专题03 全等三角形的判定【知识串讲+十大考点】-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）(原卷版+解析版）

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专题03 全等三角形的判定 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）全等三角形的判定（1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′ BC=B′C′ AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（2）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS）书写格式:如图12-2-6所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如:图12-2-6在△ABC和△ABC′中,AB=A′B′ ∠A=∠A AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等（3）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′ ∠B=∠B′ AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（4）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′ AB=A′B′∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).模块三考点一遍过考点1：全等三角形的判定——SSS典例1：如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF,AE=BC，且EF=CD．求证：△AEF≌△BCD．【变式1】已知：AB=CD,DE=BF,AE=CF，求证：△AEB≌△CFD．【变式2】  如图，在△ABF和△DCE中，AB=DC,AF=DE,BE=CF，且点B,E,F,C在同一条直线上．求证：∠B=∠C．  【变式3】如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E、F分别为AB、AD的中点，连接EC、FC．(1)∠B与∠D相等吗？请说明理由；(2)求证：EC=FC．考点2：全等三角形的判定——AAS、ASA典例2：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．试说明：PD=PE．【变式1】如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，BF平分∠ABC交直线AD于点F，AE⊥BF．(1)求证：△ABE≌△AFE；(2)若AD=3，BC=8，求AB的长．【变式2】  如图，已知BE平分∠ABC，点D为BE上一点，连接AD，CD．(1)请从①AB=BC，②∠A=∠C中任选一个作为条件，使得结论“△ABD≌△CBD”成立，并证明；(2)在（1）的条件下，若∠ABC=40°，∠A=30°，求∠ADC的度数．【变式3】如图，在△ABC中，过点B作BD∥AC，E是BC的中点，连接DE并延长交AC于F点．  (1)求证：△BDE≌△CFE；(2)当AE⊥BC、AF=1、BD=2时，求AB的长．考点3：全等三角形的判定——SAS典例3：如图，在△ABC和△AEF中，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF．△ABC与△AEF全等吗？请说明理由．【变式1】如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD=BA，过点C作CE∥AB，且CE=BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G．(1)求证：△ABC≌△DCE；(2)若BD=12，AB=2CE，求BC的长度．【变式2】  利用全等的知识解答下面两题(1)如图，AB与CD交于点O，AD=CB，∠A=∠C．求证：OB=OD．(2)如图已知∠1=∠3，BC=CE，CA=CD，求证△ABC≌△DEC；【变式3】已知△ABN和△ACM的位置如下图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．求证：(1)∠B=∠C．(2)AM=AN考点4：全等三角形的判定——实际应用典例4：小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO=OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB．在这个问题中，可作为证明的依据的是（   ）A．SSSB．SASC．ASAD．HL【变式1】一天老师带小明测操场上一棵树AB的高度，如图1 所示，他告诉小明，我在距树底端B 点a米的C处，使用测角仪测得∠BCA=α°，你能测出旗杆AB的高度吗？ 小明经过一番思考：“我若将△ABC放倒在操场上不就可以测量了吗！ ”于是他在操场上选取了一个合适的地方， 画出一个直角△DEF， 如图2， 使∠E=90°,DE=a米， ∠EDF=α°.小明说，只要量出EF的长度就知道旗杆AB的高度了．同学甲： 小明的做法正确， 是根据“SAS”得△ABC≌△FED得到的；同学乙： 小明的做法正确， 是根据“ASA”得△ABC≌△FED得到的；同学丙： 小明的做法正确， 是根据“SSS”得△ABC≌△FED得到的；同学丁：小明的做法不正确，由他的做法不能判断△ABC≌△FED． 你认为 （   ）A．甲、乙、丙的判断都正确B．只有乙的判断正确C．只有丁的判断正确D．乙、丙的判断正确【变式2】  如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知AB垂直于河岸BF，现在BF上取两点C、D，使CD=CB，过点D作BF的垂线ED，使A、C、E在一条直线上，此时，只要测出ED的长，即可求出AB的长，此方案依据的数学定理或基本事实是 ．【变式3】如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点O既是AA′的中点，也是BB′的中点，若测得AB=3.5cm，则该内槽A′B′的宽为 cm．考点5：全等三角形判定与性质综合典例5：如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上．(1)求证：AC平分∠BAD；(2)求证：BE=DE．【变式1】如图，已知∠B=∠E，点C和点F在线段BE上，AC与DF交于点O，AB=DE，BF=EC．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠AOF=48°，求∠ACB的度数．【变式2】  （1）如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，直接写出DG，BF，GF三者的关系 （2）如图②， 点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是.△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．（3）如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB>BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为 【变式3】在△ABC中，AB=AC，顶点A在过D、E两点的直线l上：(1)若∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，当点D、E在点A异侧时，如图1．求证：①△ADB≌△CEA；②DE=BD+CE；(2)若∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断DE、BD和CE之间的数量关系，并说明理由；(3)①若∠BDA=∠BAC=∠AEC=60°，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出DE、BD和CE之间的数量关系；②若∠BDA+∠BAC=180°，∠BDA=∠AEC，如图4，直接写出DE、BD和CE之间的数量关系．考点6：选择条件判定三角形全等典例6：如图，OC是∠AOB的角平分线，点D在射线OA上，点E在射线OB上，点F在射线OC上，连接DF，EF．请你添加一个条件，使△OFD≌△OFE．小明同学写出以下条件：①OD=OE，②∠ODF=∠OEF，③∠OFD=∠OFE，④FD=FE，⑤∠ADF=∠BEF，⑥∠DFC=∠EFC．他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使△OFD≌△OFE．”(1)小明的说法_______(填“正确”或“错误”)；(2)从小明写出的条件中选择一个______ (填写序号)，使得△OFD≌△OFE，补全图形，并写出证明过程．【变式1】如图，已知AB=CD，点E，F在线段BD上，且AF=CE．请从“①BF=DE，②∠BAF=∠DCE，③AF=CF”中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE．你添加的条件是： （只填写一个序号）．添加条件后，请证明．【变式2】  如图，已知：B，E，C，F四点在同一条直线上，BE＝CF，∠B＝∠1．（1）在①∠2＝∠F ②AC＝DF ③AB＝DE三个条件中，任选一个条件，使△ABC≌△DEF，你选择的条件是________（填序号，填符合题意的一个即可）；（2）在（1）题选择的条件下，证明△ABC≌△DEF．【变式3】如图，已知AE=BF，∠AFD=∠BEC．（1）若添加条件∠D=∠C，则AD=BC吗？请说明理由；（2）若运用“ASA”判定ΔADF与ΔBCE全等，则需添加条件：_________；（3）若运用“SAS”判定ΔADF与ΔBCE全等，则需添加条件：___________．考点7：全等三角形综合——动点问题典例7：如图，在△ABC中，点D为AB的中点，AB=AC=10cm,∠B=∠C,BC=8cm．若点P在线段BC上以3cm/s的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动．(1)若点Q的速度与点P的速度相等，经1s后，请说明△BPD≌△CQP；(2)若点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；【变式1】如图，在△ABC中，AB=2，∠C=∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°(2)若DC=2，试说明△ABD≌△DCE．【变式2】  如图，AD与BC相交于点O,AO=DO,BO=CO．(1)求证：∠B=∠C；(2)如图2，过点O作EF交AB于E，交CD于F，求证：OE=OF；(3)如图3，若AB=8cm，点E从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点F从点C出发，沿C→D方向以1cm/s的速度运动，E、F两点同时出发．当点E到达点A时，E、F两点同时停止运动，设点E的运动时间为t(s)．连接EF，当线段EF恰好经过点O时，求出t的值．【变式3】如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=6．(1)若∠DBO=20°，则∠DAC=______；(2)求BO的长；(3)F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当△AOP与△FCQ全等时，直接写出t的值．考点8：全等三角形综合——辅助线典例8：综合与实践：【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，ΔABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边上的中点，试求中线AD的取值范围．【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，如图1.请根据小明同学的方法思考：（1）由已知条件和作辅助线，能得到△ADC≌△EDB，理由是 ．A．SAS             B．ASA             C．AAS             D．SSS（2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线AD的取值范围为 ．【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【解决问题】（3）如图2，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M是BC边的中点，已知AM平分∠BAD，且AM⊥DM，垂足为M，若AD=5，CD=3，试求AB的长度．【变式1】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．【问题发现】（1）如图2，已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：△AEC≌△CFB；（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出EF，AE，BF之间的数量关系，并说明理由；【问题提出】（3）在（2）的条件下，若BF=4AE，EF=5，求△BFC的面积．【变式2】  数学课上，老师给出了如下问题：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CB到点D，∠DBE=45°，点F是边BC上一点，连结AF，作FE⊥AF，交BE于点E．（1）求证：∠CAF=∠DFE；（2）求证：AF=EF．经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，又考虑到第(1)题中的结论，因此我过点E作EG⊥CD于G（如图2所示），再证明Rt△ACF和Rt△FGE全等，问题就解决了．”你同意小辉的方法吗？如果同意，请给出证明过程；不同意，请给出理由；（3）小亮同学说：“按小辉同学的思路，我还可以有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成证明．  【变式3】综合与探究数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究．(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．请探究线段EF,BE,FD之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整．(2)班长李浩发现在如图2所示的四边形ABCD中，若AB=AD,∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．  (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E，F分别是边BC,CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，请判断线段EF,BE,FD之间的数量关系，并说明理由．  考点9：全等三角形综合——测距离典例9：某学校八年级的数学综合实践课活动中，数学学习小组要测量某公园内池塘两岸相对的两点A，B的距离．如图所示，组长小聪建议在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上． 此时组员小慧马上就明白了测量哪条线段就可以得到A，B两点的距离了．(1)请你直接写出小慧要测量的这条线段是 ；(2)请说明你的理由．【变式1】如图1，2，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD＝CA，连结BC并延长到E，使CE＝CB．连结DE，那么DE的长就是A、B的距离．你知道其中的道理吗？请根据题意将“已知”和“求证”部分补充完整，然后进行证明．（1）已知：AD与BE相交于点C，　 　．（2）求证：　 　．（3）证明：【变式2】  池塘两端A，B的距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案测量A，B的距离．老师查看后发现只有甲的方案可行．(1)请说明甲同学方案中AB=CD的理由；(2)请在乙同学的方案中“①”里面增加一个条件，使他的方案变得可行，你增加的条件是___________．【变式3】如图，MN为一面墙，梯子AB斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度AN小航设计的方案如下：①测量∠ABN的角度；②使梯子缓慢下滑，使得∠___________=∠ABN，标记此时梯子的底端点D；③此时___________的长度即为梯子顶部A距离地面的高度AN．(1)补全设计方案，并说明小航设计方案的正确性；(2)测得BN=1.2m，DN=2.5m，求梯子下滑的高度AC.考点10：尺规作全等三角形典例10：作一个角等于已知角的方法：已知：∠AOB求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB，  作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．请你根据提供的材料完成下列问题．(1)请你证明∠A′O′B′=∠AOB．(2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________．【变式1】已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40∘．（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40∘”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个．友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．【变式2】  求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，△ABC≅△A′B′C′，AD是△ABC的中线．（1）求作ΔA′B′C′的中线A′D′（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD=A′D′【变式3】如图，B，C分别为射线BA,CD的端点，连接BC，按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不要求写作法，标明各顶点字母）（1）在BC的右侧，作∠BCE=∠BCD，交射线BA于点E；（2）在（1）的条件下，求作△CBF（点F在∠BCD内）使得△CBF≌△BCE．解：延长EB到G，使得BG=DF，连接AG在△ABG和△ADF中AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF∴△ABG≌△ADFSAS，∴AG=AF,∠BAG=∠DAF∴∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE∴∠EAF=12∠BAD，∴∠GAE=∠EAF……  甲：如图1，①在平地上取一个可以直接到达点A,B的点O；②连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO=AO，DO=BO；③连接DC，测出DC的长即可．乙：如图2，①确定直线AB，过点B作直线BE；②在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA；③作∠BDC=∠ADB，交直线AB于点C；④测量BC的长即可．