山东威海市环翠区2025一2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷（试卷+解析）

这是一份山东威海市环翠区2025一2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷（试卷+解析），共32页。试卷主要包含了答题前，考生务必用0，非选择题用0等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共6页，共120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
4．非选择题用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按上述要求作答的答案无效．
一、选择题
1. 米斗是古代用于称量粮食的木质量器，常见于官仓、粮栈、米行等，其常见的造型为口大底小，如图是它的几何示意图，下列选项是“米斗”的俯视图的是（ ）
A. B. C. D.
2. 2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得的水平距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）
A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
3. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验不透明袋子中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中有放回的随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A. 白色B. 黄色C. 红球D. 无法确定
4. 若反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A B. C. D.
5. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，本学期在学习二次函数时，小明借助＂GeGebra＂软件绘制了函数的图象．下列说法错误的是（ ）
A. 当时，随的增大而减小B. 有三个不相等的实数根
C. 该函数图象关于点成中心对称D. 当时，函数取得最大值为4
8. 如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，三个长度相同的梯子在墙面的同侧，它们依次以倾斜的方式斜靠在一起，现测量得的长度为米，则梯子的长度为（ ）米．
A. B. 6C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点A，C分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11. 酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性（单位：U）与温度（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在__________．
12. 用一个半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高是_______________．
13. 为了测量一个球体零件的直径，将该零件放入工件槽内，现测得有关数据如图所示（单位：），则该球体零件的直径为__________．
14. 二次函数图象上部分点的坐标满足下表：
下面四个结论：
①；②；③；④当时，；⑤．
其中正确的是__________(填写序号)．
15. 如图，在中，，点是内一动点，且，连接，分别取，的中点F，G，连接，则线段长度的最小值为__________．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）．
17. 如图，是由7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
（1）请在相应网格中画出这个几何体的三视图，并用阴影表示出来；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图不变，那么最多可以再添加__________个小正方体．
18. 元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“50元”、“100元”、“150元”、“200元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满1000元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费2200元，转了两次转盘．
（1）该顾客最少可得__________元购物券，最多可得__________元购物券；
（2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于300元的概率．
19. 近年来，威海千里山海自驾旅游公路成为了人们旅游观光的火热线路，沿着蜿蜒的环海路，风车错落有致地排列在海岸线，成为了游客拍照打卡的靓丽风景．周末数学兴趣小组的同学们携带卷尺、测角仪等工具来到风车附近，开展了探究风车塔杆高度的综合与实践活动．他们在距离塔杆60米（即米）的点处安放测角仪（测角仪高度米），当叶片所在直线恰好与地面垂直时，测得叶片的末端点的仰角为．同学们发现塔杆底部的标识牌上注明了此风车每个叶片的长度均为20米，三个叶片之间的夹角均为，请根据以上数据信息求出风车塔杆的高度．（参考数据：，）
20. 纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年主题电影展映活动在某公园举行，现要在一个抛物线形状的景观拱桥下方悬挂矩形幕布，其横截面如图所示，经测量拱桥占地面最宽处米，最高处点距地面4米（即米），该幕布（矩形）周长为22米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的表达式；
（2）试求出该放映幕布的悬挂高度（的长度）；
（3）为便于幕布悬挂，公园现有高度为米的高脚凳供工人师傅使用，根据工人师傅身高及作业安全，凳子的高度距离悬挂点需介于米到2米之间，请问该高脚凳是否可以供工人安全使用？并说明理由．
21. 如图，直线：与双曲线：在第二象限内交于A，B两点，已知．
（1）求和的值；
（2）结合图象，试求当时，自变量的取值范围；
（3）点是线段上的一个动点，过点作轴于点，交双曲线于点F，E是轴上任意一点，当的面积最大时，求点的坐标．
22. 如图，为的外接圆的直径，为的延长线上一点，连接并延长至点，过点E作于点，交于点G．若
（1）求证：是的切线；
（2）若，求长．
23. 已知二次函数图象经过点．
（1）当时，求的取值范围；
（2）当时，二次函数的最小值为，求的值；
（3）若定义：当在抛物线的对称轴同一侧，且满足时，称为二次函数的黄金区间．请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由．0
3
5
0
山东威海市环翠区2025-2026学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷
注意事项：
1．本试卷共6页，共120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
4．非选择题用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按上述要求作答的答案无效．
一、选择题
1. 米斗是古代用于称量粮食的木质量器，常见于官仓、粮栈、米行等，其常见的造型为口大底小，如图是它的几何示意图，下列选项是“米斗”的俯视图的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据俯视图是从几何体的上面看到的图形解答即可．
【详解】解：该几何体的三视图如图：
故选：C．
2. 2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得的水平距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）
A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：在中，，千米，
∴（千米），
∴此时火箭距海平面的高度为千米，
故选：B．
3. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验不透明袋子中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中有放回的随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A. 白色B. 黄色C. 红球D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为0.2，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案．
【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为，
抽到白球的概率为：，
抽到黄球的概率为：，
抽到红球的概率为：，
∴该球的颜色最有可能是白球，
故选：A
4. 若反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象和性质，即：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小，当时， y随x的增大而减小．
【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小，
∴
∴，
故选：．
5. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解决本题的关键是确定、的符号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴位置，选择正确答案．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
二次函数图象的开口向下，二次函数的对称轴，
对称轴应在轴的右侧．
故选：C．
6. 如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正多边形与圆，涉及到正八边形的性质、圆周角定理，熟练掌握正八边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键．
连接、，根据正八边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案．
【详解】解：连接、，如图,
正八边形内接于，
，
P是圆上任意一点，，
根据圆周角定理，，
故选：B．
7. 如图，本学期在学习二次函数时，小明借助＂GeGebra＂软件绘制了函数的图象．下列说法错误的是（ ）
A. 当时，随的增大而减小B. 有三个不相等的实数根
C. 该函数图象关于点成中心对称D. 当时，函数取得最大值为4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数图象的应用、中心对称，能从函数图象获取信息是解答的关键．从函数图象特征结合选项逐个分析可得答案．
【详解】解：A、由图象，当时，随的增大而减小，选项A正确，不符合题意；
B、由图象，函数的图象与直线有3个交点，则有三个不相等的实数根，选项B正确，不符合题意；
C、根据图象，该函数关于某点成中心对称，设中心对称点坐标为，
由图象，点和点是对应点，和是对应点，
∴，，则，满足
故该函数图象关于点成中心对称，选项C正确，不符合题意；
D、由图象，该函数没有最大值和最小值，选项D错误，符合题意，
故选：D．
8. 如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内心和外心定义，掌握圆周角定理和内心定义解决此题的关键．
连接，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点求得，利用圆周角定理求得，然后利用等边对等角和三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：连接，
∵I是的内心，，
∴，
∵点O是的外心，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
9. 如图，三个长度相同的梯子在墙面的同侧，它们依次以倾斜的方式斜靠在一起，现测量得的长度为米，则梯子的长度为（ ）米．
A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质与判定，作垂线构造直角三角形是解题的关键．
作交延长线于，作于，则，根据三角形内角和定理以及角的和差求出，在中利用三角函数的知识得到，，设米，进而表示出、和的长，结合列出方程，求出的值即可求解．
【详解】解：如图，作交延长线于，作于，
则，
由题意得，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，
设米，则米，米，
∵，
∴是等腰直角三角形，米，米，
∵，
∴，
解得，
∴米，
即梯子的长度为米．
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
过B作轴于E，轴于F，证明，从而得到，，从而可以得出四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，然后根据即可求解．
【详解】解：过B作轴于E，轴于F，
，
四边形是正方形，
，，，
四边形是矩形，
，则，
，
，
，，
四边形是正方形，
∵点，点，
∴，，
设正方形的边长为m，则，，
，
解得，
点的坐标为，又反比例函数的图象经过点，
，
，
故选：D．
二、填空题
11. 酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性（单位：U）与温度（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，函数开口向下时，顶点处取得最大值，利用顶点公式求解．
【详解】解：由函数可得，，
顶点横坐标为，
故当温度为时，活性最高，催化反应最快．
故答案为：．
12. 用一个半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的弧长就是已知圆锥的底面周长，求出底面半径，再由母线长即扇形半径，构成直角三角形，可以利用勾股定理解决．
【详解】解：圆锥的底面周长为，
∴底面半径为，
∴圆锥的高为．
故答案为：
本题主要考查了求圆锥的高，理解并掌握扇形的弧长就是已知圆锥的底面周长是解题的关键．
13. 为了测量一个球体零件的直径，将该零件放入工件槽内，现测得有关数据如图所示（单位：），则该球体零件的直径为__________．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，连接、相交于点D，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算即可．
过O作于点D，连接，由垂径定理得，设圆的半径为，则，在中，利用勾股定理求得r即可解答．
【详解】解：如图，过O作于点D，连接，
由题意，，，
设圆的半径为，则，
在中，，
即，
解得：，
则该球体零件的直径为，
14. 二次函数图象上部分点的坐标满足下表：
下面四个结论：
①；②；③；④当时，；⑤．
其中正确的是__________(填写序号)．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，关键是利用表格中的点求出函数解析式或确定对称轴、开口方向等，进而逐一判断各个结论的正确性．
【详解】解：由表格可知，当时，，∴．
当时，；当时，，
∴，解得，
∴二次函数解析式为．
，故①错误；
②∵，，
∴，故②正确；
③二次函数的图象对称轴为，开口向上，
∴当时，函数取得最小值，
∴，
即，故③正确；
④由对称轴及时，可知另一交点为，结合函数图象开口向上，
∴当时，，故④正确；
⑤∵，故⑤错误．
综上，正确的结论是②③④．
故答案为：②③④．
15. 如图，在中，，点是内一动点，且，连接，分别取，的中点F，G，连接，则线段长度的最小值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先由平行四边形的性质，结合已知推出，则点E在以为直径的圆上运动，取的中点H，连接、、，利用直角三角形斜边中线性质得到；根据三角形的中位线性质得到，则当最小时，最小，由三角形的三边关系可得当H、E、C共线时取等号，此时最小；过C作于P，解直角三角形求得，进而可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的圆上运动，
如图，取的中点H，连接、、，则，
∵点F，G是，的中点，
∴，当最小时，最小，
∵，当H、E、C共线时取等号，此时最小，
过C作于P，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
本题考查平行四边形的性质、圆周角定理、三角形的中位线性质、锐角三角函数、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值以及实数的混合运算，核心是牢记、、角的正弦、余弦、正切的准确值，同时注意二次根式的性质的应用．
（1）代入各特殊角的三角函数值，再按照“先乘方、乘法，后加减”的运算顺序逐步计算；
（2）先利用二次根式的性质化简第一项，再分别代入特殊角的三角函数值计算每一项，最后合并同类项完成加减运算．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 如图，是由7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
（1）请在相应网格中画出这个几何体的三视图，并用阴影表示出来；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图不变，那么最多可以再添加__________个小正方体．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】此题主要考查了几何体三视图画法，注意观察角度是解题关键．
（1）从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右4列正方形的个数依次为1，2，1，2，依此画出图形即可；
（2）根据保持这个几何体的主视图和左视图不变，最多在几何体的左侧后排第一层和右侧前排第一层各添一个即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：保持这个几何体的主视图和左视图不变，最多在几何体的左侧后排第一层和右侧前排第一层各添一个，即最多可再添加2个小正方体．
故答案为：2
18. 元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“50元”、“100元”、“150元”、“200元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满1000元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费2200元，转了两次转盘．
（1）该顾客最少可得__________元购物券，最多可得__________元购物券；
（2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于300元的概率．
【答案】（1）100，400
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得该顾客最少可得100元购物券，最多可得400元购物券；
（2）由（1）中的树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于300元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
，
则该顾客最少可得100元购物券，最多可得400元购物券；
【小问2详解】
解：由（1）知，共有种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于300元的有6种情况，
∴该顾客所获购物券金额不低于300元的概率为：．
19. 近年来，威海千里山海自驾旅游公路成为了人们旅游观光的火热线路，沿着蜿蜒的环海路，风车错落有致地排列在海岸线，成为了游客拍照打卡的靓丽风景．周末数学兴趣小组的同学们携带卷尺、测角仪等工具来到风车附近，开展了探究风车塔杆高度的综合与实践活动．他们在距离塔杆60米（即米）的点处安放测角仪（测角仪高度米），当叶片所在直线恰好与地面垂直时，测得叶片的末端点的仰角为．同学们发现塔杆底部的标识牌上注明了此风车每个叶片的长度均为20米，三个叶片之间的夹角均为，请根据以上数据信息求出风车塔杆的高度．（参考数据：，）
【答案】风车塔杆的高度为59.8米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
先证明四边形为矩形，，则， 中解直角三角形得到， ． 中，解直角三角形求得，进而可求解．
【详解】解：如图，过点A作塔杆的垂线，过点E作水平面的垂线，垂线与交于点P，过点C作的垂线与交于点F，
∵，
∴四边形为矩形，，
∵，
∴，
中，，，
∴， ．
∵，，
∴，
中，，，
由，得，
∵，
∴，
∴风车塔杆的高度为米．
20. 纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年主题电影展映活动在某公园举行，现要在一个抛物线形状的景观拱桥下方悬挂矩形幕布，其横截面如图所示，经测量拱桥占地面最宽处米，最高处点距地面4米（即米），该幕布（矩形）周长为22米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的表达式；
（2）试求出该放映幕布的悬挂高度（的长度）；
（3）为便于幕布悬挂，公园现有高度为米的高脚凳供工人师傅使用，根据工人师傅身高及作业安全，凳子的高度距离悬挂点需介于米到2米之间，请问该高脚凳是否可以供工人安全使用？并说明理由．
【答案】（1）
（2）3米 （3）该高脚凳可以供工人安全使用．见详解
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象和性质，合理建系、利用已知点求函数解析式，以及结合几何关系列方程求解是解题的关键．
（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，设其表达式为，将点代入即可求解；
（2）设的长度为米，（米），根据轴对称的性质得到点E的坐标，将点坐标代入抛物线表达式求得即可；
（3）先求出悬挂点与高脚凳的高度差，再与凳子的高度距离悬挂点需介于米到2米之间进行比较得出答案即可．
【小问1详解】
解：以所在直线为轴，所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，
，，，
抛物线顶点为,设其表达式为，将点代入，得
，
化简得,解得，
拱桥所在抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：设的长度为米．则米．
矩形关于轴对称，点的横坐标为，纵坐标为，故点坐标为．
将点坐标代入抛物线表达式，
，
解得，，（不合题意，舍去）
该放映幕布的悬挂高度3米；
【小问3详解】
解：该高脚凳可以供工人安全使用．理由如下：
高脚凳高度为米，悬挂高度米，
悬挂点与高脚凳的高度差为米，
凳子的高度距离悬挂点需介于米到2米之间，而，满足安全要求，
该高脚凳可以供工人安全使用．
21. 如图，直线：与双曲线：在第二象限内交于A，B两点，已知．
（1）求和的值；
（2）结合图象，试求当时，自变量的取值范围；
（3）点是线段上的一个动点，过点作轴于点，交双曲线于点F，E是轴上任意一点，当的面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，反比例函数与一次函数的交点问题，求函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先将代入求得，再运用待定系数法求k值即可；
（2）依据双曲线在直线上方的部分对应的取值范围即可求解；
（3）依题意，设，，可求得，，则，然后利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将代入，得，
∴，
将代入，得；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
解方程组，得，，
∴,
根据函数图象，双曲线在直线上方的部分对应的范围是：或，
当时，自变量的取值范围为或；
【小问3详解】
解：依题意，设，，
∵过点作轴于点，
则，，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值．
∴点的坐标为．
22. 如图，为的外接圆的直径，为的延长线上一点，连接并延长至点，过点E作于点，交于点G．若
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）7
【解析】
【分析】（1）连接，先利用等边对等角和三角形的外角性质，结合已知得到，利用垂直定义得到，则，根据切线的判定可得结论；
（2）先根据正弦定义得到，设，，则，进而可列方程求得，则，，证明求得，利用正切定义求得，则，由正弦定义求得即可．
小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，则，
设，，则，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵为的外接圆的直径，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，则．
本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数、勾股定理 等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
23. 已知二次函数的图象经过点．
（1）当时，求的取值范围；
（2）当时，二次函数的最小值为，求的值；
（3）若定义：当在抛物线的对称轴同一侧，且满足时，称为二次函数的黄金区间．请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）存在，黄金区间为．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值以及新定义问题，关键是根据二次函数的开口与的取值范围与对称轴的位置关系，分类讨论增减性建立方程求解．
（1）先代入已知点求出二次函数解析式，确定对称轴和顶点坐标，再求出二次函数在端点和顶点的函数值，从而得到的取值范围；
（2）根据对称轴，分区间在对称轴左侧、包含对称轴、在对称轴右侧三种情况，分别求出对应区间的最小值，建立方程求解并验证是否符合区间条件；
（3）分对称轴左侧和右侧两种情况，结合函数增减性和黄金区间的定义，建立方程或方程组，求解并判断是否有符合条件的区间．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点，
∴，解得，
二次函数解析式为，
二次项系数为，
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，；当时，；当时，，
取值范围是；
【小问2详解】
解：①当，即时，
当时，随着的增大而减小，
当时，取最小值，
最小值为，解得或，
，
这两个解均不符合条件，舍去；
②当，即时，函数在处取最小值，
令，解得，
，符合条件；
③当，时，随着的增大而增大，
当时，取最小值，
最小值为，解得或，
，
舍去，符合条件；
综上，的值为或；
【小问3详解】
解：存在黄金区间，分两种情况讨论：
根据题意，,
①当区间在对称轴右侧，即时，随着的增大而增大，
当时，；当时，，
令，整理得，
解得或，
，，
此时区间在对称轴右侧，满足条件；
②当区间在对称轴左侧，即时，随着的增大而减小，
当时，；当时，，
即，
两式相减得，
整理得，
，
∴，只能，即，
将代入，得，
整理得，
，
方程无实根，左侧不存在黄金区间；
综上，该二次函数的黄金区间为．0
3
5
0