初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）5.1 矩形精品一课一练

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1.下列说法中，错误的是( A )
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.四个角都相等的四边形是矩形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是( A )
A.∠BAD=∠ABC
B.AB⊥BD
C.AC⊥BD
D.AB=BC
3.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD。下列条件能使四边形ABCD为矩形的是( C )
A.AB∥CDB.AC=BD
C.∠A=∠BD.∠A=∠D
【解析】 若AB∥CD，AD∥BC，
则四边形ABCD是平行四边形。
由AB=CD不能判定四边形ABCD为矩形，A不符合题意；
由AC=BD，AD∥BC不能得到四边形ABCD是平行四边形。
再由AB=CD不能判定四边形ABCD为矩形，B不符合题意；
∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180°。
若∠A=∠B，则∠A=∠B=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴AB的长为AD与BC间的距离。
∵AB=CD，∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形，C符合题意；
∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180°，∠D＋∠C=180°。
若∠A=∠D，则∠B=∠C。
又∵AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，D不符合题意。
4.如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是( D )
A.矩形的对角线相等
B.矩形的四个角是直角
C.对角线垂直的平行四边形是矩形
D.对角线相等的平行四边形是矩形
5.(3分)如图，将Rt△ABC沿斜边AB向右平移得到△DEF，BC与DF相交于点H， 延长AC，EF，两者相交于点G， 连结GH。若BD=2，GH=3， 则 AE的长为 8 。
【解析】 如答图，连结CF。
第5题答图
由平移的性质可知AC∥DF，BC∥EF，AD=CF=BE，
∴四边形CHFG是平行四边形。
∵∠ACB=90°，∴∠GCH=90°，
∴四边形CHFG为矩形，
∴CF=GH=3，∴AD=BE=3，
∴AE=AD＋DB＋BE=3＋2＋3=8。
6.(8分)如图，在▱ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE。求证：四边形BECD是矩形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB。
又∵BE=AB，∴BE=CD，
∴四边形BECD是平行四边形。
∵∠ABD=90°，∴∠DBE=90°，
∴▱BECD是矩形。
7.(8分)如图，在▱ABCD中，E，F为边BC上的两点，且BE=CF，AF=DE，求证：
(1)(4分)△ABF≌△DCE。
(2)(4分)四边形ABCD是矩形。
证明：(1)∵BE=CF，BF=BE＋EF，CE=CF＋EF，
∴BF=CE。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC。
在△ABF和△DCE中，∵AB=DC，BF=CE，AF=DE，
∴△ABF≌△DCE(SSS)。
(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠B＋∠C=180°，
∴∠B=∠C=90°，
∴▱ABCD是矩形。
8.(8分)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE=CF。
(1)(4分)求证：▱ABCD是矩形。
(2)(4分)若OD=13，CF=12，求BF的长。
解：(1)∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠BEO=∠CFO=90°。
又∵∠BOE=∠COF，BE=CF，
∴△BOE≌△COF(AAS)，
∴OB=OC。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形。
(2)∵OD=13，
∴OB=OC=OD=13。
∵CF=12，∴OF=OC2－CF2=5，
∴BF=OB＋OF=18。
9.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6。P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 32 。

第9题答图
【解析】 如答图，连结CP。
∵∠ACB=90°，AC=BC=6，
∴AB=AC2＋BC2=62＋62=62。
∵PD⊥BC，PE⊥AC，∴∠PDC=∠PEC=90°，
∴四边形CDPE是矩形，∴DE=CP。
由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，
此时，AP=BP，∴CP=12AB=32，
∴DE的最小值为32。
10.(8分)如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连结BE并延长，交CD的延长线于点F，连结BD，AF，已知AD=BF。
(1)(4分)求证：四边形ABDF为矩形。
(2)(4分)若CD=ED=3，求BD的长。
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，
∴∠BAE=∠FDE，∠ABE=∠DFE。
∵E为AD的中点，∴EA=ED。
在△ABE和△DFE中，
∵∠BAE=∠FDE，∠ABE=∠DFE，EA=ED，
∴△ABE≌△DFE(AAS)，
∴AB=FD。
又∵AB∥FD，
∴四边形ABDF是平行四边形。
又∵AD=BF，
∴四边形ABDF是矩形。
(2)由题意可知AB=CD=3，AD=2ED=6。
∵四边形ABDF是矩形，∴∠ABD=90°，
∴BD=AD2－AB2=62－32=33。
11.(8分)如图，在▱ABCD中，∠ACB=90°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE，交CD于点F。
(1)(4分)求证：四边形ACED是矩形。
(2)(4分)连结BF，若∠ABC=60°，CE=2，求BF的长。
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥BE。
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°，∠CAD=90°。
又∵DE⊥BC，即∠CED=90°，
∴四边形ACED是矩形。
(2)∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=CD=AB，AF=EF，AD=CE=CB=2。
又∵∠ABC=60°，∴△ABE是等边三角形，
∴BF⊥AE，AB=AE=BE=2CE=2×2=4，
∴∠AFB=90°，AF=12AE=12×4=2，
∴BF=AB2－AF2=42－22=23，
∴BF的长是23。
12.(8分)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点。
(1)(4分)求证：BE=DF。
(2)(4分)设ACBD=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由。
解：(1)如答图，连结DE，BF。
第12题答图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，AO=OC。
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO=12OA，OF=12OC，
∴EO=FO。
又∵BO=OD，∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF。
(2)当k=2时，四边形DEBF是矩形。理由如下：
由(1)知，四边形BFDE是平行四边形，
∴当BD=EF时，▱DEBF是矩形。
∵OE=12OA，OF=12OC，
∴EF=12AC，
∴当BD=12AC，即k=2时，四边形DEBF是矩形。
13.(8分)[推理能力]如图，在矩形ABCD中，AB=20 cm，BC=4 cm，点P从点A出发，沿A→B→C→D的路线以4 cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CD以1 cm/s的速度移动。点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止移动，设移动时间为t(s)。
(1)(4分)当t为何值时，四边形APQD是矩形？
(2)(4分)当t为何值时，PQ=5 cm？
解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，AB∥CD。
∵点P在折线AB－BC－CD上移动，点Q在CD上移动，显然，当点P移动到BC或CD上时，四边形APQD不是矩形，
∴点P在线段AB上，∴0≤t≤5。
当移动t(s)时，AP=4t(cm)，CQ=t(cm)，
∴DQ=(20－t)cm。
当4t=20－t，即t=4时，AP=DQ。
又∵AP∥DQ，
∴四边形APQD是平行四边形。
又∵∠A=90°，
∴▱APQD是矩形，
∴当t的值为4时，四边形APQD是矩形。
(2)如答图，过点Q作QH⊥AB于点H，连结PQ。
第13题答图
易知BC=QH=4 cm。
当点P在AB边上时，0≤t≤5，AP=4t(cm)，CQ=t(cm)，
∴PH=20－(4t＋t)=(20－5t)cm，或(4t＋t)－20=(5t－20)cm。
在Rt△QHP中，由勾股定理，得QH2＋PH2=PQ2，
即42＋(20－5t)2=52，或42＋(5t－20)2=52，
解得t=175或235；
当点P在BC边上时，5＜t≤6，显然PQ＞5 cm，不符合题意；
当点P在CD边上时，6＜t≤11，CP=(4t－24)cm，CQ=t(cm)，
∴PQ=∣(4t－24)－t∣=5，解得t=193或293。
综上所述，当t为175或235或193或293时，PQ=5 cm。
第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形
第2课时 矩形的判定
分值：74分