2025-2026学年甘肃省陇南市九年级（上）期末数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年甘肃省陇南市九年级（上）期末数学试卷-自定义类型，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，操作解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. 圆B. 菱形C. 矩形D. 等边三角形
2.一元二次方程x（x-1）=x的根为（ ）
A. x=2B. x=0C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=1
3.有一枚硬币，每次抛出出现正反面的概率相等，已知，在之前的100次试验中，出现了80次正面和20次反面，则第101次出现正面的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.在二次函数y=x2-2nx+2（n为常数）中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则n的取值范围是（ ）
A. n＜1B. n＞1C. n≥1D. n≤1
5.如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥AO，若∠A=25°，则∠D的度数为（ ）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
6.下列说法中正确的是（ ）
A. 如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称
B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等
C. 平移改变图形的形状和大小
D. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
7.在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在20%左右，则m的值大约为（ ）
A. 20B. 40C. 60D. 100
8.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A. 1B. -1C. 2D. -2
9.如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧（所在圆的圆心为 O），弓弦部分AB的长为4dm,点D是弓臂的中点， OD交AB于点C，D、C两点之间的距离为1dm,则弓臂所在圆的半径为（ ）
​
A. 2dmB. 2.5dmC. 3dmD. 4dm
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列三个结论：①ac＞0；②b2＞4ac；③a-b+c＜0.下列说法正确的是（ ）
A. ①②③都正确
B. ①错误，②③正确
C. ①③正确，②错误
D. ①②正确，③错误
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观.成语“刻舟求剑”描述的事件是 事件.（填“随机”“不可能”或“必然”）
12.关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 .
13.一个口袋中装有两个红球，一个白球，若规定从口袋中随机摸出两球，是同一颜色，甲获胜，不是同一颜色，乙获胜，则可知甲，乙两人中______获胜的机会大．
14.若关于x的函数y=x2-x-k与x轴有两个交点，则k的取值范围是 .
15.已知圆锥的底面半径为5cm,母线长为12cm,则这个圆锥的侧面积是 cm2.（结果保留π）
16.如图，⊙O的半径为4cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为______cm2．（结果保留π）
三、解答题：本题共10小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程：x2-3x=6-2x.
18.(本小题6分)
关于x的一元二次方程x2-kx+k-1=0.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围.
19.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知△ABC.
（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）请在y轴上找一点P，使PB1+PC1的值最小，并直接写出点P的坐标.
20.(本小题10分)
2025年全运会吉祥物之一“喜洋洋”深受大家的喜爱，小红、小亮去某商场买“喜洋洋”纪念品后的对话如下：
小红：该商场每个“喜洋洋”纪念品的进价是20元.
小亮：当该商场每个“喜洋洋”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个.
根据他们的对话，解决下面的问题：
（1）若每个“喜洋洋”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润为多少元？
（2）若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“喜洋洋”纪念品的售价应定为多少元？
21.(本小题10分)
某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级.请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；
（2）若从体能测试结果为D等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率.
22.(本小题8分)
在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+8）=4.
解：原方程可变形，得[（x+4）-4][（x+4）+4]=4，
（x+4）2-42=4，
（x+4）2=20，
直接开平方，得，.
我们称这种解法为“平均数法”.
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）=40时写的解题过程：
解：原方程可变形，得[（x+a）-b][（x+a）+b]=40，
（x+a）2-b2=40，
（x+a）2=40+b2，
直接开平方，得x1=2，x2=-12.
上述解题过程中的a,b所表示的数分别是______，______；
（2）请用“平均数法”解方程：（x-2）（x+6）=4.
23.(本小题10分)
如图，△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°，AC=4，B为AE边上一点，连接BC，将△ABC绕点C旋转到△EDC的位置.
（1）若∠ACB=20°，求∠CDE的度数；
（2）连接BD，求BD长的最小值.
24.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，O是斜边AB上一点，以点O为圆心，OB的长为半径的⊙O恰好经过点D.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若，求⊙O的半径.
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上位于线段AC下方的一个动点，连接AP，CP，求△APC面积最大时点P的坐标.
26.(本小题12分)
如图，等腰直角△ABC与等腰直角△ADE按图1位置放置，已知AC=6，.
（1）填空：DE= ______，BC= ______；
（2）现将图1中等腰直角△ADE绕点A按顺时针方向旋转，当旋转到点C、D、E在一条直线上时，如图2所示，求CD的长度；
（3）当图1中等腰直角△ADE绕点A顺时针方向旋转到满足∠ACD+∠ECD=45°时，如图3所示，猜想：EC与AE的数量关系，并证明你的猜想.
四、操作解答题：本大题共1小题，共8分。
27.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O是BC上一点．
（1）尺规作图：作⊙O，使⊙O与AC，AB都相切（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，若⊙O与AB相切于点D，与BC的另一个交点为点E，BE=2，BD=4，求AO的长．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】不可能
12.【答案】-2
13.【答案】乙
14.【答案】
15.【答案】60π
16.【答案】
17.【答案】x1=3，x2=-2．
18.【答案】（1）证明：由题意可知：Δ=k2-4k+4=（k-2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2-kx+k-1=0，
∴（x-k+1）（x-1）=0，
∴x=k-1或x=1，
∵方程有一个根小于0，
∴k-1＜0，
∴k＜1．
19.【答案】如图，△A1B1C1即为所求； 如图，点P即为所求．P（0，3）
20.【答案】6110元 40元
21.【答案】50
22.【答案】5;3 ，
23.【答案】解：（1）∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°，
∴∠A=∠AEC=45°，
∵∠ACB=20°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=115°，
∵将△ABC绕点C旋转到△EDC的位置，
∴∠CDE=∠ABC=115°；
（2）∵将△ABC绕点C旋转到△EDC的位置，
∴∠ACB=∠DCE，BC=DC，
∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=∠ACB+∠BCE=90°，
∴BD=BC，
当BC⊥AE时，BC的值最小，即BD的值最小，
∵AC=4，
∴AB=BC=AC=4，
∴BD=4，
故BD长的最小值为4．
24.【答案】（1）证明：连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：作OF⊥BC，垂足为F，

设⊙O的半径为x,则OB=OD=x,
∵∠C=90°，∠ODC=90°，OF⊥BC，
∴四边形ODCF是矩形，
∴，CF=OD=x,
∴BF=3-x,
在Rt△BOF中，BF2+OF2=OB2，
即，
解得，
∴⊙O的半径为．
25.【答案】抛物线的表达式为y=x2+2x-3；
点P的坐标为
26.【答案】4;6 CD=-2+4 CE=3AE．证明见解析
27.【答案】解：（1）如图，⊙O即为所作图形；
（2）连接OD，设OD=OE=R，
则OB=OE+BE=R+2，
在Rt△OBD中，R2+42=（R+2）2
解得R=3，
则CE=6，
设AC=AD=x，
则CB=CE+EB=8，AB=AD+DB=x+4,
在Rt△ABC中，x2+82=（x+4）2，
解得x=6，
∴AO===3．