初中数学苏科版（2024）八年级下册（2024）10.4 分式的乘除精品导学案

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▉题型1 分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
1．化简m2−1m⋅1m+1的结果为（ ）
A．mm+1B．m−1m+1C．m−1mD．m+1m
【答案】C
【解答】解：m2−1m⋅1m+1
=(m+1)(m−1)m⋅1m+1
=m−1m，
故选：C．
2．若()a+b÷aa2−b2运算的结果不是分式，则“（ ）”内的式子可能是（ ）
A．abB．a+bC．a﹣bD．1a
【答案】A
【解答】解：()a+b÷aa2−b2
=()a+b⋅(a+b)(a−b)a
∵运算的结果为不是分式，
∴“（ ）”内的式子一定有a的单项式，
∴只有A项符合，
故选：A．
3．化简x3(y3x)2的结果是（ ）
A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6
【答案】A
【解答】解：x3（y3x）2
＝x3•y6x2
＝xy6，
故选：A．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A．a+ba+c=bcB．1−aa−2=−a−1a−2
C．(2yx)3=6y3x3D．x6x3=x2
【答案】B
【解答】解：A．a+ba+c≠bc，此选项错误；
B．1−aa−2=−(a−1)a−2=−a−1a−2，此选项正确；
C．（2yx）3=8y3x3，此选项错误；
D．x6x3=x3，此选项错误；
故选：B．
5．若分式“x−1x2−〇⋅x+2x”可以进行约分化简，则“〇”不可以是（ ）
A．1B．xC．﹣xD．4
【答案】C
【解答】解：∵分式“x−1x2−〇⋅x+2x”可以进行约分化简，
∴“〇”可以是1，则A不符合题意；
“〇”可以是x，则B不符合题意；
“〇”不可以是﹣x，则C符合题意；
“〇”可以是4，则D不符合题意；
故选：C．
6．计算：abc•c2a2= cab ．
【答案】cab．
【解答】解：abc•c2a2
=cab，
故答案为：cab．
7．化简：m−1m÷m2−2m+12m．
【答案】2m−1．
【解答】解：原式=m−1m⋅2m(m−1)2
=2m−1．
8．化简：
（1）1m−1⋅m2−1m；
（2）a−2a2−9÷a−22a+6．
【答案】（1）m+1m；
（2）2a−3．
【解答】解：（1）原式=1m−1⋅(m+1)(m−1)m
=m+1m；
（2）原式=a−2(a+3)(a−3)•2(a+3)a−2
=2a−3．
9．化简：
（1）（﹣ab）3÷（−3a3bc）；
（2）（a+4）（a﹣4）﹣（a﹣1）2．
【答案】（1）b2c3．
（2）2a﹣17．
【解答】解：（1）原式＝（﹣a3b3）•（−c3a3b）
=b2c3．
（2）原式＝a2﹣16﹣（a2﹣2a+1）
＝a2﹣16﹣a2+2a﹣1
＝2a﹣17．
▉题型2 分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
10．下列运算正确的是（ ）
A．ba=b+2a+2B．ba=b2a2
C．ba+bc=2ba+cD．3ba2⋅ab=3a
【答案】D
【解答】解：当a≠b时，ba≠b+2a+2，ba≠b2a2，故选项A和B错误，不符合题意；
ba+bc=bc+abac≠2ba+c，故选项C错误，不符合题意；
3ba2•ab=3a，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
11．计算：
（1）aa−b−ba−b；
（2）（1−1m+1）÷m2m+1．
【答案】（1）1；
（2）1m．
【解答】解：（1）原式=a−ba−b=1；
（2）原式＝（m+1m+1−1m+1）•m+1m2
=mm+1•m+1m2
=1m．
12．定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即A+B＝AB，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如21+x与21−x，因为21+x+21−x=4(1+x)(1−x)=21+x⋅21−x所以21+x与21−x互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”．
（1）分式2aa+1与分式2aa−1 是 “等和积分式”（填“是”或“不是”）；
（2）求分式xx−3y的“等和积分式”；
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式ba的“等和积分式” bb−a ；
②用发现的规律解决问题：
若无论x取何值，m−1nx+2x与n+12m−mx都互为“等和积分式”，求实数m，n的值．
【答案】（1）是；（2）x3y；（3）①bb−a ②m＝﹣1，n＝﹣3．
【解答】解：（1）∵2aa+1+2aa−1=2a(a−1)+2a(a+1)(a+1)(a−1)=2a⋅2a(a+1)(a−1)=2aa+1⋅2aa−1，
∴分式2aa+1与分式2aa−1是“等和积分式”，
故答案为：是；
（2）设分式xx−3y的“等和积分式”为A，则xx−3y+A=xx−3y⋅A，
∴xx−3y=(xx−3y−1)A，
∴A=xx−3y÷（xx−3y−1）=xx−3y⋅x−3y3y=x3y，
即分式xx−3y的“等和积分式”为x3y；
（3）①分式ba的“等和积分式”为bb−a，理由如下：
设分式ba的“等和积分式”为M，则ba+M=ba⋅M，
∴ba=(ba−1)⋅M，
∴M=ba÷(ba−1)=bb−a；
②由规律可得m−1nx+2x的“等和积分式”为m−1m−1−nx−2x，
∵m−1nx+2x与n+12m−mx互为“等和积分式”，
∴m−1−nx−2x=2m−mxm−1=n+1，
由m﹣1＝n+1得：n＝m﹣2，
将n＝m﹣2代入m﹣1﹣nx﹣2x＝2m﹣mx，得：m﹣1﹣（m﹣2）x﹣2x＝2m﹣mx，
解得m＝﹣1，
∴n＝﹣1﹣2＝﹣3．
13．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．
（1）“丰收1号”单位面积产量为 500a2−1 kg，“丰收2号”单位面积产量为 500(a−1)2 kg（结果用含a的式子表示）；
（2）哪种小麦的单位面积产量高？试说明理由：
（3）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】（1）500a2−1； 500(a−1)2；
（2）“丰收2号”单位面积产量高，见解析；
（3）a+1a−1．
【解答】解：（1）根据题意，“丰收1号”单位面积产量为500a2−1；
“丰收2号”单位面积产量为500(a−1)2，
故答案为：500a2−1； 500(a−1)2；
（2）“丰收2号”单位面积产量为高，理由如下：
∵（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，
∴（a2﹣1）﹣（a﹣1）2＝a2﹣1﹣a2+2a﹣1＝2a﹣2＝2（a﹣1），
∵a＞1，
∴（a2﹣1）﹣（a﹣1）2＝2（a﹣1）＞0，
∴a2﹣1＞（a﹣1）2，
∴1a2−1＜1(a−1)2，
∴500a2−1＜500(a−1)2，
∴“丰收2号”单位面积产量为高；
（3）∵500a2−1＜500(a−1)2，
∴500(a−1)2÷500a2−1
=500(a−1)2×a2−1500
=500(a−1)2×(a−1)(a+1)500
=a+1a−1，
答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的a+1a−1倍．
14．化简：(xx2+2x+1−12x+2)÷x−14x+4．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式=2x−(x+1)2(x+1)2×4(x+1)x−1
=x−12(x+1)2⋅4(x+1)x−1
=2x+1．
15．数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若m﹣n＞0，则m＞n；若m﹣n＝0，则m＝n；若m﹣n＜0，则m＜n．
（1）若n＞0，试比较n+1n与n+2n+1的大小，并说明理由；
（2）某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表：
请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由．
【答案】（1）n+1n＞n+2n+1，理由见解析；
（2）乙款礼盒的苹果单价更合算，理由见解析．
【解答】解：（1）n+1n＞n+2n+1，理由如下：
n+1n−n+2n+1
=(n+1)2−n(n+2)n(n+1)
=n2+2n+1−n2−2nn(n+1)
=1n(n+1)，
∵n＞0，
∴n（n+1）＞0，
∴1n(n+1)＞0，
∴n+1n＞n+2n+1；
（2）乙款礼盒的苹果单价更合算，理由如下：
设包装盒的质量为mkg，其中0＜m＜5，
则甲款礼盒的苹果单价为505−m，乙款礼盒的苹果单价为10010−m，
505−m−10010−m
=50(10−m)−100(5−m)(5−m)(10−m)
=500−50m−500+100m(5−m)(10−m)
=50m(5−m)(10−m)，
∵0＜m＜5，
∴50m＞0，（5﹣m）（10﹣m）＞0，
∴50m(5−m)(10−m)＞0，
∴505−m＞10010−m，
∴乙款礼盒的苹果单价更合算．
16．计算：
（1）x−2x+3⋅x2−9x2−4；
（2）1a+3+6a2−9．
【答案】（1）x−3x+2；
（2）1a−3．
【解答】解：（1）原式=x−2x+3⋅(x+3)(x−3)(x+2)(x−2)
=x−3x+2；
（2）1a+3+6a2−9
=a−3(a+3)(a−3)+6(a+3)(a−3)
=a+3(a+3)(a−3)
=1a−3．
17．完成下列问题．
（1）化简：(1−2x+1)÷x2−2x+1x+1；
（2）解不等式组：x−12＞−12(x+1)≤4．
【答案】（1）1x−1；
（2）﹣1＜x≤1．
【解答】解：（1）原式=x+1−2x+1÷(x−1)2x+1
=x−1x+1⋅x+1(x−1)2
=1x−1；
（2）x−12＞−1①2(x+1)≤4②，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤1，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤1．
18．计算：1a2−b2÷（1a+b+1a−b）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式=1(a+b)(a−b)÷a−b+a+b(a+b)(a−b)
=1(a+b)(a−b)•(a+b)(a−b)2a
=12a．
19．计算：
（1）2ba−b+a+bb−a；
（2）m−1m÷(m−1m)．
【答案】（1）﹣1；（2）1m+1．
【解答】解：（1）2ba−b+a+bb−a
=2ba−b−a+ba−b
=2b−(a+b)a−b
=b−aa−b
＝﹣1．
（2）m−1m÷(m−1m)
=m−1m÷m2−1m
=m−1m÷(m+1)(m−1)m
=m−1m×m(m+1)(m−1)
=1m+1．
20．计算：
（1）x−2x−4⋅x2−4xx2−4x+4；
（2）a2a−2+42−a．
【答案】（1）xx−2；
（2）a+2．
【解答】解：（1）原式=x−2x−4⋅x(x−4)(x−2)2
=xx−2；
（2）原式=a2−4a−2
=(a+2)(a−2)a−2
＝a+2．
21．计算下列各题：
（1）2b23a3÷2b29a；
（2）1−a−2a÷a2−4a2+a．
【答案】（1）3a2；
（2）1a+2．
【解答】解：（1）2b23a3÷2b29a
=2b23a3•9a2b2
=3a2；
（2）1−a−2a÷a2−4a2+a
＝1−a−2a•a(a+1)(a+2)(a−2)
＝1−a+1a+2
=a+2−a−1a+2
=1a+2．
题型1 分式的乘除法
题型2 分式的混合运算
连盒重量
售价
甲款礼盒
5kg
50元
乙款礼盒
10kg
100元