广东省广州市广州中学九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省广州市广州中学九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了考试期间不准使用计算器．， 已知一组数据， 一元二次方程的解是等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：120分
注意事项：
1.答题前在答题卡按要求填写好连排、班级、姓名、座位号、考号等信息．
2.将答案正确填写在答题卡对应位置上．
3.考试期间不准使用计算器．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的绝对值是（ ）
A. 3B. C. 3或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的定义求解．
【详解】解：．
故的绝对值是3．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，掌握一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0是关键．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查中心对称和轴对称图形的识别，根据中心对称和轴对称的概念得出结论即可．
【详解】A、选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、选项中的图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、选项中的图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
3. 据科学研究表明，移动通信技术的网络理论下载速度可达每秒以上．其中用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案．
详解】．
故选B．
4. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
【详解】解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：B．
5. 已知一组数据：6，6，3，4，6．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 6，6B. 6，3C. 3，6D. 4，6
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列：3、4、6、6、6，
最中间的数是6，
则这组数据的中位数是6；
6出现了3次，出现的次数最多，则众数是6；
故选A．
6. 一元二次方程的解是（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，熟练选择解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：，
，
解得，
故选：C．
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：在中，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8. 若等腰三角形的顶角为30°，腰长为6，则此等腰三角形的面积为（ ）
A. 36B. 18C. 9D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】过B作BD⊥AC于D，依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到该等腰三角形腰上的高，再根据三角形面积计算公式进行计算即可．
【详解】解：如图所示，过B作BD⊥AC于D，
∵∠A＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴S△ABC＝AC×BD＝＝9，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，作出腰上的高并根据30°角求出高是解题关键．
9. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C.
D.

【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向上，与轴交于负半轴，故A、B、C、D都不符合题意；
②当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向下，与y轴交点在原点上方，故选项A正确，
故选：A．
10. 如图，在等腰中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接，根据得出点在以为直径的上，进而勾股定理求得，当点在线段上时，最小，即可求解．
【详解】如解图①，连接，
，，，
，
为直径，
，
，
点在以为直径的上，
的半径为，连接，，
，
在中，
，，
，
如解图②，当点在线段上时，最小，
，即线段长度的最小值为．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件计算即可；
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴；
故答案：．
12. 已知，，那么代数式的值_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解与平方差公式，根据即可求解．
【详解】解：，
∵，，
∴
∴
故答案为：
13. 抛物线的顶点坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据顶点式写出顶点坐标即可．
【详解】抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式求顶点坐标的方法是解答本题的关键．
14. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有___________个．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式求出总的情况，利用总的情况减去白球的即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
总的可能有：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求简单概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．
15. 如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】求证，得，进一步证明得，如图，作，垂足为G，连接，，过点A作，垂足为K，四点共圆，可得，在射线上运动，的长度即为的最小值，进一步证得，得，中,勾股定理得，求证，得，求得，，于是得，．
【详解】解：∵，
∴
∴，
矩形中，
∴
∴
如图，作，垂足为G，连接，，过点A作，垂足为K， ，

∴四点共圆，
∴，
∴在射线上运动，的长度即为的最小值
∴
又
∴
∴
中, ，，，
∵,
∴
又
∴
∴
∴
∴
而
∴得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形，得到线段间的数量关系是解题的关键．
16. 如图，在中，，于点，的平分线交于点，交于点，连接．有下列结论：①；②；③平分；④．其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】根据，，同角的余角相等可证结论①；根据结论①，，平分，证，可证结论②；如图所示，延长交于，过点作于，得四边形是矩形，再证，可证结论③；由结论③正确，可证，可证结论④．
【详解】解：结论①，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即结论①正确；
结论②，
由结论①正确可知，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，
，
∴，
∴，即结论②正确；
结论③平分，
如图所示，延长交于，过点作于，
∵，，
∴，且，
∴四边形是矩形，
∴，
由结论②正确得，，，，
∴，
∴，
∴，是公共边，且，
∴，
∴，
∴平分，即结论③正确；
结论④，
根据结论③中图示，由结论③正确可得，
，
∴，
∴，即结论④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查直角三角形，角平分线，平行线的综合，掌握角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，特殊四边形的性质是解题的关键．
三、解答题（共9小题，72分）
17. 解一元二次方程：x2+4x﹣5＝0．
【答案】x1＝﹣5，x2＝1
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程．
【详解】(x+5)(x﹣1)＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18. 图，在的网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点叫做格点，点、、均为格点．
（1）线段的长为______；
（2）确定格点，使为等腰直角三角形，画出所有符合条件的格点．
【答案】（1）5 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了网格问题，涉及了勾股定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论即可．
（1）根据即可求解；
（2）分类讨论即可完成作图；
小问1详解】
解：由勾股定理得，．
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图，点，，，，均满足题意．
19. 先化简代数式，然后再从1，2，3中选择一个适当的数代入求值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件可得，再代入，即可求解．
【详解】解：
，且，
∴，
当时，原式．
20. 如图，在△ABC中，，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是的切线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接OD，如图，根据等腰三角形的性质，由得，由得，则，于是根据平行线的判定得到，加上，所以，然后根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：连接OD，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴直线DE是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．
21. 某校准备从名男生和名女生中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．
（1）如果确定只需要名学生参加，则女生被选中的概率是 （直接填写答案）；
（2）如果确定只需要名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中名女生的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是一红一黑的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，如果确定只需要1名学生参加，女生被选中的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
设名男生分别记为，，名女生分别记为，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好选中名女生的结果有：，，共种，
恰好选中名女生的概率为．
22. 某商店销售3台型和5台型电脑的利润为元，销售5台型和3台型电脑的利润为元．
（1）求每台型电脑和型电脑的销售利润各多少元？
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为w元．请写出w关于n的函数关系式，并判断总利润能否达到元，请说明理由．
【答案】（1）每台型电脑和型电脑的销售利润各为，元
（2），不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的图象与性质．根据题意正确的列等式是解题的关键．
（1）设每台型电脑和型电脑的销售利润各为元，依题意得，，计算求解即可；
（2）由题意得，，，根据一次函数的性质求最值，和比大小，然后作答即可．
【小问1详解】
解：设每台型电脑和型电脑的销售利润各为元，
依题意得，，
解得，，
∴每台型电脑和型电脑的销售利润各为，元；
【小问2详解】
解：由题意得，，，
∵，
∴随着的增大而增大，的最大值为，
∴总利润不能达到元，
∴w关于n的函数关系式为，总利润不能达到元．
23. 如图四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．
(1) 求证：AC2=AB•AD；
(2) 求证：CE∥AD；
(3) 若AD=8，AB=12，求值．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
【详解】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AB•AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE=AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=AB，
∴CE=×12=6，
∵AD=8，
∴，
∴．
24. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a．
（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE；
（2）当a=3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；
（3）当tan∠PAE=时，求a的值．
【答案】（1）EC =，自变量的取值范围为：0＜a＜5；
（2）四边形APFD是菱形，证明见解析；
（3）a=3或7．
【解析】
【分析】（1）PC在BC上运动时，只需要用勾股定理表示PE2＝PC2+EC2就可以使问题到解决，而关键是解决PE2，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题．
（2）把a＝3的值代入第一问的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可以求出CF的值，进而判断即可．
（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到2，再分情况讨论，从而求出a的值．
【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∵BP＝a，
∴PC＝5﹣a，DE＝4﹣CE，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，∠1+∠2＝90°，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∴，
∴EC，
自变量的取值范围为：0＜a＜5；
（2）如图1，当a＝3时，EC，
∴DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴，
∴，
∴CF＝3，
∴PF＝AD＝5，
∴四边形APFD是平行四边形，
∵AP5，
∴AP＝PF，
∴平行四边形APFD是菱形；
（3）如图2，根据tan∠PAE，可得：2，
∵∠APB+∠BPE＝90°，∠CEP+∠EPC＝90°，
∴∠CEP＝∠APB，
又∵∠ABP＝∠PCE，
∴△ABP∽△PCE
∴2
于是：2 ①或 2 ②
解得：a＝3，EC＝1.5或 a＝7，EC＝3.5．
∴a＝3或7．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形以及勾股定理的运用，利用数形结合得出是解题关键．
25. 如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且．抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点F的坐标及的最小值；
（3）连接，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）F点坐标为（1，3）；的最小值为；（3）P点坐标为或；
【解析】
【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可；
（2）根据对称性可知，FA=FB，当B、F、C三点共线时，的值最小，即点F为BC与对称轴交点，利用解析式和勾股定理可求坐标和最小值；
（3）作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，证△MQE∽△NEP，设点P坐标，利用相似比表示出Q点坐标，代入即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，C点坐标为（0,4），
∵抛物线经过点，，可设解析式为，
把（0,4）代入，得，
解得，，
抛物线解析式为，即，
设BC的解析式为，把，（0,4）代入，
得，解得，
∴BC的解析式为；
（2）∵点F是抛物线对称轴上一点，
∴FA=FB，当B、F、C三点共线时，的值最小，最小值为BC长，此时，点F为BC与对称轴交点，
抛物线的对称轴为直线，
把代入，得，
则F点坐标为（1，3）；
，即的最小值为；
（3）由（1）得，，即，
作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，
∵∠QEP=90°，
∴∠QEM+∠MQE=90°，∠QEM+∠PEN=90°，
∴∠MQE=∠PEN，
∴△MQE∽△NEP，
∴，
如图1，设P点坐标为，
则PN=，EN=，EM=，MQ=，
则Q点坐标为，
代入，得，
解得，，（舍去），
把代入，得，，
故P点坐标为；
如图2，设P点坐标为，
则PN=，EN=，EM=，MQ=，
则Q点坐标为，
代入，得，
解得，，（舍去），
把代入，得，，
故P点坐标；
综上，P点坐标为或；