2025-2026学年河北省衡水市部分学校上册12月月考九年级数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年河北省衡水市部分学校上册12月月考九年级数学试卷 [附答案]，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个菱形C．两个等腰三角形D．两个正方形
2．下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ）
A．周长B．面积C．每个内角的度数D．每条边的长度
4．当气温不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据：
P与V的函数关系式可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，，且，则与的周长比为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
8．若反比例函数的图象经过二，四象限，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
11．下列命题：
①两个相似三角形面积之比等于相似比的平方；
②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；
③在与中，，，那么；
④已知及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5，其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ．
14．小颖在一幅比例尺为的地图上量得桂林到南宁的距离为厘米，则桂林到南宁的实际距离是 千米．
15．下面几组相关联的量中，成反比例关系的是 ．
①车间计划加工800个零件，加工所需天数与每天加工的零件个数；
②社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组人数；
③圆柱体的体积为，圆柱的底面积与高；
④计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额．
16．如图，在长方形中，内接三个大小相同的正方形，点E，F，G，H分别在边，，，上，若，，则每个小正方形的边长为 ．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
（1）以原点O为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为，点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________；
（2）若的周长是，则的周长为________．
18．已知线段满足，且．
（1）求a、b、c的值；
（2）若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ．
19．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培．
（1）求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式；
（2）若，求电流的变化范围．
20．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
（1）若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
21．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．
（1）菱形的边长为____________；
（2）求的值．
22．综合与实践．
一块材料的形状是锐角三角形，边，高．
【特例初探】
（1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？
【迁移运用】
（2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？
23．对于某个函数，若自变量取实数，其函数值恰好也等于时，则称为这个函数的“等量值”．在函数存在“等量值”时，该函数的最大“等量值”与最小“等量值”的差称为这个函数的“等量距离”，特别地，当函数只有一个“等量值”时，规定其“等最距离”为0．
（1）请分别判断函数，，有没有“等量值”？如果有，直接写出其“等量距离”；
（2）已知函数．
①若其“等量距离”为0，求的值；
②若，求其“等量距离”的取值范围；
③若“等量距离”，直接写出的取值范围．
24．如图1，等边中，G为的中点，D、E分别是、上的两点，．
（1）求证：；
（2）为上一点，若，求的值；
（3）如图2，等腰中，G为斜边的中点，D为中点，，E是上的点，，H为上一点，若，直接写出的长．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查的是相似图形 的概念，掌握各个角对应相等，各边对应成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．任意两个矩形各个角对应相等，但各边不一定对应成比例，故不一定相似，不符合题意；
B．任意两个菱形的各边对应成比例，但各个角不一定对应相等，故不一定相似，不符合题意；
C．任意两个等腰三角形的各个角不一定对应相等，各边不一定对应成比例，故不一定相似，不符合题意；
D．任意两个正方形各个角对应相等，各边对应成比例，故一定相似，符合题意．
故选D．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A：不是反比例函数，不符合题意；
B：是反比例函数，符合题意；
C：不是反比例函数，不符合题意；
D：不是反比例函数，不符合题意；
故选B．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答．
【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系，
用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，
每个内角的度数保持不变，
故选C．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数；
通过观察数据表中V与P的对应值，发现两者的乘积恒为常数96，因此P与V成反比例关系．
【详解】解：根据题意得：，
说明P与V满足反比例关系，即函数关系式为，
∴与的函数关系可能是．
故选C．
5．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，由已知条件可得出，由相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴与的周长比为．
故选A．
6．【正确答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键．
化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可．
【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限；
当时，，则此时图象分布在第三象限；
故选C．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数， 位似比为，把缩小，即缩小倍或倍．
【详解】解：∵ 点，位似中心为原点，位似比为，把缩小，
∴ 点B的对应点的坐标为或 ，
即或．
故选C．
8．【正确答案】B
【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第（二）第四象限是解答此题的关键．
根据反比例函数的性质列出关于k的不等式求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，解得：．
故选B．
9．【正确答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选C．
10．【正确答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
利用反比例函数的图象性质进行比较即可．
【详解】解：∵，图象经过一三象限，在每一象限内随的增大而减小，
∵，
∴，
∵在第一象限，在第三象限，
∴，
∴，
故选D．
11．【正确答案】C
【分析】主要考查命题的真假判断和相似三角形，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据相似三角形的性质及位似变换的概念判断各命题的真假．
【详解】解：①两个相似三角形面积之比等于相似比的平方，正确；
②两个相似三角形的对应高之比等于相似比，正确；
③在与中，，，满足两边成比例且夹角相等，故，正确；
④已知及位似中心O，位似比为0.5时，可作两个三角形（同侧或异侧），故“只能作一个”错误；
∴ 真命题有①②③，一共3个．
故选C．
12．【正确答案】D
【分析】设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为，根据题意，得，，，列比例式计算解答即可．
本题考查了三角形相似的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为，
根据题意，得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
解得，
故选D．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，关键是反比例函数性质的熟练掌握．根据函数图象即可求解．
【详解】解：由图象可得，配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是.
14．【正确答案】400
【分析】设桂林到南宁的实际距离是xcm，根据比例尺的定义列式计算求出x，然后再把单位换算为千米即可．
【详解】设桂林到南宁的实际距离是xcm，
根据题意得，8：x=1：5000000，
所以，x=8×5000000=40000000，
40000000cm=400km．
故答案为400
15．【正确答案】①②③
【分析】本题考查反比例关系的判断，判断两个量是否成反比例关系，关键是看它们的乘积是否为定值；若乘积为常数，则成反比例关系；否则不成反比例关系．
【详解】解：①加工所需天数×每天加工的零件个数（定值），故成反比例关系；
②组数×每组人数（定值），故成反比例关系；
③底面积×高（定值），故成反比例关系；
④购买苹果的金额＋购买香蕉的金额（定值），但这是和的关系，不是乘积关系，故不成反比例关系；
因此成反比例关系的是①②③.
16．【正确答案】
【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键．
由矩形的性质得，而，所以，，可证明，，则，，所以，由，求得，则，，根据勾股定理得出的值，从而得出的值，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴在和中，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，，
，
，
∴每个小正方形的边长为.
17．【正确答案】（1）见详解，，，
（2）
【分析】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，求位似图形对应点坐标，位似图形的性质，正确找到对应点位置从而画出对应的位似图形是解题的关键．
（1）把A、B、C的横纵坐标都分别乘以得到、、的横纵坐标，再描出、、，并顺次连接、、即可；
（2）根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为.
（2）解：与关于原点位似，且相似比为，的周长是，
的周长为.
18．【正确答案】（1），，
（2）8
【分析】本题主要考查了比例的性质．
（1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值；
（2）根据题意得，代入求得d即可．
【详解】（1）解：∵，
设，，，
又，
，即，
合并同类项，得，
系数化为，得，
，，；
（2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，
，
，
解得．
19．【正确答案】（1）I=
（2）
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键．
（1）设函数解析式为，把当时，，代入求出值即可得答案；
（2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案．
【详解】（1）解：设函数表达式为
∵当时，，
∴，解得：，
∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为；
（2）解：∵中，，
∴图象在第一象限，I随R的增大而减小，
∵，
∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，．
把电阻最大值代入，得到电流的最小值，．
∴电流I的变化范围是．
20．【正确答案】（1）不相似；证明过程见详解
（2）
【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；
（2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式．
【详解】（1）解：不相似．理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
（2）∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即．
21．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了反比例函数综合以及反比例函数图象上点的坐标性质；
（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点D的坐标为，得到，，再根据勾股定理即可得到结论；
（2）首先得出点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出即可．
【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，
∵点D的坐标为，
∴，，
∴由勾股定理得：，
即菱形的边长为.
（2）解：∵菱形的边长为5，
∴，，
∴轴，
∴在直线上，
∴
∵，
∴点的坐标为，
将点代入，得
∴．
22．【正确答案】（1）；（2）当时，此时矩形面积最大，最大面积是
【分析】本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）设正方形的边长为，根据正方形的性质和相似三角形的性质进行计算即可解答；
（2）设，利用相似三角形的性质求出，根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
【详解】解：（1）设正方形的边长为，
则，
∵四边形是正方形，
，即，
，
，即，
解得：，
加工成的正方形零件的边长是；
（2）设，
四边形是矩形，
，即，，
，，
，即，
，
矩形面积，
当时，此时最大，最大值为2400，
∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是．
23．【正确答案】（1）函数没有“等量值”；，函数有-1和1两个“等量值”，其“等量距离”为2；函数有0和1两个“等量值”，其“等量距离”为1；（2）①；②；（3）的取值范围为或．
【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）①首先由函数y=2x2-bx=x，求得x（2x-b-1）=0，然后由“等量距离”为0，求得答案；
②由①，利用1≤b≤3，可求得“等量距离”的取值范围；
③由②可知，，解不等式组，即可得到答案．
【详解】解：（1）函数没有“等量值”，
函数有和1两个“等量值”，其“等量距离”d为2．
函数有0和1两个“等量值”，其“等量距离”d为1．
（2）①∵函数的“等量距离”为零，
令，则，
∴，
∴，，
∴，
∴．
②解方程，
得：，．
∵，
∴．
∴，
∴函数的“等量距离”的取值范围为：．
③由②可知，，
∴或，
∴或；
∴的取值范围为或．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）2
（3）
【分析】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质定理是解题的关键．
（1）证明，即可推出结论；
（2）连接，，证明，得出，，再证明，推出，即可推出结果；
（3）连接，，证明，推出，证明，推出，再根据勾股定理求出即可推出结果．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
，
∴，
；
（2）解：如图1，连接，，
，
由（1）得，
∴，，
是等边三角形，G为中点，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，连接，，
是等腰直角三角形，
，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
，，
∴，
∴，
∴．
（单位：）
1
2
3
4
（单位：）
96
48
32
24