专题02 平行线及其判定【知识串讲+八大考点】-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）(原卷版+解析版）

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专题02 平行线及其判定 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）平行线及画法（1）平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。（2）平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（二）平行公理及推论（1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行几何描述 ：∵∥，∥　　　　 ∴∥（三）平行线的判定判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行　　　　 简称：同位角相等，两直线平行判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行　　　　 简称：内错角相等，两直线平行判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：∵　∠3＝∠2∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）∵　∠1＝∠2∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∵　∠4＋∠2＝180°∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）模块三考点一遍过考点1：平行线的定义典例1：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（   ）A．平行B．相交C．相交或平行D．垂直【变式1】在同一平面内，两条直线的位置关系有（    ）A．相交、垂直B．相交、平行C．垂直、平行D．相交、垂直和平行【变式2】  如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号）【变式3】在同一平面内，直线a与b满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上．（1）若a与b没有公共点，则a与b ；（2）若a与b有且只有一个公共点，则a与b ；（3）若a与b有两个公共点，则a与b ．考点2：平面内两直线的位置关系典例2：下列说法：①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线；②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；④同旁内角相等，两直线平行．正确的个数有（）个．A．1B．2C．3D．4【变式1】l1、l2、l3为同一平面内的三条直线，若l1与l2不平行，l2与l3不平行，那么l1与l3（   ）A．一定不平行B．一定平行C．一定互相垂直D．可能相交或平行【变式2】  观察如图所示的长方体．（1）用符号表示下列两棱的位置关系：AB EF，EA AB，HE HG，AD BC；（2）EF与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知 内，不相交的两条直线才能叫做平行线．【变式3】已知平面内2025条不同的直线l1、l2、l3，……，l2025满足以下规律：l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，……，按此规律，则l9与l10，l100与l2023的位置关系分别是l9 l10，l100 l2023．考点3：平行线的画法典例3：如图所示，在∠AOB内有一点P．(1)过P画l1∥OA；(2)过P画l2∥OB．【变式1】如图，用三角尺或量角器画图：(1)经过点A画直线BC的平行线MN；(2)经过点C画直线BC的垂线CD；(3)画点C到直线AB的垂线段CE．【变式2】  （1）过点A画直线的平行线；（2）过点B画直线的垂线．【变式3】如图，按要求画图并回答问题：(1)过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D；(2)过点D画直线DE∥AB，交AC的延长线于点E；(3)在线段AB，AC，AD中，最短的是______，理由为______．考点4：平行公理及推论典例4：在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ）A．平行于同一条直线的两直线平行B．同旁内角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【变式1】下面命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平移前后的两个图形对应线段相等且平行；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．真命题的个数是（   ）A．2B．3C．0D．1【变式2】  生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD所在的直线与地面MN ，理由是 ．【变式3】在同一平面内，有三条直线a，b，c，下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确命题是 ．（填序号）考点5：平行线的判定——同位角相等典例5：已知：如图，直线a、b被直线c所截，∠1与∠2互补，求证：a∥b．【变式1】如图，在△ABC中，AC>AB．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：(1)在AC上截取AD=AB，连接BD；(2)过D作BC的平行线交AB于点E．【变式2】  如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F．(1)求证：∠ABC+∠ADC=180°；(2)求证：BE∥DF．【变式3】如图，直线AB，CD被直线AE所截，CF平分∠DCE，∠1=110°，∠2=55°．求证：AB∥CD．  考点6：平行线的判定——内错角相等典例6：如图，BC⊥AC于点C，∠EBC+∠ACD=90°，求证：BE∥CD【变式1】如图，∠BAC=134°，∠ACE=136°，CE⊥CD．问CD∥AB吗？为什么？  【变式2】  如图，∠BAC=∠BCA，AC平分∠DAB．求证：AD∥BC．【变式3】完成下面的证明．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD．求证BE∥CF．  证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠ABC=∠BCD=90°（____________________）．∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠EBC=12∠ABC，∠BCF= ______（____________________）．又∵∠ABC=∠BCD，∴∠EBC=∠BCF（____________________）．∴BE∥CF（____________________）．考点7：平行线的判定——同旁内角互补典例7：如图，已知∠1=∠ABC=∠ADC,∠3=∠5,∠2=∠4,∠ABC+∠BCD=180°．将下列推理过程补充完整．∵∠1=∠ABC（已知），∴AD ∥________（________________）∵∠3=∠5（已知）∴AB ∥________（________________）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），∴________∥_________（________________）．【变式1】如图，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D． 求证：∠E=∠DFE． 证明：∵∠B+∠BCD=180° ( 已知  )，∴AB∥CD （ ）∴∠B=∠DCE（ ）又∵∠B=∠D（已知 ），∴∠D=∠DCE ( )  ∴AD∥BE（ ）∴∠E=∠DFE（ ）【变式2】  完成下面的证明．已知：如图，∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°．求证：AB∥EF．证明：∵∠1+∠2=180°，∴______∥________（_______）．∵∠3+∠4=180°，∴______∥________．∴AB∥EF（_______）．【变式3】数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线．(1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线MN，之后摆放三角板，得到AB∥CD．依据是______．(2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到AB∥CD．依据是______．(3)李老师将一副直角三角板（∠E=45°，∠C=30°）按如图3所示的方式放置，若∠DAC=15°，则可得到AE∥BC．请说明理由．考点8：垂直同一直线的两直线平行典例8：下列说法：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．正确的有（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1】在同一平面内，若a，b，c，d为直线，则下列说法正确的是（    ）A．∵ a∥b，b∥c，∴ c∥dB．∵ a⊥b，a⊥c，∴ b⊥cC．∵ a∥b，c∥d，∴ a∥cD．∵ a∥b，a∥c，∴ b∥c【变式2】  在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥e，则直线a，e的位置关系是 ．【变式3】在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是 ；a1与a2021的位置关系是 ．