专题01 平移与轴对称【九大考点+知识串讲】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

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模块二
知识点一遍过
（一）图形的平移
（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．确定平移的两大要素是方向和距离．
（2）性质：
①经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．
②平移改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
（二）图形的轴对称
（1）定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形是成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段.
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）性质：
①成轴对称的两个图形全等，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
模块三
考点一遍过
考点1：利用平移的性质求解
典例1：如图，正方形ABCD的边长为2cm，将正方形ABCD沿对角线BD向右平移1cm，则B1D等于（ ）
A．22−2cmB．2cmC．2−1cmD．22−1cm
【变式1】如图，在△ABC中，AB=8，BC=11，∠B=60°，将△ABC沿着BC的方向平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′=3，则△A′B′C的周长为（ ）
A．24B．20C．36D．16
【变式2】如图，将周长为16cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，已知四边形ABFD的周长为20cm，那么平移的距离为 cm．
【变式3】如图（图在上一页），在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：①AD∥BE；②∠B=∠AED；③DE⊥AC；④BE=AD=CF=2cm，其中一定成立的有 ．
考点2：坐标系中的平移
典例2：若实数m和n是整数，m2，将A2m−4,n−3向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到B点．若B点位于第四象限，则点C(m,n)的可能位置有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【变式1】如图，△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，若△ABC上一点M的坐标为(m,n)，那么M点的对应点M′的坐标为（ ）
A．m+4,n−2B．m−4,n−2C．m+4,n+2D．m−4,n+2
【变式2】已知点B1,2将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B″，则点B″的坐标是 ．
【变式3】如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为A(4,1)，B(2,3)，C(2,1)．将△ABC沿射线AC平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ．
考点3：平移的综合
典例3：如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A−3,−2，B0,−1，C−1,1将三角形ABC进行平移后，点A的对应点A′为(1,0)，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′．
(1)画出平移后的三角形A′B′C′并写出B′，C′的坐标；
(2)写出由三角形ABC平移得到三角形A′B′C′的过程；
(3)求出三角形A′B′C′的面积．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标−3,0，点B的坐标是0,4，将线段AB向右平移得到线段CD，点D的坐标为5,4，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
(3)当点P在线段AE上运动时，是否存在点P使得三角形BCP的面积是四边形ABDC面积的15，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【变式2】如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为x（向右为正，向左为负，平移x个单位），沿竖直方向平移的数量为y（向上为正，向下为负，平移y个单位），则把有序数对x,y叫做这一平移的“平移量”．如图，已知△ABC，点A按“平移量”2,3可平移到点B．
(1)填空，点B可看作点C按“平移量” 平移得到；
(2)若将△ABC依次按“平移量”−1,1平移得到△A′B′C′，请在图（1）中画出△A′B′C′；
(3)将点A按“平移量”a,b平移得到点D，使S△ABD=S△ABC，写出所有满足条件的平移量a,b．
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点分别是A−1,4,B−4,−1,C1,1，点A经过平移后对应点为A14,7，将三角形作同样的平移得到三角形A1B1C1．

(1)平移后的另外两个顶点坐标分别为：B1（ ， ），C1（ ， ）．
(2)在网格中，先画出平移后的三角形A1B1C1，再解决下列问题：
①若BC边上一点Pa,b经过上述平移后的对应点为P1，点P1的坐标为______．（用含a,b的式子表示）
②求平移过程中，三角形ABC扫过的面积S．
考点4：轴对称图形的识别
典例4：下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（ ）
A．线段B．角C．等腰三角形D．正方形
【变式2】观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中．
（1）轴对称图形有 （填序号）；
（2）中心对称图形有 （填序号）；
（3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）；
（4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）．
【变式3】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
考点5：利用轴对称性质求解
典例5：小明用两个全等的等腰三角形△OAB与△ODC设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB,CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（ ）
A．BE=CFB．OE=OF
C．∠BOC+∠AOD=180°D．∠BOC=∠COD
【变式1】如图，已知△ABC和△AB′C′关于直线l对称，连接CC′，BC与B′C′的延长线交于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC≌△AB′C′B．∠ACD=∠AC′D
C．直线l垂直平分CC′D．直线l不经过点D
【变式2】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA'与BB'，CC'，其中BB′分别交AC，A′C′于点D，D′，下列结论：①AA′∥BB′；②∠ADB=∠A′D′B′；③直线l垂直平分AA′；④直线AB与A′B′的交点不一定在直线l上．其中正确的是 (填序号)．
【变式3】如图，∠A=28°，∠C′=62°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B= ．
考点6：坐标系中的轴对称求解
典例6：已知(a−2)2+b+3=0，则P(−a,−b)关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．−2,−3B．2,−3C．−2,3D．2,3
【变式1】如图，已知点A(−2,0)，B(0,4)，A与A′关于y轴对称，连接A′B，现将线段A′B以A′点为中心顺时针旋转90°得A′B′，点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．(8,2)B．(4,2)C．(6,2)D．(6,4)
【变式2】如图，正方形ABCD的顶点A1,1,B3,1，规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为 ．
【变式3】若点A(2,5)与点C关于x轴对称，则C点的坐标为 ，若点A与点B关于y轴对称，则B点的坐标为 ．则A，B两点间的距离为 ．
考点7：坐标系中的轴对称作图
典例7：如图，平面直角坐标系xOy中，点A−2,−1，B−4,−3，C−1,−4．
(1)在平面直角坐标系xOy中画出下面各图形：
①△ABC；
②△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
③△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2；
(2)求△A2B2C2的面积．
【变式1】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，每个小正方形的边长都为1个单位长度．
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)求△A1B1C1的面积；
(3)在x轴上找一点P，使PA1+PB的和最小，并写出点P的坐标（保留作图痕迹，不写作法）．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A0,3，B−4,4，C−2,1．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)请直接写出A1、B1、C1的坐标：A1 ；B1 ；C1 ；
(3)在x轴上找一点P，使得PA=PC，则点P的坐标为 ．
【变式3】在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′,B′,C′分别是A,B,C的对应点，不写画法）；
(2)在x轴上求作点P，使PA+PB的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
(3)点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有____________个．
考点8：利用轴对称求最值
典例8：如图，MN是⊙O的直径，AN=13MN，点B是AN的中点，点P是直径MN上一动点．连接AB，AP，BP．若MN=22，AB=3−1，则△PAB的周长的最小值是（ ）
A．3+1B．3+3C．2D．4
【变式1】如图所示：∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为5cm,M、N分别是射线OA、OB上的动点．若∠AOB=30°，则△PMN周长的最小值为（ ）．

A．3B．4C．5D．6
【变式2】如图，在 △ABC 中，AB=16，BC=10，AM平分∠BAC，∠BAM=15∘，D，E 分别为 AM，AB 上的动点，则 BD+DE 的最小值是 ．
【变式3】如图，点C，D在AB的同侧，AC=5，AB=102，BD=10，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是 ．
考点9：轴对称的综合问题
典例9：定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
如图2，在△ABC、△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE、BD．
(1)猜想BD与CE的数量关系是______；并证明你的结论．
(2)延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM=EN，连接AM．
①先补全图形．
②求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
【变式1】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线m交BC于点D，P是直线m上的一动点．
(1)连结BP，CP，求证：BP=CP；
(2)连结AP，若AB=6，AC=4，BC=7，求△APC的周长的最小值．
【变式2】在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD，交AP于点E，连接BE．

(1)依题意补全如图；
(2)若∠PAB=20°，求∠ACE；
(3)若0°