2024版人教版七年级上册数学专题03 数轴及动点问题（期末复习专项训练含答案）

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题型1 单个动点问题
题型4 两动点恒速问题（重）
题型2 动点的规律探究问题（重）
题型5 两动点变速问题（难）
题型3 动点的定值问题
题型6 新定义型问题（难）
题型1 单个动点问题
1．已知在数轴上有两点，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（）．
(1)当时，求线段的长度；
(2)若点是线段的中点，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)个单位长度
(2)存在，
【分析】
【详解】（1）解：当时，点表示的数为，
∴个单位长度；
（2）解：存在，理由如下：
由题意得，点运动秒时表示的数为，
∵点表示的数为，点是线段的中点，
∴点表示的数为，
∵，
∴，解得或（不合，舍去），
∴存在，使得．
2．如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为，点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．
(1)点和点之间的距离为________．
(2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？
(3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？
【答案】(1)10
(2)经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是
(3)经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13
【分析】
【详解】（1）解：点和点之间的距离为；
（2）解：，（秒），
此时，点P对应的数为，
答：经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是；
（3）解：当点P在点A的左边时，
，
（秒）．
此时，点P对应的数为．
当点P在点A的右边时，
，
（秒）．
此时，点P对应的数为，
综上：经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13．
3．在数轴上点B、点C分别表示、1，点Q从点B出发，以每秒3.5个单位长度的速度沿数轴在点B和点C之间往复运动，16秒后点Q在数轴上所表示的有理数为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【分析】
【详解】解：∵在数轴上点B、点C分别表示、1，
∴,
由题意可得，以每秒3.5个单位长度的速度沿数轴在点B和点C之间往复运动，16秒后点Q运动了个单位长度，
余，即点Q在点B和点C之间往复运动两个来回后，又多走了16个单位长度，即从点B出发，以每秒3.5个单位长度的速度沿数轴运动，到达点C后，再往点B运动6个单位长度，即运动到，
故选：A
4．数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即原路原速返回点，共用去11秒，点对应的数是 ．
【答案】8
【详解】解：∵一只蚂蚁从点出发沿着数轴以每秒 2 个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即沿原路原速返回点，共用去 11 秒，
∴蚂蚁爬行的路程为（个单位长度），
设点对应的数为，
则、两点间的距离为，
由题意得：，
解得：或，
∵沿数轴的正方向运动，
∴点对应的数为8．
故答案为：8．
5．如图，在数轴上，点表示的数是20，点表示的数为60，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，求点表示的是哪个数．
【答案】35或
【详解】解：在点运动过程中，分两种情况：
①当点运动到点右侧时，
∵，
∴，
此时点表示的数是；
②当点运动到点左侧时，
∵，
∴，
∴，
∴点表示的数是，
综上所述，点表示的数是35或．
6．如图，在一条不完整的数轴上有，两点，它们表示的数分别为和．

(1)求、两点之间的距离．
(2)点沿数轴正方向运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒．
①求秒后点表示的数．
②为何值时，、两点之间的距离为，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)①5秒后A点表示的数为；②或时，、两点之间的距离为
【分析】
【详解】（1）
（2）①，
秒后点表示的数为；
②秒后点表示的数是，
当点运动到点左边时，，
解得：；
当点运动到点右边时，，
解得：；
综上：或时，、两点之间的距离为．
题型2 动点的规律探究问题
7．已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… 则5秒钟后动点Q点表示的数为 ．
【答案】
【分析】
【详解】解：第1次移动：向右移动1单位，位置变为 ；
第2次移动：向左移动2单位，位置变为 ；
第3次移动：向右移动3单位，位置变为 ；
第4次移动：向左移动4单位，位置变为 。
累计时间：秒，恰好完成4次移动，
故5秒后动点Q表示的数为，
故答案为：．
8．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ．
【答案】或/1112或1115
【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…，
∴第奇数次移动的点表示的数是，
第偶数次移动的点表示的数是，
∵点与原点的距离等于，
∴当n是奇数时， ，解得，
当n是偶数时， ，解得，
故答案为：或．
9．数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ．
【答案】
【详解】解：第n次移动n个单位，第2025次左移个单位，每左移右移各一次后，点A右移1个单位，
所以表示的数是．
故答案为：．
10．已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7．
(1)求点表示的数．
(2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求：
①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动；
②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数；
③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数．
(3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数．
【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为
(2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为；
(3)
【分析】
【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等，
∴点到原点的距离为，
∵点A和点B不重合，
∴点B表示的数为5，
∵点在原点的左侧，且到点的距离为7，
∴点C表示的数为，
（2）解：①设运动时间为t，
∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度，
∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度，
故答案为：左
②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为；
③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为；
（3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……，
∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，
∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为，
∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度，
∴表示的数为．
11．如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字 重合．
【答案】1
【详解】解：∵圆的周长为4个单位长度，
∴圆滚动一周的距离为4个单位长度，
∴圆每滚动一周为一个循环，数轴上的数字分别对应的圆周上的数字为2，1，0，3，
∵，
∴数轴上的数2024将与圆周上的数字1重合，
故答案为：1．
题型3 动点的定值问题
12．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是3的相反数，是最大的负整数，是的绝对值．
(1)________；________；________．
(2)点，，开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则________，________（用含的代数式表示）．
(3)试问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，求出这个值．
【答案】(1)，，3；
(2)；；
(3)不变，．
【分析】
【详解】（1）解：∵是3的相反数，是最大的负整数，是的绝对值，
∴，，，
故答案为：，，3；
（2）∵点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，
∴秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，
∵A起始数为，B起始数为，C起始数为3，
∴运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，
∴，，
故答案为：；；
（3）解：根据题意，得，，
∴．
故的值不变，这个值是．
13．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，已知a是，数b是最大的负整数，c是单项式的次数．
(1) ， ．
(2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后：
① ．（用含t的代数式表示）
②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值．
【答案】(1)；
(2)①；②当时，的值不随t的增大而增大，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变．
【分析】
【详解】（1）解：∵最大的负整数是，
∴；
∵单项式的次数是，
∴．
故答案为：；．
（2）解：①t秒后，点A的位置：，点B的位置：，
∴．
故答案为：．
②t秒后，点B的位置为，点C的位置为，
由（2）①知，
．
将、代入得：．
当，即时：．此时的值不随t的增大而增大，
当，即时：．此时的值会随着时间t的变化而改变．
综上，当时，的值不随t的增大而增大，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变．
14．数轴原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
(1)A，B两点间的距离是______；动点M对应的数是______（用含t的代数式表示）．
(2)几秒后，线段与线段恰好满足？
(3)若M，N开始运动的同时，R从出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求与之间的数量关系．
【答案】(1)6，
(2)秒或秒
(3) 当时，；当时，
【分析】
【详解】（1）解：
∴，，
∴，，
∴，
当运动时间为秒时，动点对应的数是，
故答案为：， ；
（2）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是，动点对应的数是，
根据题意得：，
解得：或，
答：秒或秒后，线段与线段恰好满足；
（3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是，动点对应的数是，动点对应的数是，
∴， ， ，
∵与不重合，
∴，
∴，
∴分及两种情况考虑：
当时， ， ，
∴；
当时， ，，
∴，
综上所述， 当时，；当时， .
15．若数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为魔幻数轴．
如图，已知一魔幻数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，，为47个单位长度，，分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，的速度为3个单位／秒，的速度为1个单位／秒，设运动时间为秒，到达点后以当时的速度立即返回（掉头时间不计），当回到点时，、同时停止运动．
(1)点对应的数为______，出发______秒后追上（即第一次相遇）；
(2)当到达点立即返回后第二次与相遇时，______，相遇点在数轴上表示的数是______；
(3)，运动过程中是否存在某段时间内为定值？若能，求出该定值并写出对应的的取值范围，若不能，请说明理由．
【答案】(1)37；5
(2)13；21
(3)存在，当时，为定值，定值为64
【分析】
【详解】（1）解：∵其中，对应的数分别为，，为47个单位长度，
∴点B对应的数为；
设点P出发秒后追上Q（即第一次相遇），
由题意得，
解得，
故答案为：37；5．
（2）解：由（1）可知，点P和点Q在第5秒的时候第一次相遇，
即第一次相遇时点P和点Q对应的数字为5，
∴第一次相遇的点到点B的距离为，
设第一次相遇后到第二次相遇所用的时间为，
∵第一次相遇后点的速度为6个单位／秒，点的速度为2个单位／秒，当到达点立即返回，
∴由题意得，
解得，
∴当到达点立即返回后第二次与相遇时间（秒），
相遇点表示的数为；
故答案为：13；21．
（3）解：①由（1）可知，点P和点Q第一次相遇前，，点B表示的数为37，
此时点P对应的数为，点Q对应的数为，
∴，，
∴，
即当时，不是定值；
②∵第一次相遇后点的速度为6个单位／秒，点的速度为2个单位／秒，
∴第一次相遇到后，点P到点B所用时间为（秒），
（秒），
∴当时，
此时点P对应的数为，点Q对应的数为，
∴，，
∴，
即当时，不是定值；
③由（2）可知，第二次相遇的时间为13秒，
∴当时，
此时点P对应的数为，点Q对应的数为，
∴，，
∴，
即当时，为定值，定值为64；
④∵第二次相遇点对应的数为21，相遇后点的速度为3个单位／秒，点的速度为1个单位／秒，且当回到点时，、同时停止运动，
∴第二次相遇到后，点P回到点A的时间为（秒），
∵，即此时点Q还没有运动到点B，
（秒），
∴当时，
此时点P对应的数为，点Q对应的数为，
∴，，
∴，
即当时，不是定值；
综上所述，当时，为定值，定值为64．
16．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是．动线段（点在点的右侧），从点与点重合的位置出发，以每秒个单位的速度向右运动，运动时间为秒．
(1)①已知点表示的数是，试求点表示的数；②用含有的代数式表示点表示的数；
(2)当时，求的值．
(3)试问当线段在什么位置时，或的值始终保持不变？请求出它的值并说明此时线段的位置．
【答案】(1)① ；②
(2)或
(3)在到之间，；在右边，
【分析】
【详解】（1）点表示的数是，
，
点表示的数为；
当点与点重合时，
此时点表示的数为，
当点开始运动时，此时点表示的数为；
（2）运动秒后，点对应的数为，点对应的数为，
，
，
解得：或．
（3）
，
当时，
此时，，
，
，
，
即点位于和之间；
同理可得：，
当时，
此时，，
此时，
，
，即点C位于点B的右边．
题型4 两动点恒速问题
17．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当（单位长度）时，运动时间为多少秒？（ ）
A．2秒B．秒C．2秒或4秒D．2秒或秒
【答案】C
【分析】
【详解】解：∵点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16，
∴（单位长度），
∵（单位长度），
∴（单位长度）；
设运动t秒时，
①当点B在点C的左边时，
由题意得：，
解得：；
②当点B在点C的右边时，
由题意得：，
解得：．
即运动2秒或4秒时，（单位长度）．
故选：C．
18．小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点沿数轴向右移动个单位长度，同时点沿数轴向左移动个单位长度，例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图所示，在数轴上点，表示的有理数分别是，．
(1)第次按键后，点表示的数是______，点表示的数是______．
(2)第次按键后，求比大多少?
(3)在按键过程中，当点与原点的距离为个单位长度时，求的值；
(4)试判断点与点的距离能否为个单位长度，若能，求按键次数；若不能，说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
(4)当按键次数为次时，点与点距离为
【分析】
【详解】（1）解：每按一次键盘，点沿数轴向右移动个单位长度，同时点沿数轴向左移动个单位长度，
第次按键后，点表示的数是，点表示的数是，
故答案为：，；
（2）解：第次按键后，点表示的数是，点表示的数是，
，
第次按键后，求比大；
（3）解：设第次按键后点表示的数是，点表示的数是，
点与原点的距离为，
根据题意可得：，
可得：或，
解得：或，
当时，点表示的数是，
当时，点表示的数是，
综上所述，点表示的数为或；
（4）解：设第次按键时，点与点的距离为个单位长度，
根据题意可得：，
解得：，
答：当按键次数为次时，点与点距离为．
19．如图，已知A，B为数轴上的两点，点表示原点，点表示的数为．动点从出发做匀速运动，动点从出发做匀速运动．
(1)若动点向右运动，动点向左运动，且两点同时出发，设运动的时间为t秒，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整，并回答问题．
直接写出C点的速度为_________________，D点的速度为_________________．
(2)若点先出发，当时，点开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求为何值时，C、D两点相遇．（用一元一次方程求解）
(3)若动点C，D以（1）中各自的速度同时同方向运动，当时，________________．
【答案】(1)3个单位长度/秒；1个单位长度/秒
(2)当时，C、D两点相遇
(3)或
【分析】
【详解】（1）解：由题意得，C点的速度为个单位长度/秒，
D点的速度为个单位长度/秒；
（2）解：由题意得，，
解得，
∴当时，C、D两点相遇．
（3）解：由（1）可知点C的运动速度比点D的运动速度大，且点B表示的数为，
∴，
∵点C和点D同方向运动，
∴当点C和点D同时向左运动时一定有，不满足，
∴点C和点D只能同时向右运动，
运动t秒后，点C表示的数为，点D表示的数为，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得或．
20．已知点和点从同一数轴上的原点处同时出发，点沿数轴向负半轴运动，点沿数轴向正半轴运动，1.5秒后两点相距9个单位长度，已知点的速度是点速度的2倍．请分别求出两点的速度，并在如图所示的数轴上标出1.5秒时两点的位置．
【答案】点的速度为2个单位长度/秒，点的速度为4个单位长度/秒，见解析
【分析】
【详解】解：设点的速度为个单位长度/秒，则点的速度为个单位长度/秒．
根据题意，得，
解得．
所以点的速度为2个单位长度/秒，点的速度为4个单位长度/秒，
1.5秒时点表示的数是，
点表示的数是．
在数轴上表示如下：
21．已知数轴上有A，B两点，分别表示的数是，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为．
(1)点A运动后所在位置表示的数为 ；点B运动后所在位置表示的数为 ．
(2)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？
(3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒后相距2个单位长度？
【答案】(1)；2
(2)A，B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是
(3)4或
【分析】
【详解】（1）解：∵A点表示的数是，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴点A运动后所在位置表示的数为；
∵B点表示的数是8，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，
∴点B运动后所在位置表示的数为；
故答案为：；2
（2）解：∵A，B两点分别表示的数是，8，
∴A，B之间的距离为，
根据题意得：，
解得：，
此时相遇点所表示的数是；
即A，B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是；
（3）解：当两点相遇前相距2个单位长度时，
，
解得：；
当两点相遇后相距2个单位长度时，，
解得：；
综上所述，A，B两点经过4或秒后相距2个单位长度．
22．如图；在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数7，点、、在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动，当点运动至中点时， ．
【答案】
【详解】解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
∵点运动至中点，
∴，
解得：，
即当点运动至中点时，．
故答案为：
题型5 两动点变速问题
23．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式的值与取值无关，其中a、b分别为点、点在数轴上表示的数，如图，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．
(1)求a、b的值；
(2)用表示点在数轴上对应的数为：__________，点在数轴上对应的数为：__________；
(3)当E、F相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后继续向右运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为120个单位时，求运动时间的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】
【详解】（1）
∵关于x、y的多项式的值与字母x取值无关，
∴，
解得，；
（2）由题意得：点E在数轴上对应的数为：，点F在数轴上对应的数为：，
故答案为：，；
（3）当点E和点F相遇时，
解得，
根据题意得，
解得．
24．如图，在数轴上点对应的数是，点对应的数是，两动点、同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向点运动；点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后停留秒，再从点沿数轴向右到达点后停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)在点从点向点运动的过程中，点表示的数为___________（用含的代数式表示）；
(2)当时，求点与点之间的距离；
(3)在运动过程中，当点与点重合时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：∵点到达点需要秒，再停留秒，然后往点运动，
∴点从向运动的过程中，点表示的数为。
故答案为：．
（2）解：由题意可得点表示的数为，
当时，点表示的数为，点表示的数为，
∴点与点之间的距离为．
（3）解：由（1）（2）点表示的数为，点表示的数为，
∴当点与点重合时，，解得：．
25．如图，数轴上、、三点表示的数分别为、、，且、满足．
(1)则 ， ；
(2)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，到达点停留片刻后立即以每秒个单位的速度沿数轴返回到点，共用了秒；其中从到，返回时从到包括在点停留的时间共用了秒．
①求点表示的数；
②设运动时间为秒，求为何值时，点到、、三点的距离之和为个单位？
【答案】(1)；12；
(2)①7；②或或3或4
【分析】
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①由题意得，点P从点A到C和从点C返回到点A的总时间为秒，
设点C表示的数为x，则，
∴，
解得，
∴点C表示的数为7；
当从到，且点P在上运动时，
由题意得，
解得：，此时点P表示的数为，
当从到，且点P在上运动时，
由题意得，
解得：，即此时点P表示的数为；
∵从到，返回时从到包括在点停留的时间共用了秒，秒，
∴停留时间为秒，
∵当点P从点B返回到A的途中走到表示数10的位置时，点到、、三点的距离之和为个单位，
∴此时；
∵当点P从点B返回到A的途中走到表示数4的位置时，点到、、三点的距离之和为个单位，
∴此时；
综上所述，当t的值为或或3或4时，点到、、三点的距离之和为个单位．
26．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足．
(1)求C点对应的数；
(2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值．
【答案】(1)4
(2)①或；②t的值为或或5.5
【分析】
【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8，
∴，
∵，
∴，，
∴C点对应的数是，
答：C点对应的数是4；
（2）①∵运动t秒时，
当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是，
∴，
解得，
当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或；
②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，
∵
∴，
解得（舍去），此种情况不存在，
由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，
∴，
解得，
由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是，
∴，
解得，
当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4，
次情况，
∴，
解得，不合，
∴这种情况不存在，
当P运动到A后，若N为的中点，此时，
∴，
解得，
综上所述，t的值为，或，或5.5．
题型6 新定义型问题
27．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“祁美点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“祁美点”．
(1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“祁美点”，点M在A，B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为______；
(2)点A表示数，点B表示数12，P为数轴上一个动点：
若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？
若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？
【答案】(1)；
(2)或0或6；30或48或21．
【分析】
【详解】（1）解：点M是点A，B的“祁美点”，
或，
设M点表示的数是x，点M在A，B之间，，
∴或
解得：或
点M表示一个负数，
点M表示的数为；
（2）点P是点A，B的“祁美点”，
或，
设点P表示的数是x，由题意可得：
或，
解得：或或或，
点P在点B的左侧，
或或，
故答案为：或0或6；
设点P表示的数是x，
当点P是点A，B的“祁美点”时，
则或，
由题意可得：
或，
解得：或或或，
点P在点B的右侧，
，
当A点是P，B的“祁美点”时，
则或，
由题意可得：
或，
解得：或或或，
点P在点B的右侧，

当B点是A，P的“祁美点”时，
则或，
由题意可得：
或，
解得：或或或，
点P在点B的右侧，
或；
综上：点P表示的数是30或48或21．
28．【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80．
(1)则点之间的距离为___________；
(2)求线段的“理想点”所对应的数；
(3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？
【答案】(1)90
(2)所对应的数是20或50；
(3)折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53．
【分析】
【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为80，
∴，
∴点之间的距离是90；
故答案为：90；
（2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为，
当时，，
∵点对应的数为，
∴所对应的数为20；
当时，，
∵点对应的数为，
∴所对应的数为50；
∴线段的“理想点”所对应的数是20或50；
（3）解：∵三条纸条的长度之比为，，
∴，
∴三条纸条的长度为18，18，54，
①当从到三条纸条的长度为18，18，54，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
②当从到三条纸条的长度为18，54，18，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
③当从到三条纸条的长度为54，18，18，如图：
则折痕到的长度是，
∵点对应的数为，
∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；
综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53．
29．定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点．
如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2．
(1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________；
(2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，为两点的美好点？
【答案】(1)G，或
(2)，，3，，9，
【分析】
【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，，，，，只有点G符合条件，
故答案是：．
结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，
点N的右侧不存在满足条件的点，
点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，由，则到的距离为，进而可以确定符合条件．
点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是．
故答案为：或；
（2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况，
第一种情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图，
当时，，点P对应的数为，
因此秒；
第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2，
当时，，点对应的数为，
因此秒；
第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3，
当时，，点对应的数为，
因此秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4，
当时，，点对应的数为，
因此秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5，
当时，，点对应的数为，
因此秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，中间，如图，
当时，，
因此秒；
第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧，
当时，，
因此秒，
第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧，
当时，，
因此秒，
综上所述，的值为：，，3，，9，．
30．阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”．
(1)若点表示的数是0，则的值为____________；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________；
(3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值．
【答案】(1)5
(2)，，0，1，2，3；
(3)点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时
【分析】
【详解】（1）解：∵点P表示的数为0，
∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为，
∴点P为点A、B的“5格距点”，
∴ ，
故答案为：5；
（2）∵整点P为点A、B的“5格距点”，
∴ ，即P在线段上，
∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3，
故答案为：，，0，1，2，3；
（3）①当P在之间时，，
∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍，
∴， ，点P表示的数为：，此时；
②当P在点A左边时，，，
点P表示的数为：，此时．
综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时．
时间t（秒）
0
1
2
点在数轴上的位置所表示的数
点在数轴上的位置所表示的数
3
2