湖北省黄冈市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共 4 页，19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列的递推公式依次迭代即可；
【详解】因为 ，所以 ，
则 .
故选：C.
2. 设正项等比数列 的公比为 ，则“ ”是“数列 为递增数列”的（ ）条件.
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
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【分析】根据等比数列 性质判断即可.
【详解】由题可知正项等比数列的通项公式为 .
当 且 时， ，因为 ，所以 ，此时数列是递增数列，充
分性成立；
如果数列是递增数列，需要满足 ，即 ，因为 ，两边同时除以 ，
得 ，必要性成立；
综上，“ ”是“数列 为递增数列”的充要条件.
故选：
3. 若双曲线 的离心率是椭圆 离心率的 6 倍，则正实数 的值为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的离心率计算公式即可求解．
【详解】椭圆 的离心率 ，
双曲线 的离心率
由题意可知 ，解得 ．
故选：D．
4. 圆 与圆 的公切线条数为（ ）
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
【答案】C
【解析】
【分析】判断两圆的位置关系，可得出两圆的公切线条数.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
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圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
， ，所以两个圆相交，
所以圆 与圆 的公切线条数为 条.
故选：C
5. 在四面体 中，设 ， ， ， 为 的中点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 .
【详解】由已知，
.
故选：A
6. 在空间直角坐标系中，过点 且以 为法向量的平面的方程可以表示为
，若平面 的方程为 ，则点 到平面 的
距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点到面的距离公式即可利用向量法求解．
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【详解】∵平面 的方程为 ，取平面 内一点 ，
则平面 的法向量为 ，又∵ ，∴ ，
∴点 Q 到平面 的距离为 ．
故选：B．
7. 一个口袋中装有大小形状相同的 个红球和 个白球，现从中不放回地依次取出两个小球，记事件
“第一次取出红球”，事件 “第二次取出红球”，事件 “两次取出颜色相同的小球”，事件
“两次取出颜色不同的小球”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件 与事件 互斥 B. 事件 与事件 相互独立
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据独立事件，互斥事件的定义进行判断，运用古典概型的概率计算即可.
【详解】设红球为 ，白球为 ，不放回取两次，所以可能的样本点为
共 个，
对于选项 A，事件 包含的样本点为 ，
事件 包含的样本点为 ，
包含的样本点为 ，两者可同时发生，不互斥，故 A 错误；
对于选项 B， ，
事件 包含的样本点为 共 个， ，
表示第一次取红球且两次不同色有 ，所以 .
因为 ，所以不独立，故 B 错误；
对于选项 C，事件 的样本点为 ， ， 的样本点为 ，
，则 ，故 C 正确；
对于选项 D， 表示两次不同色且第二次取红球的概率，满足的样本点为 ，
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所以 ， ，则 ，故 D 错误
故选：C
8. 实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 3 B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】设 ， ， ，问题转化为直线 上的动点 到直线 和点
的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可.
【详解】设 ， ， ，
表示直线 上的动点 到直线 和点 的距离之和，
令 关于直线 的对称点 ，则 ，可得 ，
所以 关于直线 的对称点 ，则 ，
当且仅当 时取等号，故所求最小值是 到 的距离为 .
选择：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 设等差数列 前 项和为 ， ， ，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
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C. 当 取最小值时， 或 D. 当 取最大值时，
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意列出方程求出首项及公差，得到通项公式、前 项和公式判断 AB，再由前 项和公式配
方判断 C，根据 的单调性判断 D.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
则由题意可得， ，解得 ，
所以 ，故 A 错误；
，故 B 正确；
由 可知，当且仅当 时， 取最小值，故 C 错误；
因为 ，所以当 时，数列 单调递增，故最大项为 ，当
时，数列 单调递增，且 ， ，所以当 取最大值时， ，
故 D 正确.
故选：BD
10. 已知点 为曲线 上的动点，则下列结论正确的有（ ）
A. 点 的轨迹为双曲线的一支
B. 设 ，则使 的点 有 个
C. 设 为原点，则直线 的斜率
D. 曲线 以 为中点的弦所在直线的方程为
【答案】ACD
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【解析】
【分析】利用双曲线的定义可判断 A 选项；化简曲线 的方程，利用两点间的距离公式求出点 的坐标，
可判断 B 选项；利用直线与双曲线的位置关系可判断 C 选项；利用点差法可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，记点 、 ，
则 ，
由双曲线的定义可知，点 的轨迹为双曲线的右支，A 对；
对于 B 选项，设曲线 的方程为 ，
则 ，可得 ，又因为 ，故 ，
所以曲线 的方程为 ，
，
解得 ，故 ，故满足 的点 只有一个，且 ，B 错；
对于 C 选项，若直线 的斜率不存在，且该直线为 轴，此时直线 与曲线 无公共点，
所以直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
关于 的方程 有正根，所以 ，解得 ，C 对；
对于 D 选项，设以 为中点的弦的端点为 、 ，
若直线 的斜率不存在，则 、 关于 轴对称，此时线段 的中点在 轴上，不符合题意，
所以直线 的斜率存在，由 ，
这两个等式作差得 ，
由题意可得 ， ，
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所以 ，
此时直线 的方程为 ，即 ，
联立 可得 ，
则 ，
由韦达定理可得 ， ，即 、 都为正数，符合题意.
综上所述，曲线 以 为中点的弦所在直线的方程为 ，D 对.
故选：ACD.
11. 在长方体 中， ， 为 的中点，则下列结论正确的有（
）
A. 记直线 与直线 ， ， 所成的角分别为 ， ， ，则
B. 过点 ， ， 的截面将长方体 分成两部分的体积之比为
C. 在平面 上存在唯一的点 使得
D. 若动点 在长方体的表面上且 ，则点 的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直以及线线角的定义，即可根据正弦值求解 A，根据截面过长方
体的体对角线，即可根据对称性求解 B，根据向量的运算律即可求解 C，根据点 的轨迹为长方体四个面上
的圆弧，即可根据弧长公式求解.
【详解】对于 A，由长方体的性质可得 平面 ， 平面 ， 平面 ，
故
故 ，A 错误；
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对于 B，取 的中点 ，连接 ， ，由于 ,
故四边形 为平行四边形，则过 B，E， 的截面为 ，
由于长方体的中心在截面 上，由长方体对称性知截面两侧的体积相等，B 正确；
对于 C，设线段 的中点为 ，则 ,
由于 ，故 ，当且仅当 是 的中点时等号成立，C 正确；
对于 D，当 时，点 Q 的轨迹是以 A 为球心的球面与长方体表面的交线，分别研究各个面可得 4
段圆弧，
面 和面 上均为半径为 1，圆心角为 的圆弧，
面 和面. 上均为半径为 ，圆心角为 的圆弧，
所以点 Q 的轨迹长度为 ，D 正确，
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等比数列 各项均为实数， ， ，则 ________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式计算即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由题可得 ，得 ，解得 ，
因为 ，且 ，又因为数列各项均为实数，所以 为实数，则 为正数，
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故 ，所以 ，
故答案为：
13. 过抛物线 焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点，则以弦 为直径的圆与直线 的交
点有________个．
【答案】
【解析】
【分析】结合抛物线的性质，求出以弦 为直径的圆的半径及圆心到直线的距离，比较两者即可得解．
【详解】可知抛物线 的焦点 坐标为 ，准线方程为 ，
设 ， ，以 AB 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，
， ，因此弦长 ，
圆心 为 AB 中点，故 ，
则圆心到直线 的距离为 ，
圆的半径 ，
所以以弦 AB 为直径的圆与直线 的交点个数为 0．
故答案为：0．
14. 设点集 ，从 中任取一点 满足 的
概率为________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理，计算出点集中所有元素的个数，根据等差中项的概念，判断三个数字的
关系，再根据分类加法计数原理，求出所有可能的结果，再根据古典概率计算公式，求结果即可.
【详解】可知点集 中不同的点的个数为 个，
从 中任取一点 满足 说明 ， ， 构成等差数列，
设公差为 ，当 时，即 ，符合条件的点共有８个；
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当 时，符合条件的点有 个；
当 时，符合条件的点有 个；
当 时，符合条件的点有 个；
当 时，无符合条件的点；
所以从 中任取一点 满足 的点共有 个.
所以事件的概率 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点 .
（1）求 外接圆 的标准方程；
（2）过点 作直线 与两坐标轴的正半轴相交，设 到 的距离分别为 ， ，求 的最大
值及此时直线 的方程.
【答案】（1）
（2）最大值为 ，
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得 ，得到 ，所以 外接圆圆心 是 的中点，
进而求得圆 D 的标准方程；
（2）设圆心 D 到直线 的距离为 ，由 为圆 的直径，得到 ，结合 ，当且仅当
时等号成立，求得 ，即可求得直线 的方程.
【小问 1 详解】
解：由点 ，可得 ，
则 ，所以 ，所以 外接圆圆心 是 的中点，
所以 ，即 ，半径 ，
所以圆 D 的标准方程为 .
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【小问 2 详解】
解：如图所示，设圆心 D 到直线 的距离为 ，
因为 为圆 的直径，可得 ，
可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为 .
因为 ，所以 ，所以直线 的方程为 .
16. 某公司招聘面试环节共设置了 4 道题目，应聘者需依次作答且回答各题是相互独立的，第 1 至 4 题分值
依次为 10，20，30，40 分，各题答对得满分，答错得 0 分.累计得分不低于 40 分即可结束面试并入围下一
环节，否则继续作答直至答完 4 道题目.已知应聘者甲能够答对各道题的概率分别是 0.8，0.6，0.5，0.2.
（1）求甲答完第 3 题就入围下一环节的概率；
（2）求甲没有入围下一环节的概率.
【答案】（1）0.46
（2）
【解析】
【分析】（1）在第 3 题时得分 分才能入围下一环节，要答完第 3 题分为以下情况：3 个题都答对，第 1
题答错、第 2 和 3 题答对，第 1 和 3 题答对、第 2 题答错
（2）甲没有入围，即答完 4 道题后累计得分 分，分以下几种情况：答对 0 题（得 0 分），只答对第 1
题（得 10 分），只答对第 2 题（得 20 分），只答对第 3 题（得 30 分），只答对第 1 题和第 2 题（得 30 分）
【小问 1 详解】
记“甲答对第 道题”为事件 ， ， ， ， ，
“甲答完第 3 题就入围”为事件 A，
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则
所以甲答完第 3 题就入围的概率为 0.46.
【小问 2 详解】
记“甲没入围”为事件 B，
17. 设数列 满足 ， ， .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由已知得 ，应用累乘法求通项公式即可；
（2）由（1）及已知得 ，应用错位相减法、等比数列前 n 项和公式求 .
【小问 1 详解】
因为 ， ，所以 ，
所以
，
所以 时， ，又 也符合，
故数列 的通项公式 ；
【小问 2 详解】
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因为 ，
于是 ，
，
相减得，
，
所以 .
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，点 是以 为直径的半圆周
上的动点（不过 ， ），平面 平面 .
（1）设平面 平面 ，证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 外接球的表面积；
（3）当二面角 的余弦值为 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先得到 平面 ，利用线面平行的性质得到 ，再利用线面平行的判定定理证
明即可；
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（2）分别取 ， 中点 ， ， 利用几何关系得到 ，则点 E 为三棱锥
外接球球心，半径 ，利用球的表面积公式即可求解；
（3）以 O 原点建立空间直角坐标系，设 ， ，则 ，利用二面角
的余弦值为 ，求解得到 ，再利用空间向量求解直线 与平面 所成角的正
弦值.
【小问 1 详解】
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ABCD.
【小问 2 详解】
因为平面 ABCD⊥平面 PAD， ，平面 平面 ， 平面
所以
分别取 ， 中点 ， ， ，所以 平面 ，则
所以
所以当点 P 半圆上运动时，
所以点 E 为三棱锥 外接球球心，半径
所以三棱锥 外接球的表面积 .
【小问 3 详解】
由（2）可建立 O 为圆心 OA 为 x 轴 OE 为 y 轴的空间直角坐标系，如图所示，设 ， ，
则 ， ， ， ，
， ， ，
取平面 的法向量
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设平面 的法向量 ，
由 ，取
所以
令 ，代入上式得 ，
所以 ，即 ， ，所以
所以 ，
所以
即直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值为 .
19. 已知平面上的动点 与点 、 连线的斜率之积为 ，过点 的直线 与点 的轨
迹交于 、 （ 在 轴上方）两点，直线 、 交于点 ，记 ， 的面积分别为 、
.
（1）求点 的轨迹方程；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）证明：点 在定直线上.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
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【分析】（1）设点 ，利用斜率公式化简可得点 的轨迹方程；
（2）设直线 的方程为 ，设 、 、 、 ，将该直线方程与椭圆
方程联立，列出韦达定理，根据 化简得出 ，代入韦达定理可求出 的值，即可得出直
线 的方程；
（3）求出直线 、 的方程，联立这两直线的方程，结合韦达定理求出点 的纵坐标，即可证得结论
成立.
【小问 1 详解】
设点 ，则 ，整理得 ，
又因为 ，所以点 的轨迹 的方程为 .
【小问 2 详解】
由题意可知直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，
设 、 、 、 ，
联立 得 ，
恒成立，
所以 ①， ②，
因为 、 、 ，则 ，
所以 ，所以 ，
代入①②两式得， ， ，
所以 ，解得 ，
结合 ， 知 ，所以 ，
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所以直线 的方程为 ，即 .
【小问 3 详解】
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
当 时，两式相除得 ，
所以 ，
由（2）中①②式可得 ，
所以 ，
所以 ，所以点 在定直线 上.