专题19.3 二次根式的加法与减法（知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）解析版 初中数学人教版（2024）八年级下册

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【解析版】

知识荟萃 PAGEREF _Tc32384 \h 1
知识点梳理01：同类二次根式 PAGEREF _Tc2702 \h 1
知识点梳理02：二次根式的加减 PAGEREF _Tc39 \h 2
知识点梳理03：二次根式的混合运算 PAGEREF _Tc12413 \h 2
题型讲练 PAGEREF _Tc4295 \h 2
题型1：同类二次根式 PAGEREF _Tc28151 \h 2
题型2：二次根式的加减运算 PAGEREF _Tc9841 \h 3
题型3：二次根式的混合运算 PAGEREF _Tc28246 \h 4
题型4：分母有理化 PAGEREF _Tc24157 \h 5
题型5：已知字母的值，化简求值 PAGEREF _Tc9236 \h 7
题型6：已知条件式，化简求值 PAGEREF _Tc2745 \h 8
题型7：比较二次根式的大小 PAGEREF _Tc989 \h 9
题型8：二次根式的应用 PAGEREF _Tc21486 \h 11
题型9：复合二次根式的化简 PAGEREF _Tc10546 \h 12
中考真题 PAGEREF _Tc12590 \h 13
分层训练 PAGEREF _Tc14676 \h 17
基础夯实 PAGEREF _Tc23105 \h 17
培优拔高 PAGEREF _Tc15947 \h 21


知识点梳理01：同类二次根式
同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如












知识点梳理02：二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点梳理03：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）

题型1：同类二次根式
【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若与最简二次根式可以合并，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二根式的定义是解题的关键，根据同类二次根式的定义解题即可．
【规范解答】解：∵ 与 可以合并，
∴，
解得：．
故选：A．
【变式训练1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是
【答案】3
【思路点拨】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值．
【规范解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，
故答案为：3．
【变式训练2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，即可解答．
【规范解答】解：A、 ，
与不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、 ，
与是同类二次根式，故B符合题意；
C、 ，
与不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、 ，
与不是同类二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
题型2：二次根式的加减运算
【典例精讲】（23-24八年级下·河南新乡·期中）若，则表示实数a的点会落在数轴的（ ）

A．段①上B．段②上C．段③上
【答案】B
【思路点拨】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出的值，再估算出范围，再结合数轴即可得出结果．
【规范解答】解：∵，即，
，
，
，即，
故实数的点会落在数轴的段②上，
故选：B．
【变式训练1】（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ．
【答案】
【思路点拨】本题主要考查二次根式的化简与减法运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的减法运算即可求解．
【规范解答】解：．
故答案为：．
【变式训练2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【思路点拨】本题考查二次根式的运算性质，根据二次根式乘方、加减、乘法和平方根的性质求解即可．
【规范解答】解：选项A：，本选项计算错误．
选项B：，本选项计算错误．
选项C：，而，，本选项计算错误．
选项D：，与右边相等，本选项计算正确．
故选：D．
题型3：二次根式的混合运算
【典例精讲】（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式和完全平方公式化简后再进行加减运算即可．
【规范解答】解：


．
【变式训练1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）计算：．
【答案】7
【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，以及负整数指数幂和零指数幂，解题的关键是正确化简二次根式．
先化简二次根式和计算零指数幂、负整数指数幂，再进行括号内二次根式的减法运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算．
【规范解答】解：



．
【变式训练2】（24-25八年级下·云南红河·期末）计算：．
【答案】
【思路点拨】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键；因此此题可根据二次根式的混合运算法则进行求解．
【规范解答】解：原式

．
题型4：分母有理化
【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】化简结果：，原式
【思路点拨】本题考查了分式的除法运算和二次根式的化简，熟知运算法则是解题的关键．先将分式的除法运算转化为乘法运算并约分，再将a的值代入计算即可．
【规范解答】解：


，
当时，原式．
【变式训练1】（25-26八年级下·四川成都·月考）比较大小： （填“”、“”或“”）．
【答案】
【思路点拨】本题考查了无理数的大小比较，分母有理化，通过有理化分母，将 化简为 ，再比较与 的大小．
【规范解答】解：


．
由于 ，故 ，
因此 ．
故答案为 ：．
【变式训练2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
【规范解答】解：


，
当时，原式=．
题型5：已知字母的值，化简求值
【典例精讲】（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值．
(1)．
(2)．
【答案】(1)4
(2)
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据，将的值代入计算即可得；
（2）根据，将的值代入计算即可得．
【规范解答】（1）解：∵，，
∴



．
（2）解：∵，，
∴



．
【变式训练1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若，，求代数式的值．
【答案】13
【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值．先求得和的值，再化简得到，然后整体代入求解即可．
【规范解答】解：∵，，
∴，，
∴．
【变式训练2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若，则代数式的值为 ．
【答案】8
【思路点拨】本题考查了完全平方公式变形求值、二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用配方法可得，再代入计算即可得．
【规范解答】解：∵，
∴




，
故答案为：8．
题型6：已知条件式，化简求值
【典例精讲】（24-25八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求的值．
【答案】
【思路点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键．先化简，再分、同正或同负两种情况作答．
【规范解答】解：，
、同号，
原式，
当时，原式；
当时，原式；
故原式．
【变式训练1】（24-25八年级下·山东日照·月考）已知，，求的值．
【答案】
【思路点拨】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，由条件可得，再计算分式的混合运算，最后代入计算即可．
【规范解答】解：∵，
，
∴，
∴


；



.
【变式训练2】（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为 ．
【答案】9
【思路点拨】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可．
【规范解答】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：9．
题型7：比较二次根式的大小
【典例精讲】（24-25八年级下·湖北十堰·月考）比较大小： ．
【答案】
【思路点拨】本题考查比较二次根式的大小．先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可．
【规范解答】解：，，，
，
即，
故答案为：．
【变式训练1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“