专题03 二次根式的加法与减法（八大题型）（题型训练+易错精练） 初中数学人教版（2024）八年级下册（含解析）

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【题型2 二次根式的加减运算】
【题型3 二次根式的混合运算】
【题型4 分母有理化】
【题型5 已知字母的值，化简求值】
【题型6 已知条件式，化简求值】
【题型7 比较二次根式的大小】
【题型8 二次根式的应用】
【题型9 复合二次根式的化简】

【题型1 同类二次根式】
1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意；
B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意；
C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意；
D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意．
故选：B．
2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式化简，同类二次根式；找出与是同类二次根式的选项，即化简后被开方数均为2的二次根式即可．
【详解】解：A、，被开方数为3，故A不符合题意；
B、，被开方数为2，故B符合题意；
C、，是整式，不是二次根式，故C不符合题意；
D、，被开方数为3，故D不符合题意．
故选：B.
3．下列各式与可以合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质及同类二次根式是解题的关键；判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后根号内的数相同，先将化简，再逐一检查各选项化简后的结果即可．
【详解】解：∵，
∴选项A：，
选项B：，
选项C：，
选项D：，
∴只有选项C化简后根号内为2，与化简后的被开方数相同，可以合并；
故选C．
4．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的计算，准确计算是解题的关键．
两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同，先将化为最简形式，得到，从而确定被开方数为2．
【详解】∵ ，且与可以合并，
∴ 与是同类二次根式，
∴ ，
∴，
∴ ，
故选：A．
5．已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的概念，解题关键是明确“只有同类二次根式才能合并”，从而确定被开方数相等，建立方程求解．
先将化为最简二次根式，根据同类二次根式才能合并，可知与​的最简形式是同类二次根式，进而建立等式求解．
【详解】解：．
∵最简二次根式能与另一个二次根式合并得到，
∴​是的同类二次根式，且是最简二次根式，因此有：


．
故答案为：．
【题型2 二次根式的加减运算】
1．计算：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
先去括号，然后合并同类二次根式，即可得出答案．
【详解】解：原式．
2．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）先去括号，再将二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式；
（3）把每个二次根式化简后，合并同类二次根式；
（4）先化简各二次根式，再合并同类二次根式．
【详解】（1）解：原式=

．
（2）解：原式=

．
（3）解：原式=

．
（4）解：原式=

．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先将二次根式化为最简形式，再准确合并同类二次根式．
3．计算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答．
（2）先根据二次根式的性质进行化简，再去括号，最后运算加减法，即可作答．
【详解】（1）解：


；
（2）解：



．
4.计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算．
（2）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算．
（3）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算．
（4）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算．
【详解】（1）解：

．
（2）解：

．
（3）解：

．
（4）解：


．
5．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握先将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式是解题的关键．
（1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）把所有二次根式化为最简形式，去括号后合并同类二次根式；
（3）先化简绝对值，再将二次根式化为最简，去括号后合并同类二次根式．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
6．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，
对于（1），根据乘法分配律，二次根式的乘法法则计算；
对于（2），根据，再根据完全平方公式计算，然后根据二次根式的加减法计算即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：


．
【题型3 二次根式的混合运算】
1．计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键．
首先计算完全平方公式和二次根式的乘除，然后合并即可．
【详解】解得：



．
2．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的乘除法法则计算，再根据二次根式的性质化简，然后计算加减即可．
【详解】解：



．
3．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）先计算乘法，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：


（2）解：


4．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则，进行求解即可；
（2）根据二次根式混合运算法则，进行求解即可．
【详解】（1）解：



；
（2）解：


．
5．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算.
（1）先计算二次根式的乘除运算，再计算加减运算即可.
（2）先计算二次根式的乘法运算，再计算加减运算即可.
【详解】（1）解：


.
（2）解：


.
6．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式，再计算乘法，然后计算加减法即可得；
（2）先利用乘法公式计算，再计算加减法即可得．
【详解】（1）解：原式

．
（2）解：原式

．
7．已知；，求：的值
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式混合运算，分母有理数化，根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：




．
8．已知．
(1)计算________；________；________．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先分母有理化可得，，再代入计算即可求解；
（2）由（1）得：，，然后根据完全平方公式变形，再代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
，
故答案为：，6，；
（2）解：由（1）得：，，
∴．

【题型4 分母有理化】
1．阅读下列解题过程：，
，请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出_____；
(2)利用上面的解法，请化简：

【答案】(1)
(2)9
【分析】本题考查了分母有理化的规律，熟练掌握根式的分母有理化的化简方法是解题的关键．
（1）观察解题过程，发现分母有理化的规律，进行化简求解即可；
（2）仿照题干中的解题过程得到的规律化简序列，再将每个分数按照规律化简计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得，根据分母有理化的方法，分子、分母同时乘以得：
，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，对于每个正整数，都有，
则



．
2．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是______；化简______；
(2)计算：______；
(3)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查二次根式的有理化因式、化简计算以及大小比较，熟练掌握有理化因式是解题的关键．
（1）利用平方差公式求有理化因式和分母有理化即可；
（2）通过有理化将每个项转化为差的形式，利用望远镜求和计算即可；
（3）通过有理化将差值转化为倒数形式，比较分母大小得出结论即可．
【详解】（1）解：，
则的有理化因式是，
，
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：对于任意的正整数，有，
则




故答案为：；
（3）解：设、，
则，
，
由于，
则，即，
因此．

【题型5 已知字母的值，化简求值】
1．已知，，则化简的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值．
【详解】解：由，，可知，
则，
又∵，
∴．
故选：C．
2．已知：，则的值为 ．
【答案】
2026
【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键．
首先将 分母有理化，得到 ，然后计算 ，展开得到的值，再代入表达式 ，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为 ：2026．
3．设，，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式混合运算，通过观察发现和互为倒数，即，从而将原式化简为．
【详解】解：由，，
计算，
所以．
则．
因此．
故答案为：．
4．已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已知求出和的值，然后利用因式分解进行计算即可解答．
【详解】解：，
，，
．


【题型6 已知条件式，化简求值]
1．已知，，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算，，再把原式化为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
2．已知，，求下列代数式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)49
【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．
（1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
则．
（2）解：∵，，
∴，，
则．
3．已知，求代数式的值．
【答案】2
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可．
【详解】解：，





．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式．
4．已知，，求下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）先求解 再利用平方差公式进行因式分解，再直接代入计算即可；
（2）先求解 再利用完全平方公式进行变形求值即可.
【详解】（1）解： ，，



（2） ，，




【点睛】本题考查的是二次根式的求值，二次根式的加减乘法的混合运算，掌握“利用平方差公式与完全平方公式进行变形求解代数式的值”是解本题的关键
【题型7 比较二次根式的大小】
1．比较大小： （填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了比较二次根式的大小．
通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小．
【详解】解：，，由于，
所以．
故答案为：．
2．比较大小： （填“>”“
【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：>．
3．比较大小 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，可求出，再求出，进而得到，据此可得答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
4．课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下：
解：．
因为，所以，所以，
所以，所以．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键．
（1）先求出，然后根据，即可得出答案；
（2）先求出，然后根据即可得出答案．
【详解】（1）解：

．
，
，
．
（2）解：

．
，
，
，
．
5．先观察解题过程，再解决问题．
比较与的大小．
解：∵，，
∴，．
又∵，
∴．
试用以上方法，比较与的大小．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数，是解题的关键．
根据示例中的方法，把与化为分子为1的数，再比较大小即可．
【详解】解：，，
∴，，
又∵，
∴＜，即：．

【题型8 二次根式的应用】
1．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的实际应用，直接将给定的和代入经验公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故肇事汽车行驶的速度约为，
故选：D．
2．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，剩余部分的面积是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根在几何图形中的应用，二次根式的运算等知识，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键．
根据开方运算，可得阴影的边长，根据二次根式的乘法，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案．
【详解】解：两个空白小正方形的面积是、，
两个空白小正方形的边长是、，
大正方形的边长是，
大正方形的面积是，
阴影部分的面积是．
故选：C．
3．如图，将一个半径为的圆环铁丝展开，重新围成一个矩形．若矩形的长为，则矩形的宽是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
根据题意得出圆的周长，再根据矩形公式进而求得矩形的宽．
【详解】解：根据题意得：矩形的周长等于圆的周长，
∴矩形的周长为，
∵矩形的长为，
∴矩形的宽是．
故选：B
4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积．这个公式便是海伦公式，也被称为“海伦一秦九韶公式”．若，，，则此三角形面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出p的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可．本题考查了二次根式的应用，考查学生的计算能力，掌握是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
则三角形的面积

．
故选：A
5．如图，李明家有一块矩形空地，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为．

(1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)已知李明家种植的草莓售价为7元，且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】(1)
(2)销售收入为3780元
【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．
（1）根据长方形周长计算公式求解即可；
（2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为：
．
（2）解：由题意，得，
，
，
（元）．
答：销售收入为3780元．

【题型9 复合二次根式的化简】
1．阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．
这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；
(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解；
（2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解；
（3），据此即可求解．
【详解】（1）解：
∵
∴．
故答案为：．
（2）解：∵
∴，
由（1）中结论可知：，
∴，
∵m、n均为正整数，
∴或，
当时，；
当时，；
∴a的值为或．
（3）解：，
∴．
【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．
2．观察下面的运算，完成计算：


(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）被开方数，据此即可开方；
（2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可．
【详解】（1）解：原式


；
（2）



则原式






【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键．
3．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：
（1）点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：
【答案】（1），；（2）；
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．
（2）模仿例题解决问题即可．
【详解】解：（1）根据题目意思，
∵和,
点的“横负纵变点”为，
点的“横负纵变点”为，
故答案为：，；
（2）∵2+5=7,2×5=10,
∴；
【点睛】双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型．


1．下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式的概念。关键在于将各选项化简为最简二次根式后，判断其被开方数是否与相同，只有D选项化简后为，符合题意．
同类二次根式需化简后比较被开方数，化简为，与被开方数相同．
【详解】解：∵，
∴与的被开方数均为3，
故与是同类二次根式．
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故原式计算错误，不符合题意；
B、，故原式计算错误，不符合题意；
C、，故原式计算正确，符合题意；
D、，故原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3． ； ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减，第一小题直接合并；第二小题先化简平方根再计算.
【详解】解：，
.
故答案为 ；.
4．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先化简绝对值、化简二次根式、运用平方差公式计算，再计算加减法即可．
【详解】解：原式．
5．已知，，分别求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可；
（）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解；
本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴



．