初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）1.2 平行四边形精品第二课时课时训练

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1．（2024八下·泗水期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BCB．AB∥CD，AB=CD
C．OA=OC，OB=ODD．AB∥CD，AD=BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由AB∥CD，AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意，
故选：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025八下·杭州期中）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵O是AC、BD的中点，
∴OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形)；
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论.
3．（2025八下·渌口月考）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故A选项不正确；
对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形；故B选项不正确；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项正确；
对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故D选项不正确；
故答案为：C．
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得答案.
4．（2024八下·新兴期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB∥DCB．AD=BCC．∠ABC=∠ADCD．∠DBC=∠BAD
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC，∠ABC=∠ADC，
∴A、B、C选项结论成立，不符合题意，
∵∠DBC=∠BAD无法证明，
∴D选项不一定成立，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024八下·罗定期中）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是 ．
【答案】如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；逆命题
【解析】【解答】解：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，
那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.
原命题中的条件“一个四边形是平行四边形”变为逆命题中的结论，原命题中的结论“它的对角线互相平分”变为逆命题中的条件。
因此，逆命题为：“如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形”。
故答案为：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.
【分析】
根据逆命题的定义，交换原命题中的条件和结论即可得出答案。
6．（2019八下·嘉定期末）已知四边形 ABCD ，点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点，且 OA=OC ，请再添加一个条件，使得四边形 ABCD 成为平行四边形，那么添加的条件可以是 ．（用数学符号语言表达）
【答案】OB=OD
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
∵OA=OC，
由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴可以是OB=OD（答案不唯一）．
故答案为：OB=OD（答案不唯一）．
【分析】由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案．
7．（2024八下·襄州月考）若AC=10，BD=8，AC与BD相交于点O，那么当AO= ，DO= 时，四边形ABCD是平行四边形.
【答案】5；4
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=12AC，DO=12BD，
∵AC=10，BD=8，
∴AO=5，DO=4.
故答案为：5，4.
【分析】根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，即可得到答案.
8．（2023八下·梁山期末）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，△ABC及AC边的中点O，求作：平行四边形ABCD．
小静的作法如下：
在数学课上，老师提出如下问题：
①连接BO并延长，在延长线上截取OD=BO；
②连接DA、DC．所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形．
老师说：“小静的作法正确”．
请回答：小静的作法正确的理由是 ．
【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
又由作图知：OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
【分析】由作图知道OB=OD，又知道OA=OC，故而根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定得到的四边形ABCD是平行四边形。
9．（2025八下·台山期中）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明：如图所示，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB−BE=OD−DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】首先在平行四边形ABCD中，得出OA=OC，OB=OD， 进而得出OE=OF， 再根据平行四边形的判定得出四边形AECF为平行四边形即可。
10．（2022八下·黄石月考）如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，连接DE，BF．求证：DE∥BF．
【答案】解：连接BE、DF和BD，BD与AC交于点O
∵四边形ABCD为平行四边形
∴BO=DO，AO=CO
∵AF=CE，
∴AF－AO=CE－CO
∴OF=OE
∴四边形DEBF为平行四边形
∴DE∥BF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质（对角线互相平分）、平行四边形的判定（对角线互相平分的四边形是平行四边形）以及平行线的判定.首先连接BE、DF和BD，BD与AC交于点O，根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，从而可证OF=OE，从而判定四边形DEBF为平行四边形，进而得到平行关系．
二、能力提升
11．如图， 在四边形 ABCD 中， AC，BD 交于点 O， 且 OA=OC，OB=OD， 则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB∥CDB．BC∥ADC．AB=ADD．BC=AD
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC.
故选项A，B，D正确，选项C不确定.
故答案为：C.
【分析】证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质对4个选项注意判断即可.
12．（2024八下·新会期末）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD//BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．6种B．5种C．4种D．3种
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
条件1：①AD//BC；②AD=BC ，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
条件2：③OA=OC；④OB=OD ，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
条件3：①AD//BC；③OA=OC ，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∵OA=OC，
∴△OAD≅△OCBAAS，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
条件4：①AD//BC；④OB=OD ，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∵OB=OD，
∴△OAD≅△OCBAAS，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：C.
【分析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
13．（2024八下·金沙期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要在对角线BD上找点E，F，分别连接AE，CE，CF，AF，使四边形AECF为平行四边形.现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（ ）
​​
甲方案：只需要满足BF=DE；
乙方案：只需要满足AE∥CF.
A．只有甲方案正确B．只有乙方案正确
C．甲、乙方案都正确D．甲、乙方案都不正确
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：甲方案：在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD．
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF．
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF．
在四边形AECF中，∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
乙方案：在▱ABCD中，OA=OC，∠AOE=∠COF．
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE与△COF中，
∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴AE=CF．
在四边形AECF中，∵AE∥CF、AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
观察选项，选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】甲方案：根据平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC，OB=OD；结合BF=DE推知OE=OF；在四边形AECF中，对角线互相平分，则该四边形是平行四边形；
乙方案：首先证明△AOE≌△COF，然后由该全等三角形的对应边相等推知AE=CF，则由“AE∥CF、AE=CF”可以判定四边形AECF为平行四边形．
14． 某人设计地砖图案， 拟以长为 22cm，16cm，18cm 的三条线段中的两条为对角线， 另一条为边，画出不同形状的平行四边形．他可以画出不同形状的平行四边形( )
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的对角线互相平分，且根据三角形三边之间的关系可知，分三种情况讨论：
①可用22cm，16cm的两条线段为对角线，18cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是11cm和8cm，11＋8＞18，因而能构成平行四边形；
②可用22cm，18cm的两条线段为对角线，16cm的线段为边作一平行四边形，根据11＋9＞16，能构成；
③可用16cm，18cm的两条线段为对角线，22cm的线段为边作一平行四边形，根据8＋9＜22，故不能构成．
∴可以画出形状不同的平行四边形个数为2个．
故答案为：B．
【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，可以知道这样的三角形的数量，再确定平行四边形的个数即可.
15．（2024八下·阆中期中） 四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD,AD∥BC；②AB=BC，AD=CD；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC；其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．4组B．3组C．2组D．1组
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】 ：
①AB∥CD,AD∥BC，根据平行四边形的定义判定这个四边形是平行四边形，故①符合题意；
②AB=BC，AD=CD不能判定这个四边形为平行四边形，故②不符合题意；
③AO=CO，BO=DO可判定这个四边形为平行四边形，故③符合题意；
④AB∥CD，AD=BC，不能判定这个四边形为平行四边形，故④不符合题意；
∴符合题意的有①③，总共2个，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的定义以及判定定理进行逐一判断即可求解.
16．（2025八下·成都月考）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB⊥BF,AB=8,BF=6,AC=16．求线段EF长．
【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥BF
∴∠ABF=90°
∵AB=8，BF=6
∴AF=AB2+BF2=82+62=10，
∵AC=16，
∴CF=AC−AF=16−10=6，
∵AE=CF，
∴EF=AF−AE=10−6=4．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接BD，根据平行四边形的性质可得OA=OC,OB=OD，根据已知AE=CF证得OE=OF，从而证得结论；
（2）根据勾股定理求出AF，然后求得CF，进而求出EF．
（1）证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥BF,AB=8,BF=6，
∴在Rt△ABF中，AF=AB2+BF2=82+62=10，
∵AC=16，
∴CF=AC−AF=16−10=6，
∵AE=CF，
∴EF=AF−AE=10−6=4．
17．（2025八下·东坡期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BO=DO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若CD=12，BD=26，AC⊥AB，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OBA=∠ODC，
在△OBA和△ODC中，
∠OBA=∠ODCBO=DO∠AOB=∠COD，
∴△OBA≌△ODCASA，
∴OA=OC，
∵BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=12，OB=12BD=13，OA=12AC，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴OA=OB2−AB2=132−122=5，
∴AC=10，
∴四边形ABCD的面积为AB×AC=12×10=120．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，利用ASA得到△OBA≌△ODC，即可得到OA=OC，进而证明结论即可；
（2）根据平行四边形性质可得AB=CD=12，OB=12BD=13，OA=12AC，利用勾股定理得到OA=5，即可得到AC=10，再根据平行四边形的面积公式计算解题．
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OBA=∠ODC，
在△OBA和△ODC中，
∠OBA=∠ODCBO=DO∠AOB=∠COD，
∴△OBA≌△ODCASA，
∴OA=OC，
∵BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=12，OB=12BD=13，OA=12AC，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴OA=OB2−AB2=132−122=5，
∴AC=10，
∴四边形ABCD的面积为AB×AC=12×10=120．
三、解答题
18．（2024八下·青羊期末）【问题背景】
（1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5，AD=2，AC=3，求BC的长．”经过小组合作交流，有同学提出以下思路：延长AD至E，使AD=DE，连接BE，请在此基础上完成求解过程．
【迁移应用】
（2）如图2，△ABC是等边三角形，点D是平面上一点，连接BD、CD，将BD绕点D沿逆时针方向旋转120°得到DF，连接AF，点E是AF中点，连接DE、CE．判断DE与CE的数量关系与位置关系，并证明．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，若CD=2，点M、N分别是DE、CE上的动点，且满足DM=CN，连接MN，点P为MN中点，连接DP，求线段DP的最小值．
【答案】（1）解：延长AD至E，使AD=DE，连接BE．
在△ADC和△EDB中
CD=BD∠ADC=∠EDBAD=DE
∴△ADC≌△EDBSAS，
∴AC=EB=3，AE=2AD=4，
∵AE2+BE2=32+42=25，AB2=52=25，
∴AE2+BE2=AB2，
∴∠E=90°（勾股定理逆定理）
∴BD=BE2+DE2=32+22=13，
∴BC=2BD=213．
（2）CE=3DE，且CE⊥DE．
证明：延长DE到G，令DE=GE，连接AG、CG、FG、AD，延长GA与DB相交于点H，与BC交于点T．
∵DE=GE，AE=FE，
∴四边形ADFG是平行四边形，
∴AG=DF，AG∥DF（也可证△DEF≌△GEA得AG=DF，AG∥DF），
∵BD=DF，∠BDF=120°，
∴BD=AG，∠H=180°−120°=60°，
∴∠H=∠ACB=60°，
∵∠ATC=∠BTH，
∴∠HBT=∠TAC，
∴∠DBC=∠GAC，
在△DBC与△GAC中，
AG=BD∠GAC=∠DBCAC=BC，
∴△DBC≌△GACSAS，
∴CD=CG，∠DCB=∠GCA，
∴∠GCD=∠ACB=60°，
∴△DCG是等边三角形．
∵DE=GE，
∴CE⊥DE（三线合一）且∠DCE=30°，
∴CD=2DE，
∴CE=CD2−DE2=3DE．
（3）延长DP到Q，令PQ=PD，连接NQ，CQ，延长CQ与DE相交于点R，过点D作DS⊥CR于点S．
∵PD=PQ，∠DPM=∠NPQ，PM=PN，
∴△DPM≌△QPNSAS，
∴DM=NQ=NC且∠MDP=∠NQP，
∴NQ∥DM，
∴∠DEN=∠ENQ=90°=∠CNQ，
∴CNQ为等腰直角三角形，∠NCQ=45°．
∴当DQ⊥CR时，DQ最小值为DS的长，则DP最小值为12DS，
∵CD=2，∠DCE=30°，CE⊥DE，
∴DE=12CD=1，CE=3DE=3=ER，CR=6，
根据S△DCR=12CR⋅DS=12DR⋅CE得
DS=DE+ER⋅CECR=3×3+16=6+22，
∴DP=12DS=6+24.
∴DP的最小值为6+24
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意，用边角边可证△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等可得AC=EB=3，AE=2AD=4，然后勾股定理分别计算AE2+BE2、AB2的值，根据勾股定理的逆定理可得∠E=90°，再用勾股定理计算即可求解；
（2）延长DE到G，令DE=GE，连接AG、CG、FG、AD，延长GA与DB相交于点H，与BC交于点T．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形ADFG是平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等可得AG=DF，AG∥DF，用边角边可证△DBC≌△GAC，由全答案教学的对应边（角）相等可得CD=CG，∠DCB=∠GCA，根据有两个角等于60度的三角形是等边三角形可得△DCG是等边三角形．由等边三角形的三线合一性质和含30度角的直角三角形的性质即可求解；
（3）延长DP到Q，令PQ=PD，连接NQ，CQ，延长CQ与DE相交于点R，过点D作DS⊥CR于点S．由题意，用边角边可证△DPM≌△QPN，由全等三角形的对应边（角）相等可得DM=NQ=NC且∠MDP=∠NQP，于是可得△CNQ为等腰直角三角形，∠NCQ=45°，则当DQ⊥CR时，DQ最小值为DS的长，则DP最小值为12DS，根据含30度角的直角三角形的性质求得DE=12CD=1，CE=3DE=3=ER，CR=6，然后根据等面积法求得DS即可求解．