2025-2026学年甘肃省兰州市榆中县九年级（上）期末数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年甘肃省兰州市榆中县九年级（上）期末数学试卷-自定义类型，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图①，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具.如图②，是它的几何示意图，则其三视图中与主视图相同的是（ ）
A. 左视图B. 俯视图C. 右视图D. 后视图
2.下列各组图形中，不是相似图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.若关于x的一元二次方程x2+6x+3=0配方后得到（x+3）2=c,则c的值为（ ）
A. 0B. 3C. 6D. 9
4.下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A. 晚上人走在路灯下的影子B. 中午用来乘凉的树影
C. 上午人走在路上的影子D. 早上升旗时地面上旗杆的影子
5.要用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两对角线长就可以判断，其推理依据（ ）
A. 矩形的对角线相等B. 矩形的四个角都是直角
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线相等的平行四边形是矩形
6.古书《墨子•天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图A′B′C′D′，若AB：A′B′=1：2，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 1
7.若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜5B. k＜5且k≠1C. k≤5且k≠1D. k＞5
8.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇时，乙走了3x步，则可列方程为（ ）
A. 102+（3x）2=（7x-10）2B. 102+（7x）2=（3x-10）2
C. 102+（3x）2=（7x）2D. 102+（7x）2=（3x）2
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE.以下结论不正确的是（ ）
A. ∠BCE=36°
B. BC=AE
C.
D.
10.如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形ABCD是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变AC的长来调节BD的长.已知AB=30cm,BD的初始长为30cm,如果要使BD的长达到36cm,那么AC的长需要缩短（ ）
A. 6cmB. 8cmC. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知反比例函数y=的图象的一支位于第二象限，则常数m的取值范围是______．
12.已知，且3x-2y+4z=60，则x-y+z的值是 .
13.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AC⊥BD，若点B的坐标为（4，m），点D的坐标为（n,2），则m+n的值为 .
14.黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉.古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点D在线段AB上，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，得到矩形DECF，若矩形DECF的周长与Rt△ABC的周长之比恰好为黄金分割比，则AD的长为 .
三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
解方程：2x2-4x+1=0．
16.(本小题5分)
已知代数式A=2x2+5x-3，B=x2+x-8，当代数式A的值比B的值大2时，求x的值.
17.(本小题5分)
如图，点O是菱形ABCD的对角线AC和BD的交点，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.求证：四边形OCED是矩形.
18.(本小题7分)
消防教育进校园，消防安全记心间.为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了消防演练.在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员.该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙、丙是男老师，丁是女老师.
（1）“选取的2位疏散引导员都是女老师”是______事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率.
19.(本小题7分)
如图，在路灯下，小明的身高为线段AB，他在地面上的影子为线段AC，小亮的身高为线段FG，路灯灯泡在线段DE上.
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子；
（2）如果小明的身高AB=1.6m,他的影子长AC=1.4m,且他到路灯的距离AD=2.1m,求灯泡的高.
20.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三顶点的坐标分别为A（-2，1），B（-1，4），C（-3，2）.
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在y轴左侧，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC位似比为2：1，直接写出点C2的坐标，并求△ABC的面积.
21.(本小题7分)
如图，反比例函数与一次函数y=2x+m的图象交于点A（1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C.连接AB，AD.
（1）求反比例函数与一次函数y=2x+m的表达式；
（2）当OD=1时，求△ABD的面积.
22.(本小题7分)
某动物园根据杠杆原理G1L1=G2L2上演了一幕现代版“曹冲称象”，具体做法如下：如图所示，在一根笔直钢梁上点O处的左右两边分别挂上一根弹簧测力计（质量忽略不计）和装有大象的铁笼，其中点O与弹簧测力计之间的水平距离L1=6m,点O与装有大象的铁笼之间的水平距离L2=0.2m,已知当钢梁呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧测力计显示的读数为G1=1200N，装有大象的铁笼及其挂钩的总重力为G2.
（1）求装有大象的铁笼及其挂钩的总重力G2；
（2）若装大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼以及挂钩的总重力不变，则G1是关于L1的什么函数？直接写出表达式；
（3）在（2）的条件下，解答下列问题：
①当L1=8m时，求弹簧测力计显示的读数G1；
②当弹簧测力计显示的读数G1=1800N时，求L1.
23.(本小题8分)
提出问题：
为解方程（x2-2）2-11（x2-2）+18=0，我们可以将x2-2视为一个整体，然后可设x2-2=y,则（x2-2）2=y2，于是原方程可转化为y2-11y+18=0，解此方程，得y1=2，y2=9.
当y1=2时，x2-2=2，x2=4，∴x=±2；
当y2=9时，x2-2=9，x2=11，∴.
∴原方程的解为x1=2，x2=-2，，.
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想.
解决问题：
（1）运用上述换元法解方程x4-3x2-4=0.
延伸拓展：
（2）已知实数m,n满足（m+3n）（m+3n-2）=2m+6n-4，求4m+12n-3的值.
24.(本小题8分)
综合与实践
【问题背景】：
（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，连接BD和CE，求证：△ABD∽△ACE.
根据以下证明过程，完成填空部分：
证明：∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，AB：AD=AC：AE
∴∠BAD=∠CAE，______，∴△ABD∽△ACE；
【尝试应用】：
（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，连接CE.求证：△ADF∽△ECF；
【拓展创新】：
（3）如图③，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD，∠BDC=90°，AB=4，AC=2.过点A作AB的垂线.过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，其中DM：AD=，求AD的长.
25.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y=x上，那么称该菱形为点A，C的“极好菱形”．如图为点A，C的“极好菱形”的一个示意图．
已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）．
（1）点E（2，1），F（1，3），G（4，0）中，能够成为点M，P的“极好菱形”的顶点的是______；
（2）如果四边形MNPQ是点M，P的“极好菱形”．
①当点N的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ的面积；
②当四边形MNPQ的面积为8，且与直线y=x+b有公共点时，写出b的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】m＜1
12.【答案】12
13.【答案】-6
14.【答案】
15.【答案】解：∵a=2，b=-4，c=1，
∴b2-4ac=16-8=8＞0，
∴x=
=
=
解得：x1=1+，x2=1-．
16.【答案】x1=-3，x2=-1．
17.【答案】∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形．
18.【答案】不可能 被选到的2位老师是一男一女的概率为
19.【答案】连接CB，延长CB交DE于O，点O为灯泡所在的位置，连接OG，延长OG交DF于H，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
4 m
20.【答案】△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，如图1即为所求；
（3，2） 如图2，△A2B2C2即为所求；
（-6，4），S△ABC=2
21.【答案】解：（1）将A（1，4）代入，
解得k=4，
∴反比例函数为；
将A（1，4）代入y=2x+m,得2×1+m=4，
解得m=2，
∴一次函数为y=2x+2；
（2）∵BC⊥y轴于点D，
∴BC∥x轴．
∵OD=1，
∴点B的纵坐标为1．
将y=1代入，
解得x=4，
∴B（4，1），
∴BD=4，
∴．
22.【答案】装有大象的铁笼及其挂钩的总重量G2为36000N G1=（L1＞0） ①G1=900（N），
②L1=4m
23.【答案】解：（1）设x2=y,
则原方程可转化为y2-3y-4=0，
解得：y1=4，y2=-1，
当y1=4时，x2=4，∴x=±2；
当y2=-1，x2=-1，此方程无解．
∴原方程的解为x1=2，x2=-2；
（2）∵（m+3n）（m+3n-2）=2m+6n-4，
∴（m+3n）（m+3n-2）=2（m+3n）-4，
设m+3n=t,
则t（t-2）=2t-4，
整理得：t2-4t+4=（t-2）2=0，
解得：t=2，
∴m+3n=2，
∴4m+12n-3=4（m+3n）-3=4×2-3=5．
24.【答案】 ∵∠ BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ADF=∠ECF，
又∵∠AFD=∠EFC，
∴△ADF∽△ECF AD=
25.【答案】（1）F、G；
（2）①如图2，∵M（1，1），P（3，3），N（3，1），
∴MN=2，PN⊥MN，
∵四边形MNPQ是菱形，
∴四边形MNPQ是正方形，
∴S四边形MNPQ=2×2=4；
②如图3，∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3），
∴PM=2，
∵四边形MNPQ的面积为8，
∴S四边形MNPQ=PM•QN=8，
即××QN=8，
∴QN=4，
∵四边形MNPQ是菱形，
∴QN⊥MP，ME=，EN=2，
作直线QN，交x轴于A，
∵M（1，1），
∴OM=，
∴OE=2，
∵M和P在直线y=x上，
∴∠MOA=45°，
∴△EOA是等腰直角三角形，
∴EA=2，
∴A与N重合，即N在x轴上，
同理可知：Q在y轴上，且ON=OQ=4，
由题意得：四边形MNPQ与直线y=x+b有公共点时，b的取值范围是-4≤b≤4．
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