长度记为
，则 __________．
14. 已知双曲线 ，点 ，两个焦点为 ，离心率为 2，过 且垂直
于 的直线交双曲线 的左右两支分别于 D，E 两点， ，则 __________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，若圆 与 轴相切，且过点 ，圆心 在射线 上．
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（1）求圆 的标准方程；
（2）若直线 与圆 交于 A，B 两点，求 的面积.
16. 已知数列 满足 .
（1）求数列 的前 100 项和；
（2）求数列 的前 20 项和.
17. 图 1 是边长为 的正方形 ABCD，将 沿 AC 折起得到直二面角 ，如图 2 所示.
（1）求证： ；
（2）棱 BC 上存在一点 M，当 PM 与平面 ABC 所成角的正弦值为 时，求平面 PAM 与平面 ABC 所成
角的余弦值.
18. 已知等差数列 前 项和为 ，且 ，等比数列 前 项和
为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 前 项和 ；
（3）记 ，在数列 中是否存在互不相同的三项 （其中 m，k，p 成等差数列）成等比数
列？若存在，求出这三项，若不存在，说明理由.
19. 设圆 ，直线过点 且与 轴不重合， 交圆于 R，S 两点，过
作 的平行线交 于一点 ，设 .
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（1）证明点 的轨迹为椭圆，并写出其轨迹方程；
（2）在（1）条件下，若椭圆 的左右焦点分别为 分别为椭圆左右两顶点，过点
作直线与 轴垂直并交椭圆于上下两点 C，D，点 为 轴正半轴上一点，直线 AM 交 CD 所在直线于点
，连接 BP 并延长交 轴于点 .
（i）求椭圆 的方程；
（ii）若 E，F 为椭圆 上关于原点对称的两点（E，F 不与 C，D 重合），连接 CE，CF 并延长分别交直线
于点 H，G，求 面积的最小值.