专题01 统计【九大考点+知识串讲】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

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模块二
知识点一遍过
（一）全面调查与抽样调查
（1）统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
（2）全面调查与抽样调查的优缺点：
①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．
②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
（二）总体、个体、样本、样本容量
(1)总体：要考察的全体对象；(2)个体：组成总体的每一个考察对象；
(3)样本：被抽查的那些个体组成一个样本；(4)样本容量：样本中个体的数目．
（三）统计量的分析
（1）平均数：x1，x2，…，xn的平均数eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn).
（2）加权平均数：①一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则eq \f(x1ω1＋x2ω2＋…＋xnωn,ω1＋ω2＋…＋ωn)叫做这n个数的加权平均数．
②若x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次，且f1＋f2＋…＋fk＝n，则这k个数的加权平均数eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk).
（3）中位数：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
（4）众数：一组数据中出现次数最多的数据.一组数据的众数可能有多个，也可能没有.
（5）方差：公式：设x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，则这n个数据的方差为s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x) )2＋…＋(xn－eq \x\t(x) )2].方差意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，越稳定．
（四）统计图
（1）频数、频率：①频数：每个对象出现的次数．②频率：频数与数据总数的比
（2）统计图：
①条形统计图能够显示每组中的具体数据．
②扇形统计图能够显示部分在总体中的百分比．
③折线统计图能够显示数据的变化趋势．
④频数分布直方图能够显示数据的分布情况．
（3）画频数分布直方图的步骤：
①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③决定分点；④列频数分布表；
⑤画频数分布直方图．
模块三
考点一遍过
考点1：全面调查与抽样调查
典例1：下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．调查一批圆珠笔的使用寿命B．调查全国九年级学生的睡眠情况
C．调查重庆市民坐轻轨出行的意愿D．调查“神十八”载人飞船各零部件质量
【答案】D
【知识点】判断全面调查与抽样调查
【分析】此题考查了抽样调查和全面调查的区别，根据抽样调查和全面调查的特征即可，解题的关键是理解选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【详解】解：A、调查一批圆珠笔的使用寿命，具有破坏性，适宜采用抽样调查，故选项不符合题意；
B、调查全国九年级学生的睡眠情况适宜采用抽样调查，故选项不符合题意；
C、调查重庆市民坐轻轨出行的意愿适宜采用抽样调查，故选项不符合题意；
D、调查“神十八”载人飞船各零部件质量，涉及安全性，适宜采用全面调查，故选项符合题意；
故选：D．
【变式1】下列调查适合抽样调查的是（ ）
A．审核书稿中的错别字
B．对某社区的卫生死角进行调查
C．对八名同学就地摊经济知晓程度进行调查
D．对全国中学生目前的睡眠情况进行调查
【答案】D
【知识点】判断全面调查与抽样调查
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
本题考查了全面调查与抽样调查的应用，一般由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A、审核书稿中的错别字，必须准确，故必须普查；
B、此种情况数量不是很大，故必须普查；
C、人数不多，容易调查，适合普查；
D、中学生的人数比较多，适合采取抽样调查；
故选：D．
【变式2】下列调查：①调查一批灯泡的寿命；②调查某城市居民家庭收入情况；③调查某班学生的视情况；④调查某种袋装食品是否含有防腐剂；⑤调查神舟飞船的设备零件的质量状况．其中适合抽样调查的是 （填所有序号）．
【答案】①②④
【知识点】判断全面调查与抽样调查
【分析】根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，据此进行判断即可．
【详解】解：①调查一批灯泡的寿命，具有一定的破坏性，故可采用抽样调查的方式；
②调查某城市居民家庭收入情况，调查的范围较大，故可采用抽样调查的方式；
③调查某班学生的视力情况，调查的范围较小，故可采用全面调查的方式；
④调查某种药品的药效，具有一定的破坏性，故可采用抽样调查的方式．
故适合抽样调查的是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【变式3】①了解全国中小学生每天的零花钱；②了解一批灯泡的平均使用寿命；③调查20～25岁年轻人最崇拜的偶像；④对患甲型H7N9的流感患者同一车厢的乘客进行医学检查．上述调查适合做普查的是： .
【答案】④对患甲型H7N9的流感患者同一车厢的乘客进行医学检查
【知识点】判断全面调查与抽样调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】①了解全国中小学生每天的零花钱；②了解一批灯泡的平均使用寿命；③调查20～25岁年轻人最崇拜的偶像；④对患甲型H7N9的流感患者同一车厢的乘客进行医学检查．上述调查适合做普查的是：④对患甲型H7N9的流感患者同一车厢的乘客进行医学检查，
故答案为④对患甲型H7N9的流感患者同一车厢的乘客进行医学检查．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.
考点2：总体、个体、样本、样本容量
典例2：为了解某校七年级620名学生参加课外劳动的时间，从中抽取100名学生参加课外劳动的时间进行分析，在此次调查中，下列说法：①七年级620名学生参加课外劳动的时间是总体；②每个学生是个体；③被抽取的100名学生参加课外劳动的时间是样本；④样本容量是200名．其中正确的有（ ）
A．①④B．①③C．③④D．②④
【答案】B
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【分析】本题考查统计知识的总体，样本，个体，普查与抽查等相关知识点．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
【详解】解：①七年级620名学生参加课外劳动的时间是总体，①正确；
②七年级620名学生中的每个学生参加课外劳动的时间是个体，故②错误；
③被抽取的100名学生参加课外劳动的时间是样本，③正确；
④样本容量是100名，故④错误．
故正确的有：①③，
故选：B．
【变式1】为了解某地5000名八年级考生的数学成绩，教育部门抽取了200名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法正确的是（ ）
A．每个考生是个体B．样本容量是200名学生
C．200名考生是总体的一个样本D．5000名学生的数学成绩的全体是总体
【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【分析】本题考查了个体、总体、样本、样本容量，根据个体、总体、样本、样本容量的定义进行判断即可，正确理解个体、总体、样本、样本容量的定义是解题的关键．
【详解】解：A．每个考生的数学成绩是个体，原选项不符合题意；
B、样本容量是200，原选项不符合题意；
C、200名考生的数学成绩是总体的一个样本，原选项不符合题意；
D、5000名学生的数学成绩的全体是总体，原选项符合题意；
故选：D．
【变式2】为了了解我市2019年13752名考生的数学中考成绩，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在此次调查中，下列说法：①我市2019年13752名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是样本；④样本容量是200名．其中说法正确的有 ．(填序号)
【答案】①③
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【分析】根据总体，个体，样本及样本容量的定义解答即可.
【详解】在这个事件中，
总体是我市2019年13752名考生的数学中考成绩的全体，
个体是我市2019年每名考生的数学中考成绩，
样本是从中抽取的200名考生的数学中考成绩，
样本容量是200，没有单位，
所以正确的说法有：①③，
故答案为：①③.
【点睛】此题考查统计调查中总体，个体，样本及样本容量的定义，正确理解定义并运用解题是关键.
【变式3】为了了解我市2019年10000名考生的数学中考成绩，从中抽取了200名考生成绩进行统计.在这个问题中，下列说法：①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体：②每个考生是个体；③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本：④样本容量是200.其中说法正确的有（填序号）
【答案】①③④
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】①这10000名考生的数学中考成绩的全体是总体，正确；
②每个考生的数学中考成绩是个体，故原说法错误；
③从中抽取的200名考生的数学中考成绩是总体的一个样本，正确；
④样本容量是200，正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
考点3：统计量的计算
典例3：已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是2，那另一组数据2x1−1，2x2−1，2x3−1，2x4−1，2x5−1，的平均数和方差分别为（ ）
A．4，4B．3，3C．3，8D．3，4
【答案】C
【知识点】求一组数据的平均数、求方差
【分析】本题主要考查方差，先由原数据的平均数及方差得出x1+x2+x3+x4+x5=10，x1−22+x2−22+x3−22+x4−22+x5−22=10，再依据平均数和方差的定义计算新数据的平均数和方差即可．
【详解】解：由题意知，x1+x2+x3+x4+x5=10，
x1−22+x2−22+x3−22+x4−22+x5−22=10，，
所以新数据的平均数为15×2x1−1+2x2−1+2x3−1+2x4−1+2x5−1
=152x1+x2+x3+x4+x5−5
=15×15
=3，
新数据的方差为15×2x1−1−32+2x2−1−32+2x3−1−32+2x4−1−32+2x5−1−32
=15×4x1−22+4x2−22+4x3−22+4x4−22+4x5−22
=45×x1−22+x2−22+x3−22+x4−22+x5−22
=45×10
=8，
故选：C．
【变式1】某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：
关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是2.5B．中位数是3C．众数是2D．方差是4
【答案】B
【知识点】求加权平均数、求中位数、求众数、求方差
【分析】本题考查了加权平均数、中位数、众数及方差，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键；根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算公式，分别进行计算即可得出正确答案．
【详解】解：解：∵一共有10人，
∴平均数为0×1+2×2+3×4+4×1+5×2÷10=3，故A选项错误，不符合题意；
∵最中间的数是第5个和第6个数的平均数，
∴中位数是；3+3÷2=3，
∴中位数为3元，故B选项正确，符合题意；
∵每天使用3元零花钱的有4人，最多，
∴众数为3元，故C选项错误，不符合题意；
方差为： =0−32+2−32×2+3−32×4+4−32+5−32×210=2，故D选项错误，不符合题意．
故选：A．
【变式2】体育课上，某班15名男生进行引体向上的训练，在训练后的测试中，这15名男生做引体向上个数的统计数据如下：
根据以上数据，这15名男生做引体向上个数的众数是 ，中位数是 ．
【答案】 8； 9．
【知识点】求众数、求中位数
【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义就可以求解，正确理解众数和中位数的定义是解题关键．
【详解】解：根据表格可知，出现次数最多的为8个共4次，
∴众数为8，
∵15名男生做引体向上个数的统计数据，
∴第8个数据为9个，故中位数为9，
故答案为：8，9．
【变式3】嘉淇本学期的数学测试成绩如表，如果规定平时成绩、期中成绩、期末成绩按照1:2:2计算得出总成绩，则本学期嘉淇的数学总成绩为 分．
【答案】86
【知识点】求加权平均数
【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．根据加权平均数的计算公式计算即可得．
【详解】解：本学期嘉淇的数学总成绩为1×80+2×85+2×901+2+2=86（分），
故答案为：86．
考点4：统计量的选择
典例4：贵阳贵安2021年第二届初中教师说课评比顺利结束，陈老师根据七位评委所给的分数，将最后一位参赛教师的得分制作了表格．对七位评委所给的分数，去掉一个最高分和一个最低分后．表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．方差B．众数C．中位数D．平均数
【答案】C
【知识点】根据要求选择合适的统计量
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选C．
【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．
【变式1】在我校“文化艺术节”英语表演比赛中，有16名学生参加比赛，规定前8名的学生进入决赛，某选手想知道自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的（ ）
A．中位数B．方差C．平均数D．众数
【答案】A
【知识点】利用合适的统计量做决策、运用中位数做决策
【分析】根据中位数的意义进行求解即可．
【详解】解：16位学生参加比赛，取得前8名的学生进入决赛，中位数就是第8、第9个数的平均数，
因而要判断自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的中位数就可以．
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数的意义，掌握中位数的意义是解题的关键．
【变式2】要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择 （填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是 ．
【答案】 小明 小明的成绩更稳定
【知识点】运用方差做决策、利用合适的统计量做决策
【分析】根据两个折线统计图可以看出二人的平均成绩相同，但小明的成绩更稳定，即可做出选择．
【详解】解：由折线统计图可以看出，小华和小明的平均成绩相同，都是7.5，但小明的成绩比较稳定．
故答案为：小明；小明的成绩更稳定．
【点睛】本题考查了平均数与方差等知识，平均数反映了一组数据的集中趋势，方差反映了一组数据的离散程度，方差越小，成绩越稳定，方差可以通过计算，也可以通过统计图进行观察比较大小．
【变式3】某校八年级（2）班为选拔18名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有35名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前18名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的 （填“众数”或“中位数”或“平均数”）
【答案】中位数
【知识点】求中位数、根据要求选择合适的统计量
【分析】本题主要考查了统计量的选择，中位数的意义等知识点，熟练掌握中位数的定义是解题的关键：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
由于取前18名同学参加学校的决赛，共有35名同学参加选拔赛，根据中位数的意义分析即可得出答案．
【详解】解：35个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后共有18个数，
∴只要知道自己的分数和中位数，就可以知道自己能否进入决赛了，
故答案为：中位数．
考点5：统计图的选择
典例5：下面的信息中，最适合用折线统计图表示的是（ ）
A．植物园各类植物的数量
B．六年级参加各项课后兴趣班的人数
C．珠海市2023年每月的降雨量变化情况
D．书店各类书的销售情况
【答案】C
【知识点】选择合适的统计图
【分析】本题考查折线统计图、统计表，根据折线统计图、统计表的特点可得答案．
【详解】解：最适合用折线统计图表示的是珠海市2023年每月的降雨量变化情况．
故选：C．
【变式1】中华五岳，是中国的五座历史文化名山，它们的海拔高度如下表所示，为了能更清楚地体现五岳的海拔高度，下列的统计图中最合适的是（ ）
A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．直方图
【答案】A
【知识点】选择合适的统计图
【分析】本题主要考查统计图的选择，熟练掌握统计图的应用是解题的关键．根据题意得到答案即可．
【详解】解：根据题意，需要直观比较五座山的高度，应选择条形统计图．
故选：A．
【变式2】下表为100粒种子的发芽情况：
用统计图说明该种子的发芽率，可选择 统计图；说明哪天种子发芽最多，可选择 统计图；反映种子的发芽规律，可选择 统计图．
【答案】 扇形 条形 折线
【知识点】选择合适的统计图
【分析】本题考查统计图表，涉及统计图表的定义，根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，熟记统计图表的优缺点是解决问题的关键．
【详解】解：用统计图说明该种子的发芽率，可选择扇形统计图；
说明哪天种子发芽最多，可选择条形统计图；
反映种子的发芽规律，可选择折线统计图．
故答案为：扇形；条形；折线．
【变式3】反映某种股票涨跌情况，应选用 统计图；学校统计各年级的总人数应选用 统计图，在一片果园中，有不同种类的果树，为了反映某种果树的种植面积占整个果园的面积百分比，应选用 统计图．
【答案】 折线 条形 扇形
【知识点】选择合适的统计图
【分析】首先搞清统计图的种类：条形统计图、折线统计图、扇形统计图共三种；进一步要清楚每一种统计图的优点：条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．
【详解】解：反映某种股票涨跌情况，应选用折线统计图；
学校统计各年级的总人数应选用条形统计图，
在一片果园中，有不同种类的果树，为了反映某种果树的种植面积占整个果园的面积百分比，应选用扇形统计图．
故答案为：折线，条形，扇形．
【点睛】此题是考查统计图的分类与特点，利用这些知识进行填空解答即可．
考点6：从统计图获取信息
典例6：为了解学生身体健康状况，某校从全校2000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表1），并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．
表1 学生体质健康统计表
根据上面的信息解决下面问题：
(1)本次选取的学生人数为__________人，图1中a=__________，b=__________，c=__________；
(2)请补全图2的条形统计图；
(3)为听取测试建议，学校选出了1名“良好”学生和3名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“优秀”的概率．
【答案】(1)100，3%，20，45%
(2)见解析
(3)12
【知识点】画条形统计图、频数分布表、频数分布直方图、列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查了列表法与树状图、频数分布表、频数分布直方图等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）用“优秀”等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量，再根据频数、频率的关系即可解答；
（2）根据（1）的结果，可补全条形统计图即可；
（3）用列表法表示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人均为“优秀”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：由题意可知：本次选取的学生人数为为32÷32%=100，
则a=3100×100%=3%，b=100×20%=20，
c=45100×100%=45%，
故答案为：100，3%，20，45%．
（2）解：补全条形统计图如图：
．
（3）解：设3名“优秀”学生分别用A，B，C，表示，1名“良好”学生用D表示，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生均为“优秀”的结果有6种，
∴P两人均为“优秀”=612=12．
【变式1】某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并根据统计结果，绘制成了如图9所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
(1)在这项调查中，共调查了_______名学生；
(2)将条形统计图补充完整（要求在条形图上方注明人数），并求出扇形统计图中的圆心角α的度数；
(3)该学校从E组中挑选了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)300
(2)补全条形图见解析，α=120°
(3)23
【知识点】求扇形统计图的某项数目、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了从条形图与扇形图中获取信息，利用画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）利用B组人数和百分比即可求解出共被调查的人数；
（2）利用总人数减去A，B，C，E组的人数即可求解D组人数，再补全统计图即可；由360°乘以D组的占比即可得到圆心角的大小；
（3）画出树状图，数出所有的情况数和符合题意的情况数，再根据概率公式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：共调查总人数为：30÷10%=300（人）；
（2）解：D组人数为：300−40−30−70−60=100（人），
补全图形如下：
由题意可得：α=100300×360°=120°；
（3）解：记A，B表示男生，C，D表示女生，画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生一名女生的有8种结果，
P一男一女=812=23．
【变式2】数字经济已成为我国新时代建设现代化经济体系的重要动力，其中，通信业务总体上呈现较高速度增长态势．下面是我国去年1−11月份通信行业“五大业务”收入情况（单位：亿元）和“五大业务”与上一年同期相比增长率情况（单位：%）统计图．
请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)填空：去年1−11月份“移动数据流量”收入为________亿元；
(2)请求出前年1−11月份电信业务收入约为多少亿元？
(3)某通信运营商在对全市各营业厅进行年终业绩考核中，把“电信业务”和“新型业务”作为优先考核的两大项目，请你简要说明该通信运营商这样考虑的原因是什么？
【答案】(1)5882
(2)13430亿元
(3)见解析
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、折线统计图、由条形统计图推断结论
【分析】本题考查条形统计图和折线统计图、一元一次方程的实际应用，从条形统计图和折线统计图中得出必要的信息和数据是解题的关键．
（1）由条形统计图可直接得出答案；
（2）设前年1−11月份电信业务收入为x亿元，根据题意可列出关于x的方程，解出x的值，即可得出答案；
（3）由条形统计图和折线统计图可知在“五大业务”收入中，“电信业务”收入最大；“新型业务”的增长率最高，即可得出把“电信业务”和“新型业务”作为优先考核的两大项目的原因．
【详解】（1）解：由条形统计图可得，去年1−11月份“移动数据流量”收入为5882亿元．
故答案为：5882．
（2）解：设前年1−11月份电信业务收入为x亿元，
依题意得，x1+8%=14504.4，
解得：x=13430，
答：前年1−11月份电信业务收入约为13430亿元．
（3）解：这样考虑的原因是：
①在“五大业务”收入中，“电信业务”收入最大；
②去年1−11月份通信行业“五大业务”与上一年同期相比，“新型业务”的增长率最高．
【变式3】3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
(1)本次调查总人数为_______人，A类活动所占圆心角的度数为_______；
(2)补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）；
(3)若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
(4)该校从C类中挑选出3名男生和2名女生，计划从这5名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是_______．
【答案】(1)200;72
(2)见详解
(3)600人
(4)35
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法或列表法求概率，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再根据选择A类的学生人数和总人数即可求出圆心角的度数．
（2）先求出选择D类的学生人数，再补全条形统计图即可；
（3）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解；
（4）利用列表法求解即可．
【详解】（1）解：本次调查总人数为20÷10%=200（人），
A类活动所占圆心角的度数为40200×360°=72°，
故答案为：200，72．
（2）解：选择D类的学生人数为200−40−20−60−30=50（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：2000×60200=600（人），
答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为600人；
（4）解：列表如下图：
由表格可知，共有20种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有12种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为1220=35．
考点7：以样本估计总体
典例7：临沂古称琅琊，是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到临沂观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（ ）

A．本次抽样调查的样本容量是5000
B．“其它”所表示的扇形的圆心角为30°
C．样本中选择公共交通出行的有2500人
D．若“五一”期间到临沂观光的游客有10万人，则选择自驾方式出行的有4万人
【答案】B
【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心角、由样本所占百分比估计总体的数量、总体、个体、样本、样本容量
【分析】用自驾方式的人数除以它所占百分比可得样本容量，可判断选项A；用360°乘“其它”所占百分比可得其它”所表示的扇形的圆心角度数，可判断选项B；用样本容量乘选择公共交通出行的百分比可判断选项C；用样本估计总体可判断选项D．
【详解】解：A．本次抽样调查的样本容量是：2000÷40%=5000，故选项A结论正确，不符合题意；
B．“其它”所表示的扇形的圆心角为：360°×1−50%−40%=36°，故选项B结论错误，符合题意；
C．样本中选择公共交通出行的有：5000×50%=2500（人），故选项C结论正确，不符合题意；
D．若“五一”期间到临沂观光的游客有10万人，则选择自驾方式出行的有：10×40%=4（万人），故选项D结论正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，熟悉样本容量、用样本估计总体是解题的关键，另外注意学会分析图表．
【变式1】某校落实“阅读管理”工作，执行“课前三分钟阅读”方案，为了了解学生对该方案的认可情况，学校设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见．从学校所有2400名学生中随机征求了100名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有30名学生，估计全校持“赞成”意见的学生人数约为（ ）
A．70B．720C．1440D．1680
【答案】D
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量
【分析】用总人数乘以样本中持“赞成”意见的学生人数所占比例即可．
【详解】2400×100−30100=1680人
故选：D．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，一般来说，用样本估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也越精确．
【变式2】某工厂生产某种产品，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法抽取这个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．已知检测综合得分大于或等于70分的产品为合格产品，则估计该月该产品合格的有 件．
【答案】9840
【知识点】频数分布直方图、由样本所占百分比估计总体的数量
【分析】先根据频数直方图求出被抽取的样品的合格率，再利用10000乘以样品的合格率即可得该月该产品合格的件数．
本题主要考查了频数分布直方图和抽样调查．能够从频数直方图中获取信息是解题的关键．
【详解】解：由图知，共抽取的产品数为8+132+160+200=500件，
其中合格产品有132+160+200=498件，
∴合格率为498500×100%=98.4%，
∴该月该产品合格的有10000×98.4%=9840件．
故答案为：9840．
【变式3】腹有诗书气自华，最是书香能致远．为开展好读书活动，某校计划购买一批课外读物．为了解学生对课外读物的需求情况，学校随机抽取了部分学生进行了一次“我最喜欢的课外读物”的调查（设置了“文学”、“科技”、“历史”、“艺术”、“哲学”和“其他”六个类别，规定每人必须只能选择其中的一个类别），将调查结果进行了统计分析，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
该校共有学生1500人，请根据以上统计分析，估计该校“我最喜欢的课外读物”是“科技”的学生约有 人．
【答案】360
【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量
【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键．首先求得此次随机调查的学生总数，再计算选择“科技”的学生人数，然后利用学生总人数×参与调查的学生中选择“科技”的学生占比，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，此次随机调查的学生总数为25÷25%=100人，
∴选择“其他”的学生人数为100×15%=15人，
选择“科技”的学生人数为100−25−12−14−10−15=24人，
∴估计该校“我最喜欢的课外读物”是“科技”的学生约有1500×24100=360人．
故答案为：360．
考点8：数据的波动程度
典例8：设有n个数x1,x2,x3,⋯,xn，其标准差为S1．另有n个数y1,y2,y3,⋯,yn，其标准差为S2．其中yk=2xk+3k=1,2,3,⋯,n，则下列说法正确的是（ ）
A．S2=2S1+3B．S2=2S1C．S2=2S1+3D．S2=2S1
【答案】B
【知识点】求一组数据的平均数、标准差、求方差
【分析】本题考查平均数与方差，熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键．
根据平均数与方差的计算公式计算即可求解．
【详解】解：∵x=1nx1+x2+x3+...+xn，
∴S12=1nx1−x2+x2−x2+x3−x2+...+xn−x2，
∵yk=2xk+3k=1,2,3,⋯,n
∴y=1ny1+y2+y3+...+yn
=1n2x1+3+2x2+3+2x3+3+...+2xn+3
=2×1nx1+x2+x3+...+xn+3
=2x+3，
∴S22=1ny1−y2+y2−y2+y3−y2+...+yn−y2
=1n2x1+3−2x−32+2x2+3−2x−32+2x3+3−2x−32+...+2xn+3−2x−32
=1n4x1−x2+4x2−x2+4x3−x2+...+4x4−x2
=4S12
∴S2=2S1．
故选：B．
【变式1】某班级举办了一次生物实验操作竞赛，满分10分，这次竟赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：4，6，7，9，9，10；乙：6，6，8，8，8，9．其中9分及9分以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）
A．甲组平均成绩高于乙组B．甲组成绩比乙组更稳定
C．甲组成绩中位数与乙组相同D．乙组成绩优秀率更高
【答案】C
【知识点】根据方差判断稳定性、求方差、求中位数、求一组数据的平均数
【分析】本题考查了平均数、方差、中位数以及优秀率，掌握各自的定义以及计算公式是解题的关键．
分别求出甲、乙两组学生成绩的平均数、方差、中位数以及优秀率即可．
【详解】解：甲组平均成绩为：(4+6+7+9+9+10)÷6=7.5分，
乙组平均成绩为：(6+6+8+8+8+9)÷6=7.5分，
∴甲组平均成绩等于乙组，A选项说法错误，不符合题意；
甲组成绩的方差为：16×(4−7.5)2+(6−7.5)2+(7−7.5)2+2×(9−7.5)2+(10−7.5)2=4.25，
乙组成绩的方差为：16×2×(6−7.5)2+3×(8−7.5)2+(9−7.5)2=1.25，
∴乙组成绩比甲组更稳定，B选项说法错误，不符合题意；
甲组成绩中位数为：(7+9)÷2=8，
乙组成绩中位数为：(8+8)÷2=8，
∴甲组成绩中位数与乙组相同，C选项说法正确，符合题意；
甲组成绩优秀率为：36×100%=50%，
乙组成绩优秀率为：16×100%≈16.7%，
∴甲组成绩优秀率更高，D选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【变式2】若一组数据x1，x2，…，xn的方差是3，则另一组数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的标准差是 ．
【答案】23
【知识点】求一个数的算术平方根、利用二次根式的性质化简、求方差
【分析】本题主要考查了方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．先设这组数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差S2=3，则另一组新数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的平均数为2x+1，方差为S′2，代入公式S2=1nx1−x2+x2−x2+x3−x2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+xn−x2计算即可．
【详解】解：设这组数据x1，x2，…，xn的平均数为x，则另一组新数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的平均数为2x+1，
∵S2=1nx1−x2+x2−x2+x3−x2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+xn−x2=3，
∴S′2=1n2x1+1−2x−12+2x2+1−2x−12+2x3+1−2x−12+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2xn+1−2x−12
=1n2x1−2x2+2x2−2x2+2x3−2x2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2xn−2x2
=1n4x1−x2+4x2−x2+4x3−x2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+4xn−x2
=4nx1−x2+x2−x2+x3−x2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+xn−x2
=4S2
=4×3
=12，
∴2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的标准差是12=23．
故答案为：23．
【变式3】甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2 s乙2（填“>”，“x乙
甲的方差是：S2=15[(9−8.8)2+(9−8.8)2+(8−8.8)2+(10−8.8)2+(8−8.8)2]=0.56；
乙的方差是：S2=15[(8−7.8)2+(8−7.8)2+(7−7.8)2+(9−7.8)2+(7−7.8)2]=0.56；
∵S甲2=0.56，S乙2=0.56，
∴S甲2=S乙2，
故答案为：=
考点9：统计综合
典例9：某校对初三1200名学生进行“校园安全知识”的教育活动，从1200名学生中随机抽取部分学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为A、B、C、D四个等级，绘制了图①、图②两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)将条形统计图和扇形统计图补充完整；
(3)求出扇形统计图中“D”选项对应的圆心角度数；
(4)估计初三“D”等级的学生有多少人？
【答案】(1)本次被抽查的学生共有60人
(2)见解析
(3)扇形统计图中D选项对应的圆心角度数为36°
(4)估计全校D等级的学生有120人
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据A等级有12人，占20%，即可求得抽查的总人数；
（2）根据百分比的定义求得B、D所占的百分比，以及C、D类的人数，即可解答；
（3）利用360°乘以对应的百分比即可求解；
（4）利用总人数1200乘以对应的百分比即可求解．
【详解】（1）解：12÷20%=60（人），
答：本次被抽查的学生共有60人；
（2）解：B所占的百分比是：2460×100%=40%，
D所占的百分比是：1−20%−40%−30%=10%，
C的个数是：60×30%=18，
D的个数是：60×10%=6，
∴补全图形，如图所示：
（3）解：360°×10%=36°，
答：扇形统计图中D选项对应的圆心角度数为36°；
（4）解：1200×10%=120（人），
答：估计全校D等级的学生有120人．
【变式1】小张同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形统计图和条形统计图：
请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)小张同学共调查了______名居民的年龄，扇形统计图中，0~14岁对应扇形的圆心角为______°；
(2)补全条形统计图；
(3)若在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是60岁及以上的概率为______；
(4)若该辖区年龄在60岁及以上的居民约有3600人，根据调查结果估计该辖区居民人数共有多少人？
【答案】(1)500，72
(2)见解析
(3)12%
(4)该辖区居民人数共有30000人．
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、根据概率公式计算概率
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合，用样本估计总体，概率的计算等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．总体数目=部分数目÷相应百分比．部分数目=总体数目乘以相应概率．概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）用15~40岁的人数除以该组所占百分比即可得到总人数；用0~14岁人数除以总人数即可得到该组所占百分比，再乘以360°即可求解；
（2）小长方形的高等于该组的人数；
（3）抽中的概率等于该组占全部的百分数；
（4）60岁及以上人数除以该组所占百分比即可．
【详解】（1）由条形统计图和扇形统计图可知：15~40岁的有230人，占总人数的46%，
∴230÷46%=500，
∵0~14岁有100人，
∴a=100÷500=20%，
则0~14岁对应扇形的圆心角为360×20%=72°；
故答案为：500，72；
（2）500−100−230−60=110，
补全条形统计图如下：
（3）在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是60岁及以上的概率为60500=12%；
故答案为：12%；
（4）3600÷12%=30000（人）．
答：该辖区居民人数共有30000人．
【变式2】2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合索质．为落实会议精神，教务处组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级学生最关心的问题”，在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全部收回且全部有效．统计过程中，调查小组将结果绘制成图1和图2统计图（均不完整）．请根据图中提供信息，解答下列问题：
(1)此次抽样调查中，共调查了 名学生；
(2)将图1补充完整，图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 度；
(3)该小组要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息；
(4)已知甲、乙、丙、丁、戊无名学生都最关心“学习成绩”，总这五人中随机先后选取两人参加“作业布置和完成情况”单独面谈，请用列表或树状图的方法，求恰好选中甲，乙两人的概率．
【答案】(1)300
(2)126，图见解析
(3)见解析
(4)110
【知识点】画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联、用列表或画树状图的方法求概率等知识点，正确理解题意，从统计图中获取需要数据是解题的关键．
（1）用最关心问题D的人数除以其所占百分比即可解答；
（2）用调查总人数分别减去最关心A、C、D、E的人数，然后补全条形统计图，再用其所占的比例乘以360°即可；
（3）根据两个统计图所给数据，进行分析即可；
（4）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再利用概率公式解即可．
【详解】（1）解：12÷4%=300（人）；
故答案为：300．
（2）解：最关心问题D的人数为：300−20−105−12−63=100（人）
补全条形统计图如图所示；

学生最关心“课余生活”的圆心角度数为360°×105300=126°，
故答案为：126．
（3）解：答案不唯一．例如：七年级学生最关心“课余生活”的人数最多；七年级学生最关心 “学习成绩”的人数占13；七年级学生最关心“热点时事”的人数最少．
（4）解：列表如下：
由列表可知，从这五人中随机先后选取两人总共有20种结果，每种结果出现的可能性都相同，其中恰好选中甲，乙两人的结果有2种．
所以恰好选中甲，乙两人的概率220=110．
【变式3】某市教育局为了解在校初中生做家务的情况，随机抽取某校部分初中学生进行了调查，依据相关数据绘制成如图所示的不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：
根据图中信息，请完成下列题：
(1)本次抽样调查的总人数有___________人；
(2)选择B选项的人数有多少人；
(3)补全条形统计图；
(4)在扇形统计图中，若选项D所对应的圆心角为α，则α=___________．
【答案】(1)60
(2)15人
(3)见解析
(4)72°
【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）由C选项人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以B选项对应百分不可求出其人数；
（3）根据（2）可补全图形；
（4）360°乘以D选项人数所占比例即可．
【详解】（1）解：本次抽样调查的总人数有24÷40%=60（人)，
故答案为：60；
（2）解：B选项的人数为60×25%=15（人)，
故答案为：15；
（3）解：补全图形如下：
（4）解：在扇形统计图中，若选项D所对应的圆心角为α，则α=360°×1260=72°，
故答案为：72°．
每天使用零花钱（单位：元）
0
2
3
4
5
人数
1
2
4
1
2
个数
5
7
8
9
10
12
14
人数
1
2
4
3
2
2
1
测试类别
平时
期中
期末
得分/分
80
85
90
平均数
中位数
众数
方差
86.2分
85分
84分
5.76
山名
东岳泰山
南岳衡山
西岳华山
北岳恒山
中岳嵩山
海拔m
1533
1300
2155
2016
1492
天数
1
2
3
4
5
发芽率
10
65
15
5
0
成绩
频数
百分比
不及格
3
a
及格
b
20%
良好
45
c
优秀
32
32%
A
B
C
D
A
B,A
C,A
D,A
B
A,B
C,B
D,B
C
A,C
B,C
D,C
D
A,D
B,D
C,D
男
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
（女，女）
七年级学生最关心的问题问卷调查表
亲爱的同学：你好！
这是一份关于七年级学生最关心的问题的问卷调查表，采用无记名方式，请在表格中选择一项你最关心的内容，在其后空格内打“√”，非常感谢你的合作！
甲
乙
丙
丁
戊
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
（戊，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
（戊，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
（戊，丙）
丁
（甲，丁）
（乙、丁）
（丙、丁）
（戊，丁）
戊
（甲，戊）
（乙，戊）
（丙，戊）
（丁，戊）
在下列家务劳动中你每周能主动参与做___________件事情．
①整理房间，打扫卫生；②吃过饭后收拾餐桌，洗刷餐具；③清洗自己的衣服，整理衣柜；④给家里的花草浇水施肥或给小动物喂食洗澡．
A．零 B．一 C．二 D．三 E．四