2026中考数学高频考点一轮复习：分式方程（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：分式方程（试题含解析），共20页。
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．（2025春•钱塘区）某工程队铺设一段长为600米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度______．设原计划每天铺设管道x米，可得方程600x=6001.5x+4．根据此情境．题中用“______”表示的缺失条件为（ ）
A．比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务
B．比原计划增加了50%，结果推迟4天完成任务
C．比原计划减少了50%，结果提前4天完成任务
D．比原计划减少了50%，结果推迟4天完成任务
3．（2025春•柯桥区）作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题：不难求得方程x+1x=3+13的解是x1＝3，x2=13；x+1x=4+14的解是x1＝4，x2=14；x+1x=5+15的解是x1＝5，x2=15；小涛同学仔细观察上述方程及其解，猜想得到：关于x的方程x+1x=m+1m（m≠0）的解是x1＝m，x2=1m．并尝试解关于x的方程x2-x+1x-1=m+1m-1．则小涛同学得到的正确的方程的解为（ ）
A．x1＝m，x2=1m-1B．x1＝m，x2=mm-1
C．x1＝m﹣1，x2=1m-1D．x1=m-1，x2=mm-1
4．（2024秋•乳山市）关于x的方程2x-1x-3-1=mx-3有增根，则m的值是（ ）
A．0B．5C．3D．3或5
5．（2025春•丽水期中）某学校改造过程中整修门口3000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路x m，可得方程3000x-10-3000x=15，则题目中用“…”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修10m，结果延期15天完成
B．每天比原计划多修10m，结果提前15天完成
C．每天比原计划少修10m，结果延期15天完成
D．每天比原计划少修10m，结果提前15天完成
6．（2025•湖北模拟）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A．900x=900x+3×2B．900x+1×2=900x-3
C．900x+1×2=900x+3D．900x+1=900x-3×2
7．（2025•龙江县三模）已知关于x的分式方程1-mx-1-2=21-x的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5且m≠﹣3B．m≥5且m≠﹣3C．m≤5且m≠3D．m≥5且m≠3
8．（2025春•萍乡）若关于x的分式方程a-1x-1=2的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a＞﹣1且a≠1C．a＜﹣1D．a≤﹣1
9．（2025•虞城县二模）为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”．某企业抓住机遇投资15万元购买并投放一批A型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放B型观光车，B型观光车的投放数量与A型观光车的投放数量相同，投资总费用减少10%，其中B型观光车的单价比A型观光车的单价少30元，则A型观光车的单价是多少元？设A型观光车的单价为x元，根据题意列方程正确的是（ ）
A．150000x=150000(1-10%)x-30B．150000x=150000(1+10%)x-30
C．150000x=150000(1-10%)x+30D．150000x=150000(1+10%)x+30
10．（2025•东明县一模）DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ）
A．1x+1x-2=1.2B．1x+1x+2=11.2
C．1x+1x-2=11.2D．x+（x﹣2）＝1.2
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•建邺区期中）若关于x的方程3x+a2x-1=2的解是正数，则a的取值范围是 ．
12．（2025春•两江新区）若关于x的不等式组5x-2＞3(x-4)x2+a≤5a-16-1有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程ay+3y-1-21-y=-3的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
13．（2025•任城区四模）若关于x的分式方程x-mx-1-3x=1无解，则m的值为 ．
14．（2025春•萍乡）某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20m，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为 ．
15．（2025•海淀区模拟）方程52x-3-1x=0的解为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025•越秀区三模）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买A款哪吒玩偶的个数与用900元购买B款哪吒玩偶个数相等，且B款哪吒玩偶单价比A款哪吒玩偶单价多3元．
（1）A，B款哪吒玩偶每个各多少元？
（2）试营业时计划购买A，B款哪吒玩偶共200个，其中A款哪吒玩偶的数量不超过B款哪吒玩偶数量的13，求购买A款玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？
17．（2025春•沙坪坝区）列方程解下列问题：
卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的43倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制．
（1）求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？
（2）卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？
18．（2025春•郑州）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某校为提高学生的阅读兴趣和满足学生的读书需求，现决定到书店购买A、B两类图书供学生阅读．已知A类图书单价比本B类图书单价少5元，用150元购买A类书与用180元购买B类书的数量相同．
（1）求A，B两类图书的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买A、B两类图书共100本，由于购买数量较多，书店给出了优惠方案：A类图书不少于30本时按8折优惠，B类图书不少于20本时按6折优惠，若该校要求A类图书不少于B类图书的1.5倍，且每类图书都必须购买，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
19．（2025春•东阳市）定义：形如x+abx=a+b(ab≠0)，两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如x+2x=3，其中a＝2，b＝1．
（1）试判断x+6x=-5，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解．
（2）若十字分式方程x-1x=3的解为x1＝a，x2＝b，求下列代数式的值：
①a2+3b；
②ba+ab．
20．（2025春•沭阳县）当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．2023年，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比：
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车每千米行驶费用 和纯电新能源车的每千米行驶费用 ．
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
中考数学一轮复习 分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•包河区）若关于x的方程axx-2=3+ax-2-x2-x的解为整数，且不等式组2x-3＞9x-a＜0无解，则这样的非负整数a有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先求出x=3+aa-1=1+4a-1，由于解为整数，则a﹣1＝1，﹣1，2，﹣2，4，﹣4，则a＝2，0，3，﹣1，5，﹣3，根据不等式组无解得a≤6，最后得出非负整数a为2，0，3，进而可得出答案．
【解答】解：去分母得：ax＝3+a+x，
x=3+aa-1=1+4a-1，
由于解为整数，则a﹣1＝1，﹣1，2，﹣2，4，﹣4，
则a＝2，0，3，﹣1，5，﹣3，
由于2x-3＞9x-a＜0无解，
则a≤6，
由于x≠2，即a≠5，
则a＝2，0，3，﹣1，﹣3，
∴非负整数a为2，0，3，
故选：A．
【点评】本题考查解分式方程，解不等式组，正确记进行计算是解题关键．
2．（2025春•钱塘区）某工程队铺设一段长为600米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度______．设原计划每天铺设管道x米，可得方程600x=6001.5x+4．根据此情境．题中用“______”表示的缺失条件为（ ）
A．比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务
B．比原计划增加了50%，结果推迟4天完成任务
C．比原计划减少了50%，结果提前4天完成任务
D．比原计划减少了50%，结果推迟4天完成任务
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】设原计划每天铺设管道x米，则1.5x表示实际每天铺设管道比原计划增加了50%，4就代表现在比原计划少的时间．
【解答】解：设实际每天铺设管道x米，
根据方程600x=6001.5x+4，
可知题中用“______”表示的缺失条件为比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．
故选：A．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断．
3．（2025春•柯桥区）作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题：不难求得方程x+1x=3+13的解是x1＝3，x2=13；x+1x=4+14的解是x1＝4，x2=14；x+1x=5+15的解是x1＝5，x2=15；小涛同学仔细观察上述方程及其解，猜想得到：关于x的方程x+1x=m+1m（m≠0）的解是x1＝m，x2=1m．并尝试解关于x的方程x2-x+1x-1=m+1m-1．则小涛同学得到的正确的方程的解为（ ）
A．x1＝m，x2=1m-1B．x1＝m，x2=mm-1
C．x1＝m﹣1，x2=1m-1D．x1=m-1，x2=mm-1
【考点】解分式方程；分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】对所求的方程进行变形，变为前面已经猜想证明的方程的形式，从而可以解答本题．
【解答】解：∵x2-x+1x-1=m+1m-1，
∴x(x-1)+1x-1=m+1m-1
∴x+1x-1=m+1m-1，
∴x﹣1+1x-1=m﹣1+1m-1，
∴x﹣1＝m﹣1或x﹣1=1m-1，
∴x1＝m，x2=mm-1．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确题意，利用猜想证明的方法解答本题．
4．（2024秋•乳山市）关于x的方程2x-1x-3-1=mx-3有增根，则m的值是（ ）
A．0B．5C．3D．3或5
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】解分式方程得出x＝m﹣2，再根据分式方程有增根得出x＝m﹣2＝3，求解即可．
【解答】解：2x-1x-3-1=mx-3，
去分母得：2x﹣1﹣（x﹣3）＝m，
解得：x＝m﹣2，
∵关于x的方程2x-1x-3-1=mx-3有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝m﹣2＝3，
∴m＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握以上知识点是关键．
5．（2025春•丽水期中）某学校改造过程中整修门口3000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路x m，可得方程3000x-10-3000x=15，则题目中用“…”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修10m，结果延期15天完成
B．每天比原计划多修10m，结果提前15天完成
C．每天比原计划少修10m，结果延期15天完成
D．每天比原计划少修10m，结果提前15天完成
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】由x代表的含义找出（x﹣10）代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论．
【解答】解：设实际每天整修道路x m，则（x﹣10）m表示原计划每天修的道路长度，
由题意可知，3000x-10表示原计划施工所需时间，3000x表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前15天完成．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键．
6．（2025•湖北模拟）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A．900x=900x+3×2B．900x+1×2=900x-3
C．900x+1×2=900x+3D．900x+1=900x-3×2
【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设规定时间为x天，分别表示出慢马和快马所需的时间，进而根据题意列出方程，即可求解．
【解答】解：设规定时间为x天，则所需的时间为（x﹣3）天，可列方程为：
900x+1×2=900x-3
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到等量关系．
7．（2025•龙江县三模）已知关于x的分式方程1-mx-1-2=21-x的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5且m≠﹣3B．m≥5且m≠﹣3C．m≤5且m≠3D．m≥5且m≠3
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可．
【解答】解：原分式方程可化为：1-mx-1-2=-2x-1，
去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，
解得x=5-m2，
∵分式方程解是非负数，
∴5-m2≥0，且5-m2≠1，
∴m的取值范围是：m≤5且m≠3，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含m的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，x﹣1≠0，列不等式组是解题关键．
8．（2025春•萍乡）若关于x的分式方程a-1x-1=2的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a＞﹣1且a≠1C．a＜﹣1D．a≤﹣1
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可．
【解答】解：去分母得：2x﹣2＝a﹣1，
解得：x=a+12，
∵方程的解是负数，
a+12＜0且a+12≠1，
解得：a＜﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解．熟练掌握该知识点是关键．
9．（2025•虞城县二模）为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”．某企业抓住机遇投资15万元购买并投放一批A型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放B型观光车，B型观光车的投放数量与A型观光车的投放数量相同，投资总费用减少10%，其中B型观光车的单价比A型观光车的单价少30元，则A型观光车的单价是多少元？设A型观光车的单价为x元，根据题意列方程正确的是（ ）
A．150000x=150000(1-10%)x-30
B．150000x=150000(1+10%)x-30
C．150000x=150000(1-10%)x+30
D．150000x=150000(1+10%)x+30
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】设A型单车每辆车的价格为x元，则B型单车每辆车的价格为（x﹣30）元，再根据B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少10%列出方程即可．
【解答】解：设A型单车每辆车的价格为x元，则设B型单车每辆车的价格为（x﹣30）元，
由题意得，150000x=150000(1-10%)x-30，
故选：A．
【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，理解题意是关键．
10．（2025•东明县一模）DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ）
A．1x+1x-2=1.2B．1x+1x+2=11.2
C．1x+1x-2=11.2D．x+（x﹣2）＝1.2
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设R1单独处理需要x小时，则R2单独处理数据的时间（x﹣2）小时，根据两队合作1.2小时完成，可得出方程．
【解答】解：依题意得1x+1x-2=11.2，
故选：C．
【点评】该题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•建邺区期中）若关于x的方程3x+a2x-1=2的解是正数，则a的取值范围是 a＞-2且a≠-32 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】a＞-2且a≠-32．
【分析】根据解分式方程的步骤进行解答即可．
【解答】解：在方程两边乘以（2x﹣1）得：3x+a＝2（2x﹣1），
∴x＝a+2，
∵方程的解是正数．
∴a+2＞02(a+2)-1≠0，
解得：a＞﹣2且 a≠﹣3，
∴a的取值范围是a＞-2且a≠-32，
故答案为：a＞-2且a≠-32．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是先确定方程的解，再建立关于a的不等式是求解即可．
12．（2025春•两江新区）若关于x的不等式组5x-2＞3(x-4)x2+a≤5a-16-1有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程ay+3y-1-21-y=-3的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ﹣4 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】先根据不等式组的整数解的个数求出a的范围，再根据分式方程的解为整数求出a的另一个范围，结合两个范围求解．
【解答】解：5x-2＞3(x-4)①x2+a≤5a-16-1②，
由①得：x＞﹣5，
由②得：x≤-a+73，
∴不等式组的解集为：-5＜x≤-a+73，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴-1≤-a+73＜0，
解得：﹣7＜a≤﹣4，
ay+3y-1-21-y=-3，
（ay+3）+2＝﹣3（y﹣1），
ay+3+2＝﹣3y+3，
（a+3）y＝﹣2，
∴y=-2a+3，
∵y≠1，
∴-2a+3≠1，解得：a≠﹣5，
∴﹣7＜a≤﹣4，且a≠﹣5，
∴﹣4＜a+3≤﹣1，且a+3≠﹣2，
∵y为整数，且a也为整数，
∴a+3＝﹣1，
∴a＝﹣4．
【点评】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
13．（2025•任城区四模）若关于x的分式方程x-mx-1-3x=1无解，则m的值为 ﹣2或1 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，
解得：（2+m）x＝3，
由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x=32+m=1，即m＝1，
综上，m的值为﹣2或1．
故答案为：﹣2或1
【点评】此题考查了分式方程的解，注意分母不为0这个条件．
14．（2025春•萍乡）某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20m，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为 60m ．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】60m．
【分析】设原计划每天铺设管道的长度为x m，由时间关系列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设原计划每天铺设管道的长度为x m，
由题意得：120x+600-120x+20=8，
解得：x＝60或x＝﹣5（舍去），
经检验，x＝60是所列方程的解，
即原计划每天铺设管道的长度为60m，
故答案为：60m．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15．（2025•海淀区模拟）方程52x-3-1x=0的解为 x＝﹣1 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣1．
【分析】先两边同时乘以x（2x﹣3）化为整式方程，然后解整式方程求出x值，再检验解答即可．
【解答】解：原方程去分母得：
5x﹣（2x﹣3）＝0，
解得x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是原方程的解，
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025•越秀区三模）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买A款哪吒玩偶的个数与用900元购买B款哪吒玩偶个数相等，且B款哪吒玩偶单价比A款哪吒玩偶单价多3元．
（1）A，B款哪吒玩偶每个各多少元？
（2）试营业时计划购买A，B款哪吒玩偶共200个，其中A款哪吒玩偶的数量不超过B款哪吒玩偶数量的13，求购买A款玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）A、B款哪吒玩偶每个各6元和9元；
（2）购买A款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元．
【分析】（1）设A款哪吒玩偶每个x元，则B款哪吒玩偶每个（x+3）元．根据用600元购买A款哪吒玩偶的个数与用900元购买B款哪吒玩偶个数相等为等量关系列出分式方程的解即可得出答案．
（2）设购买A款哪吒玩偶a个，则购买B款哪吒玩偶（200﹣a）个，根据其中A款哪吒玩偶的数量不超过B款哪吒玩偶数量的13列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设A款哪吒玩偶每个x元，则B款哪吒玩偶每个（x+3）元．
根据题意，得600x=900x+3，
解得x＝6．
经检验，x＝6是原分式方程的解，
∴6+3＝9（元），
∴A、B款哪吒玩偶每个各6元和9元；
（2）设购买A款哪吒玩偶a个，则购买B款哪吒玩偶（200﹣a）个，
依题意得：a≤13(200-a)，
解得a≤50，
∴1≤a≤50，且a为正整数．
根据题意，购买这批哪吒玩偶总费用w＝6a+9（200﹣a）＝﹣3a+1800，
∵﹣3＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵1≤a≤50，且a为正整数，
∴当a＝50时，w取最小值，此时w＝﹣3×50+1800＝1650，
即购买A款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元．
【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的一用以及一次函数的实际应用．
17．（2025春•沙坪坝区）列方程解下列问题：
卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的43倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制．
（1）求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？
（2）卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？
【考点】分式方程的应用；一元二次方程的应用．
【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制；
（2）需将该批卤鹅储藏3天后一次性售出．
【分析】（1）设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用（x﹣2）天完成卤制，根据甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的43倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为（99+3m）元，剩余（180﹣2m）只卤鹅，根据甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用（x﹣2）天完成卤制，
由题意得：160x-2=180x×43，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣2＝4，
答：甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制；
（2）设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为（99+3m）元，剩余（180﹣2m）只卤鹅，
由题意得：（99+3m）（180﹣2m）﹣60×180﹣324m＝7020，
整理得：m2﹣3m＝0，
解得：m1＝3，m2＝0（不符合题意，舍去），
答：需将该批卤鹅储藏3天后一次性售出．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
18．（2025春•郑州）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某校为提高学生的阅读兴趣和满足学生的读书需求，现决定到书店购买A、B两类图书供学生阅读．已知A类图书单价比本B类图书单价少5元，用150元购买A类书与用180元购买B类书的数量相同．
（1）求A，B两类图书的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买A、B两类图书共100本，由于购买数量较多，书店给出了优惠方案：A类图书不少于30本时按8折优惠，B类图书不少于20本时按6折优惠，若该校要求A类图书不少于B类图书的1.5倍，且每类图书都必须购买，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A类图书的单价为25元，B类图书的单价为30元；
（2）购买A类图书60本，B类图书40本时最省钱，理由见解析．
【分析】（1）设A类图书的单价为a元，则B类图书的单价为（a+5）元，根据用150元购买A类书与用180元购买B类书的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A类图书x本，则购买B类图书（120﹣x）本，根据A类图书不少于30本时按8折优惠，B类图书不少于20本时按6折优惠，若该校要求A类图书不少于B类图书的1.5倍，列出一元一次不等式组，解得60≤x≤80，再设购买总费用为w，根据题意列出w关于x的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设A类图书的单价为a元，则B类图书的单价为（a+5）元，
根据题意得：150a=180a+5，
解得：a＝25，
经检验，a＝25是所列分式方程的解，
∴a+5＝30，
答：A类图书的单价为25元，B类图书的单价为30元；
（2）购买A类图书60本，B类图书40本时最省钱，理由如下：
设购买A类图书x本，则购买B类图书（120﹣x）本，
由题意得：x≥30100-x≥20x≥1.5(100-x)，
解得：60≤x≤80，
设购买总费用为w，
由题意得：w＝25×0.8x+30×0.6（100﹣x）＝2x+1800，
∵2＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝60时，w有最小值，
此时，100﹣x＝40，
答：购买A类图书60本，B类图书40本时最省钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
19．（2025春•东阳市）定义：形如x+abx=a+b(ab≠0)，两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如x+2x=3，其中a＝2，b＝1．
（1）试判断x+6x=-5，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解．
（2）若十字分式方程x-1x=3的解为x1＝a，x2＝b，求下列代数式的值：
①a2+3b；
②ba+ab．
【考点】解分式方程；分式方程的定义；分式方程的解．
【专题】计算题；分式；分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）是，解答详见解析；（2）①10；②﹣11．
【分析】（1）先判断方程是不是十字分式方程，再求解分式方程；
（2）先根据十字分式方程的特点，得两根的关系，整体代入计算得结论．
【解答】解：（1）解分式方程x+6x=-5得，
x1＝﹣2，x2＝﹣3．
∵﹣2﹣3＝﹣5，（﹣2）（﹣3）＝6，
∴方程x+6x=-5是十字分式方程．
x+6x=-5，
去分母，得x2+5x+6＝0，
∴（x+2）（x+3）＝0．
∴x+2＝0或x+3＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．
经检验，﹣2、﹣3都是方程的解．
∴原分式方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣3．
（2）∵x-1x=3是十字分式方程，其解为x1＝a，x2＝b，
∴a-1a=3，a+b＝3，ab＝﹣1．
①∵a-1a=3，a+b＝3，
∴a2＝3a+1
∴a2+3b＝3a+3b+1
＝3（a+b）+1
＝3×3+1
＝10；
②ba+ab
=b2+a2ab
=(a+b)2ab-2
=9-1-2
＝﹣11．
【点评】本题主要考查了分式方程，掌握分式的加减运算、分式方程的解法是解决本题的关键．
20．（2025春•沭阳县）当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．2023年，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比：
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车每千米行驶费用 384a 和纯电新能源车的每千米行驶费用 54a ．
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；列代数式．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）①384a，54a；②燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元；
（2）当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低．
【分析】（1）根据题意分别列代数式即可；
（2）①根据燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，列出分式方程，解方程，即可解决问题；
②设每年行驶里程为x千米，根据买新能源车的年费用更低，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）由题意可知，燃油车每千米行驶费用为48×8a=384a（元），
纯电新能源车每千米行驶费用为90×0.6a=54a（元），
故答案为：384a，54a；
（2）①由题意得：384a-54a=0.55，
解得：a＝600，
经检验，a＝600 是分式方程的解，且符合题意，
∴384÷600＝0.64（元），54÷600＝0.09（元），
答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元；
②设每年行驶里程为x千米，
由题意得：0.64x+4800＞0.09x+8100，
解得：x＞6000，
答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查了分式方程的应用、列代数式一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确列出代数式；（2）①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
燃油车
纯电新能源车
油箱容积：48升
电池容量：90千瓦时
油价：8元/升
电价：0.6元/千瓦时
燃油车
纯电新能源车
油箱容积：48升
电池容量：90千瓦时
油价：8元/升
电价：0.6元/千瓦时