第01讲 勾股定理（知识解读+例题精讲+随堂检测）初中数学人教版（2024）八年级下册(含解析)

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考点1：勾股定理的概念与验证
考点2:勾股定理的基础计算
考点3：用勾股定理构造图形解决问题
重点：
（1）勾股定理的理解与应用：掌握定理内容，能熟练运用定理进行直角三角形的边长计算。
（2）勾股定理的实际应用建模：能将实际问题转化为直角三角形模型。
难点：
（1）勾股定理的验证过程：理解用面积法（割补法）推导定理的逻辑，体会 “数形结合” 思想。
（2）勾股定理与其他几何知识的综合应用：学会作辅助线构造直角三角形，整合等腰三角形、四边形等知识解题
知识点1：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为
，斜边长为，那么.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
理解勾股定理的一些变式：
，， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为的线段
【题型1 用勾股定理解三角形】
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，则AC的长为（ ）

A．12B．13C．14D．15
【变式1】已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（ ）
A．3B．3C．5D．1
【变式2】如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB=90°，已知BC=1.5m，AC=2m，则AB的长为（ ）

A．1.5mB．2mC．2.5mD．3m
【变式3】为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知AB为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离BC为16米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（ ）
A．12米B．14米C．16米D．18米
【题型2 勾股数问题】
【典例2】下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1,1,2B．2,3,4C．5,12,13D．6,6,6
【变式1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（ ）
A．6，8，10B．5，12，11C．7，8，9D．2，3，5
【变式2】右面是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（ ）
A．嘉嘉B．琪琪C．亮亮D．明明
【变式3】清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为 ．
【题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积】
【典例3】如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（ ）
A．28cm2B．42cm2C．49cm2D．63cm2
【变式1】如图，中间的三角形为直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．514B．8C．16D．64
【变式2】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以 AB、BC、AC为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 225、400，则AB 的长为（ ）
A．625B．175C．600D．25
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=17，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为（ ）
A．225B．289C．324D．170
知识点2：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

图（3）中，所以.
【题型4 勾股定理的证明方法】
【典例4】勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为a，b，且b>a，斜边为c)拼成一个边长为c的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”．
(1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理．
(2)若b=15，c=17，求中间小正方形(阴影部分)的面积．
【变式1】历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中Rt△ADE≌Rt△BEC,E是边AB上的点．请你利用等面积法验证勾股定理．
【变式2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．
【变式3】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)由图2正方形面积的等量关系可列式：______，化简得直角三角形中的勾股定理，该定理的结论用字母表示：______；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，∠AED=∠ACB=90°，记AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，求证（1）中的定理结论．
【题型5 以弦图为背景的计算题】
【典例5】公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的边长是（ ）
A．34−3B．1C．2D．4
【变式1】如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（ ）
A．36B．72C．18D．144
【变式2】将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若ab=8，c=5，则图2中阴影部分的面积为（ ）

A．11B．12C．9D．10
【变式3】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．12
【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】
【典例6】某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．
【变式1】如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多少米？
【变式2】有一秋千的示意图如图所示．静止时秋千的踏板离地面的垂直高度DE=1m，将秋千往前水平推送4m（水平距离BC=EF=4m）时，踏板离地面的垂直高度为3m（BF=CE=3m）．求绳索AD的长度．
【变式3】如图，由太原到北京的“和谐号”动车在距离铁轨300米的点C处（即CD=300米，CD⊥AB），当动车车头在点A处时，14秒后，动车车头由A处到达点B处，C两点间的距离为500米，求这列动车的平均速度．
【题型7 勾股定理与无理数】
【典例7】如图所示，已知BC=2，∠OCB=90°，以点O为圆心，OB为半径画弧交左侧数轴于点A．
(1)写出数轴上点A所表示的数为______；
(2)比较大小：点A所表示的数____________−3.5（填写“>”或“