广东省广州市铁一中学九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省广州市铁一中学九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 向东行驶3km，记作+3km，向西行驶2km记作（ ）
A. +2kmB. ﹣2kmC. +3kmD. ﹣3km
【答案】B
【解析】
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东记为正，可得答案．
【详解】解：向东行驶，记作，
向西行驶记作，
故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握相反意义的量用正数和负数表示．
2. 如图所示图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，掌握绕某一点旋转度后能与自身重合的图形是中心对称图形是解题的关键．
【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意；
B.是中心对称图形，符合题意；
C.不是中心对称图形，不符合题意；
D.不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，根据法则和公式计算判断即可．
【详解】A. ，正确，符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D ，错误，不符合题意；
故选：A．
4. 在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的周长为，则四边形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，然后得到四边形的周长等于的周长与的和，代入数据计算即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：∵沿方向平移得到，
∴，，
∴四边形的周长的周长，
故选：．
5. 在中，，，，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦等于邻边比斜边，进行求解即可．掌握余弦的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故选A．
6. 甲、乙两班举行电脑打字输入比赛，参赛学生每分钟输入字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：
（1）甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；
（3）甲班成绩的波动比乙班小.
上述结论正确的是（ ）
A. （1）（2）（3）B. （2）（3）C. （1）（3）D. （1）（2）
【答案】D
【解析】
【分析】平均水平的判断主要分析平均数；根据中位数不同可以判断优秀人数的多少；波动大小比较方差的大小．
【详解】解：从表中可知，平均字数都是135，（1）正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，（2）正确；
甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况小，所以（3）错误．
综上可知（1）（2）正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，方差的意义，平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
7. 国庆期间，某市一中学发起了“热爱祖国，说句心里话”征集活动．学校学生会主席将征集活动通知发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动通知，每个好友转发朋友圈后，再分别邀请n个互不相同的好友将征集活动通知转发朋友圈，以此类推，已知经过两轮转发后，共有人将征集活动通知发在自己的朋友圈，则n所满足的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
由题意知，第一轮结束后共有个人，第二轮结束后共有个人，然后列方程，判断作答即可．
【详解】解：由题意知，第一轮结束后共有个人，第二轮结束后共有个人，
依题意得，，
故选：C．
8. 如果方程有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A. 且；B. 且；
C. ；D. .
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程有实数根，分类讨论：当时，；当时，，分别进行求解即可．
【详解】解：∵方程有实数根，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴m的取值范围是，
故选：D．
9. 甲、乙两人沿着如图所示平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线段分线段成比例，分式方程解实际应用题，得到关系式是解题的关键．根据题意得到，根据时间相等列出等式即可求解．
【详解】解：连接，
根据题意可得，故，
，
，
设乙的速度为，故甲的速度为，
根据题意，甲所走的路程为，即，乙所走的路程为，即，
故可得，
解得．
故选B．
10. 若是非负数，且，的最大值为，最小值为，则的值是（ ）
A. B. 10C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求不等式组的解集，二次函数的性质，根据得出，将其代入，得出，再根据m和n为非负数，求出m的取值范围，最后根据二次函数的增减性，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是非负数，
∴，
解得：，
把代入得：，
设
∵，
∴当时，y的值随m的增大而增大，
∴当时，，即取最小值，
当时，，即取最大值，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如图，直线a，b相交于点O，已知，则______．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查了对顶角．直接根据“对顶角相等”即可求解．
【详解】解：直线a，b相交于点O，已知，
则，
故答案为：．
12. 多项式因式分解的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
故答案为：．
13. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
14. 如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC=∠BOC，根据角平分线性质得出OM的长，根据勾股定理计算CM的长，根据垂径定理得出CD=2CM，代入求出即可．
【详解】解：连接OC，
∵C为的中点，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a，
∴OM＝ON＝n，
∴CM＝＝，
∵CM⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD＝2CM＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间关系、垂径定理，角平分线性质等知识点，关键是求出CM的长和得出CD=2CM．
15. 抛物线的对称轴在轴的右侧，点和点在该抛物线上，若，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像及性质，一元一次不等式求解．根据题意先将对称轴求出，再将点和点代入中，并利用题干信息列出一元一次不等式即可得到本题答案．
【详解】解：抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴，即，
∵点和点在该抛物线上，
∴把点和点代入中得：
，
，
∵，
∴，即，
∴的取值范围是：，
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为_____，此时点的坐标为 ____________________．

【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以为边作等边三角形，连接，过点E作于F，由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，即可求解；当轴时，，，解三角形即可求解.
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，过点作于，过点C作，
则，
又是等边三角形，
∴，
∴，

∵点的坐标为，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当有最小值时，有最小值，
∵点为轴上一动点，为定点，
即轴时，有最小值，
∴的最小值为，
∴的最小值为3，
当轴时，，
，
，
，
∴，
故答案为：3，．
【点睛】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,4)，点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC长的最小值为 ，此时点C的坐标为
三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤）
17. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】∵
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
18. 如图，已知．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
19. 设．
（1）化简；
（2）当时，记此时的值为；当时，记此时的值为；求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简，化简求值
（1）利用通分，约分，因式分解等技能化简即可；
（2）根据规律，的值即当时，的值，代入计算即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
根据规律，的值即当时，的值，
故．
20. 木盒里有红球和白球，共4个，每个球除了颜色外其他都相同．从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，继续放回去摇匀后，再摸第3次、第4次…
（1）甲同学摸球10次，都没有摸到红球，于是他就判断“摸到红球”是“不可能事件”．他的判断正确吗？
（2）如果盒子里有3个红球、1个白球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，那么摸到一个红球和1个白球的概率是多少？（用列表展现所有等可能的结果）
【答案】（1）他的判断不正确
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
（1）根据概率的可能性进行判断即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出摸到一个红球和1个白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
他的判断不正确，因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件；
【小问2详解】
根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个白球的有6种结果，
所以摸到一个红球和一个白球的概率是．
21. 如图，在平面直角坐标系中，、为第一象限中两点，为轴正半轴上一点，且四边形为平行四边形，已知，，反比例函数的图像经过点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）若反比例函数的图像经过中点，把向上平移，对应得到，当在的图像上时，求的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】过作于，根据勾股定理得到，求得，得到，于是得到结论；
根据平行四边形的性质得到，，得到点的纵坐标为，把代入得得到，过作轴于，根据勾股定理得到，把代入即可得到结论．
【小问1详解】
解：过作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴点的纵坐标为，
∵点是的中点，
∴点的纵坐标为，
∴把代入得，，
∴，
∵，
∴，
过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入得，，
∵把向上平移，对应得到▱，当在的图象上时，
∴ ．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22. 某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）．在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：
（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式______（不用写自变量x的取值范围）；
（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？
（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）
【答案】（1）
（2）应定价100元 （3）135元
【解析】
【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出方程进行求解即可；
（3）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，确定二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：设一次函数的解析式为：，
由图表可知：在一次函数的图象上，
则：，解得：，
∴；
【小问2详解】
解：由题意，得：，
解得，，
∵公司尽可能多让利给顾客，
∴应定价100元；
【小问3详解】
解：由题意，得
，
，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为8450．
答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，正确的列出一次函数解析式，一元二次方程，二次函数的解析式，是解题的关键．
23. 如图，是的直径，点在上．
（1）请在图1中的上作一点（异于点），使，连接并延长交的延长线于点，过作的垂线交于点；（作图使用没有刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注必要的字母）
（2）在（1）中所作的图形中，求证：．（如需画草图，请使用图2）
（3）在（1）中所作的图形中，若，，求的长．（如需画草图，请使用图2）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）10
【解析】
【分析】本题考查了弧与弦关系，垂线的作图，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用
（1）以点A为圆心，为半径画弧，得到即得，再根据垂线的基本作图，利用圆规，规范画出即可．
（2）根据证明即可．
（3）过点A作于点H，根据得到，利用等腰三角形的三线合一性质，得到，，得到，根据
，，得，根据，得到，继而利用，求得的长．
【小问1详解】
以点A为圆心，为半径画弧，得到即得，再根据垂线的基本作图，利用圆规，直尺画图如下：
．
【小问2详解】
设与得交点为点E，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
【小问3详解】
过点A作于点H，
∵
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 已知抛物线C：y1＝a（x﹣h）2﹣1，直线l：y2＝kx﹣kh﹣1．
（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（2）当a＝﹣1，m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，求m的最小值；
（3）当0＜a≤2，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）m的最小值为1；（3）k＞4．
【解析】
【分析】(1)由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(h，-1)，然后证明点(h,-1)符合直线y2＝kx﹣kh﹣1的解析式即可;
(2)令,依据拋物线的解析式可得到拋物线的顶点在直线y=-1上，由m≤x≤2时，y1≥x－3恒成立可得到拋物线的顶点坐标为(2，-1)，然后找出抛物线y1＝a（x﹣h）2﹣1位于直线上方时自变量x的取值范围，从而可确定出m的最小值;
(3)由(1)可知抛物线C与直线l都过点A(h,-1).当00,在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x=h+2时，恒成立，然后由可得到关于k的不等式，从而可求得k:的取值范围.
【详解】（1）抛物线C的顶点坐标为（h，﹣1），
当x＝h时，y2＝kh﹣kh﹣1＝﹣1，
所以直线l恒过抛物线C的顶点；
（2）当a＝﹣1时，抛物线C解析式为y1＝﹣（x﹣h）2﹣1，
不妨令y3＝x﹣3
如图1所示：抛物线C的顶点在直线y＝﹣1上移动，
当m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，
则可知抛物线C的顶点为（2，﹣1），
设抛物线C与直线y3＝x﹣3除顶点外的另一交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最小值，
由，解得：x＝1，x＝2，
所以m最小值为1．
（3）如图2所示：由（1）可知：抛物线C与直线l都过点A（h，﹣1）．
当0＜a≤2时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x＝h+2时，y2＞y1恒成立．
所以k（h+2）﹣kh﹣1＞a（h+2﹣h）2﹣1，整理得：k＞2a．
又因为0＜a≤2，
所以0＜2a＜4，所以k＞4．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数、不等式的综合性问题，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握二次函数的性质，能够根据函数的图像判断自变量的取值范围.
25. 如图1，在直角坐标系中，点，点，点D，点E分别为OA，OC的中点，绕原点O顺时针旋转角（）得，射线，相交于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，在旋转过程中，当点恰好落在线段CE上时，求AF的长；
（3）如图3，在旋转角从逐渐增大旋转过程中，求点F的运动路线长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质有∠D1OE1=∠COA=90°，D1O=DO，E1O=EO，利用A、C的坐标求出OA=2=OC，再根据D、E分别为OC、OA的中点，求出CD=DO=OE=AE=1， D1O=DO=E1O=EO=1，即可得∠D1OC=∠AOE1，根据SAS即可得△D1OC≌△AOE1；
（2）结合（1）的相关结果，分两种情况讨论，旋转角度α＜90°时，先证△D1OC≌△AOE1，再证△CEO∽△AEF，即有，即可求；第二种情况：当旋转角度α=90°，即D1O与E点重合，E1落在CO延长线上时，先证△D1OC≌△AOE1，再证△CEO∽△AEF，则AF同理可求；
（3）连接AC，取AC中点M，连接MF、MA、MO，结合（1）中结论有△D1OC≌△AOE1，则可得∠AFE=∠COE=90°，即有△AFC是直角三角形，根据M点是AC中点，则有MF=MA=MC=AC，可得到F点在⊙M上运动，随着△D1OE1的旋转，当D1O⊥CF时，线段CF距离O点最远，此时F的轨迹达到最大值，根据D1O⊥CF，D1O=1=OC，可得∠OCD1=30°，再根据圆周角定理可知∠OMF=60°，在Rt△AOC中，则⊙M的半径MF=MA=MC=AC=，则根据弧长公式F运动的路线长即可求．
【小问1详解】
如图，根据旋转的性质有∠D1OE1=∠COA=90°，D1O=DO，E1O=EO，
∵A(2,0)、C(0,2)，
∴OA=2=OC，
∵D、E分别为OC、OA的中点，
∴CD=DO=OE=AE=1，
∴D1O=DO=E1O=EO=1，
∵∠D1OE1=∠COA=90°，
∴∠D1OC=∠COA-∠AOD1=∠D1OE1-∠AOD1=∠AOE1，
∴结合OA=OC，D1O=E1O，
∴△D1OC≌△AOE1，即证；
【小问2详解】
在（1）中已求得OA=2=OC，CD=DO=OE=AE=1，D1O=DO=E1O=EO=1，
分两种情况讨论：
第一种情况：如图2所示，旋转角度α＜90°时，
根据（1）的方法，同理可证得：△D1OC≌△AOE1，
∴∠OAF=∠OCE，
∵∠CEO=∠AEF，
∴△CEO∽△AEF，
∴，即
∵在Rt△CEO中，OC=2，OE=1，
∴，
∴；
第二种情况：当旋转角度α=90°，即D1与E点重合，E1落在CO延长线上时，
如图：
∵∠COA=∠AOE1，OC=OA，OE1=OE，
∴△D1OC≌△AOE1，
∴∠OAF=∠OCE，
∵∠CEO=∠AEF，
∴△CEO∽△AEF，
∴，即
即同理可得；
综上：AF的值为；
【小问3详解】
连接AC，取AC中点M，连接MF、MA、MO，如图，
根据（1）中结论有△D1OC≌△AOE1，
∴∠OAF=∠OCF，
∴∠AFE=∠COE=90°，
∴△AFC是直角三角形，
∵M点是AC中点，
∴MF=MA=MC=AC，
∴F点在⊙M上运动，
可知Rt△ACO也是⊙M的内接直角三角形，
∴OM=OF，
∵随着△D1OE1的旋转，当D1O⊥CF时，线段CF距离O点最远，此时F的轨迹达到最大值，如图：
∵D1O⊥CF，D1O=1=OC，
∴在Rt△COD1中，有∠OCD1=30°，
∴根据圆周角定理可知∠OMF=60°，
∵OA=OC=2，
∴在Rt△AOC中，
∴⊙M的半径MF=MA=MC=AC=，
∴则根据弧长公式可知点F运行的路线长，即弧长为：，
即：F运动的路线为．
【点睛】本题考查了直角坐标系的坐标、圆的相关知识、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及弧长公式等知识，本题是一道综合题，考查的知识面广，难度层次递进，确定F的轨迹在⊙M上是解答本题的关键．

班级
参赛人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
销售价格x（元/件）
80
90
100
110
日销售量y（件）
240
220
200
180