人教版（2024）八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.2 勾股定理的逆定理及其应用习题

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.2 勾股定理的逆定理及其应用习题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若，则以a，b，c为边的三角形是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
2．如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（ ）
A．12B．10C．D．
3．已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（ ）
甲同学：．乙同学：和互余．
丙同学：线段的长为点到直线的距离．
丁同学：直线与直线互相垂直．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（ ）
A．费马大定理B．怀尔斯大定理C．勾股定理D．勾股定理的逆定理
5．如图，在中，，，，和的平分线交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，中，，，．为的角平分线，的长度为( )
A．2B．C．3D．
7．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（ ）

A．3B．6C．10D．16
9．以下列线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
10．甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏东B．南偏西C．北偏西D．南偏西
11．如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则（ ）
A．B．C．D．
12．分别以为边长作一个三角形，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
二、填空题
13．如图，在四边形中，，，，则度数为 ．
14．一个三角形花坛的三边长分别为，，，则这个花坛的面积是 .
15．如图，在中，，，，与的平分线交于点，则的度数为 ．
16．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．
17．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ．
三、解答题
18．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)请求出喷泉B到小路的最短距离．
19．在中，，，的对边，，分别为下列长度，请判断该三角形是不是直角三角形．若是，请指出哪一个角是直角，并说明理由．
(1)，，．
(2)，，．
20．如图，四边形中，，为对角线，于点E，已知，，，．
(1)请判断的形状并说明理由；
(2)求线段的长．
21．如图，在四边形中，，，，且．
(1)求的长；
(2)求的度数；
(3)求四边形的面积．
22．某校开设创意编程、3D模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成．
【素材一】如图所示，四边形是模型零件平面图．
【素材二】通过扫描测量，已知，，，，．
【问题解决】根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积．
23．如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地为田间的一条小路，且，已知，，，．
(1)求四边形田地的面积；
(2)为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度．
24．如图，在中，，点为上一点，连接．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的周长．
《20.2勾股定理的逆定理及其应用》参考答案
1．B
【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求出a、b、c的值，求出，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】
以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
故选∶B．
【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，偶次方，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出．
2．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，，延长到E，使得，连接，证明得到，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
3．C
【分析】本题考勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，连接，根据网格特点，结合勾股定理，勾股定理逆定理，点到直线的距离，以及平行线的性质，进行判断即可．
【详解】解：连接，
由图可知：，故甲同学说法正确；
由勾股定理，得：，
，
∴，
∴不是直角三角形，是直角三角形，
∴和不是互余关系，故乙同学说法错误，
∴，
∴线段的长为点到直线的距离；故丙同学说法正确；
∵，
∴，
∴直线与直线互相垂直；故丁同学说法正确；
∴结论正确的有3个．
故选C．
4．A
【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案．
【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解．
∴这个定理指的是费马大定理
故选：A．
【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识．
5．A
【分析】根据勾股定理逆定理，可以得出是直角三角形，，根据平分，平分，即可得出答案．
【详解】∵在中，，，，
∴，
∴
∴
∵平分，平分，
∴，
∴
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的定义，熟练掌握性质灵活运用是本题的关键．
6．C
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到两边的距离相等以及勾股定理即可进行解答．
【详解】解：过点作于，
，，．
，，
，
是直角三角形，
为的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，解得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理列出等式求解．
7．A
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解： A、如图：
，，，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、如图：
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、如图：
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、如图：
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．首先求得，利用勾股定理的逆定理证明，，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．
【详解】解：∵正方形的面积为13，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：C
9．A
【分析】根据勾股定理的逆运用即可求解．
【详解】解：选项，，不能构成直角三角形，符合题意；
选项，，能构成直角三角形，不符合题意；
选项，，能构成直角三角形，不符合题意；
选项，，能构成直角三角形，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆运用判定直角三角形，掌握勾股定理逆定理的运算方法是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题意可得，，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得，，，
，，
，
，
分两种情况：
如图1，
，
乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东，
如图2，
，
乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西 ，
综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东或北偏西，
故选：A．
11．B
【分析】找出点关于的对称点，连接、，根据轴对称的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据网格的特点，结合勾股定理，得出，，再根据，再根据勾股定理的逆定理，得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而即可得出的度数．
【详解】解：如图，找出点关于的对称点，连接、，
∵点关于的对称点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了轴对称、网格的特点、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，得出是解本题的关键．
12．B
【分析】本题考查三角形分类，勾股定理逆定理的运用，根据勾股定理逆定理判断三角形类型．
【详解】解：∵，，
∴ ，
故该三角形为直角三角形．
故选：B．
13．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理逆定理，证明四边形是平行四边形，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，即，
故答案为：．
14．84
【分析】根据得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式解答即可.
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的面积，熟练掌握定理是解题的关键.
【详解】解：由，
故该三角形是直角三角形，
故直角三角形的面积为，
故答案为：84.
15．/45度
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，与角平分线有关的三角形内角和问题，由得到，再根据角平分线得到即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵与的平分线交于点，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．/45度
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义与性质，先计算，，，再进一步解答即可．
【详解】解：连接，

根据勾股定理可以得到：，，，
∴且，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
故答案为：．
17．4
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况．
【详解】解：如图所示，即为所求，
∴以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为4，
故答案为：4．
18．(1)
(2)
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）利用勾股定理求出，得到，勾股定理求出，再根据勾股定理即可得到答案；
（2）用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，则即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，，
在中，，
∴，
，
在，，
∴，
，
即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为；
（2）解：在中，，
，
∴是直角三角形，，
，
∴喷泉B到小路的最短距离为．
19．(1)是直角三角形．是直角．理由见解析
(2)是直角三角形．是直角．理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
（1）计算较小的两边的平方和，看是否等于较大的边的平方即可；
（2）计算较小的两边的平方和，看是否等于较大的边的平方即可．
【详解】（1）解：是直角三角形，是直角．理由如下：
∵，即，
∴是直角三角形，且
（2）解：是直角三角形，是直角．理由如下：
∵，即，
∴是直角三角形，且．
20．(1)直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
（1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定得出是直角三角形即可；
（2）根据等积法求出线段的长即可．
【详解】（1）解：是直角三角形．
理由：在中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以是直角三角形．
（2）解：由（1）知是直角三角形，且，
因为，
所以．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（3）根据解答即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
又，
，
；
（3）解：．
22．该模型零件平面图的面积为．
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理.连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据零件的面积，计算即可得出答案．
【详解】解：连接，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
在中，，，
，
是直角三角形，．
，
即该模型零件平面图的面积为．
23．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）在中，由勾股定理，求得，再由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，则四边形田地的面积为，代入计算即可．
（2）过点作于点．由“垂线段最短”，可得线段的长即为所引水渠的最短长度．根据，即可求解．
【详解】（1）解：，
．
在中，由勾股定理，得，
（负值已舍去）．
，
，
是直角三角形，且，
四边形田地的面积为
；
（2）解：如图，过点作于点．
由“垂线段最短”，可得线段的长即为所引水渠的最短长度．
，
，
，
解得，
这条水渠的最短长度为．
24．(1)是直角三角形，见解析
(2)的周长为
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，从而得到，进而有，即可判断是直角三角形；
（2）设，则，由已知得到，结合勾股定理得到方程，解方程得到，即，根据，从而得到的周长为．
【详解】（1）解：是直角三角形，
理由如下：在中，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）设，则，
∵，
在中，，即，解得，
∴，
∴的周长为，即的周长为．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理及勾股定理是解决问题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
A
A
C
A
C
A
A
题号
11
12








答案
B
B