2025-2026学年山西省忻州市部分学校上册12月月考九年级数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年山西省忻州市部分学校上册12月月考九年级数学试卷 [附答案]，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若的半径为6，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系为（ ）
A．点在内B．点在上
C．点在外D．无法确定
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．射击运动员射击一次，命中靶心D．任意一个圆，它是轴对称图形
3．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．一元二次方程可化为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的直径，与相切于点，若，，则的半径为（ ）
A．B．2C．D．
7．如图，这是二次函数的图象，则与0的大小关系为（）
A．B．
C．D．无法确定
8．某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（ ）
A．一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃
B．任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上
C．从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字
D．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数
9．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕着原点逆时针旋转得到点，连接、、得，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．C．D．
二、填空题
11．二次函数的最小值为 ．
12．暑假期间，某同学在做游览攻略时，随机选择“晋文公艺术博物馆”“牡丹园”“大寺荷风”中的一个区域游览，则选中“牡丹园”的概率是 ．
13．若点与点关于原点对称，则 ．
14．已知正六边形的外接圆的半径为1，则该正六边形的边心距为 ．
15．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作，交于点，交于点，是的切线，切点为，且．若的半径为5，，则的长为 ．
三、解答题
16．（1）解方程：．
（2）已知关于的二次函数的图象经过点，求的值．
17．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复实验，发现摸到白球的频率为．
（1）盒子里白球的个数是______．
（2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
18．为纪念新中国成立76周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有《请党放心，强国有我》《欢迎进行曲》《歌唱祖国》《大中国》，它们分别用，，，依次表示，比赛时，将，，，分别写在4张无差别的不透明的卡片正面，搅匀后正面朝下．
（1）九（1）班从中任意抽取一张卡片，抽中歌曲《歌唱祖国》是______事件．（填“必然”“随机”或“不可能”）
（2）九（1）班从中随机抽取一张卡片后放回，九（2）班再从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．请用画树状图法或列表法表示所有可能的结果，并求出九（1）班、九（2）班抽中相同歌曲的概率．
四、填空题
19．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y（x﹣5）2＋6
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
五、解答题
20．项目学习
项目背景：图1是山西某市一座有名的大桥，是当地的重要渡河节点．某综合实践小组为了测量大桥桥孔所在圆的半径，开展了项目式学习活动，形成了如下表格．
根据表中数据计算大桥桥孔所在圆的半径．
21．阅读与思考
下面是小康学习了《圆》的知识后的学习笔记，请你仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）请补全【问题1】中的勾股容圆公式的推理过程．
（2）【问题2】中的“▲”处应填______．
（3）如图2，在中，，，．请求出的内切圆的半径．
22．综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们探讨有关不同情况下扇形与圆的关系问题．
【初步探究】
（1）如图1，已知的半径为10，扇形的顶点，，都在上，扇形ABC的圆心角，求扇形的半径．
【深入探究】
（2）“智慧小组”提出问题：如图2，扇形的圆心角，半径为10，若与扇形的两条半径，及都相切，求的半径．
【拓展探究】
（3）“创新小组”突发奇想，提出问题：如图3，在正方形中，与扇形相切，与边，相切，若扇形的半径为10，请直接写出的半径．
23．综合与探究
【问题情境】
如图1，为的直径，，为的弦，过点作的切线交的延长线于点，过点作并延长交的延长线于点，连接．
【解决问题】
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
【思维拓展】
（2）如图2，过点作交于另一点，连接，．
①若，，求的长；
②若，试判断四边形的形状，并证明．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
比较点P到圆心O的距离与半径的大小即可判断．
【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离，
∴，
∴点P在上．
故选B．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查必然事件的定义，即在一定条件下必然发生的事件．
根据各选项的事件性质判断即可．
【详解】解：必然事件是指一定会发生的事件．
A.投掷硬币可能正面或反面向上，是随机事件；
B.袋中只有红球，摸出黄球是不可能事件；
C.射击可能命中或脱靶，是随机事件；
D.圆无论大小或位置，总是轴对称图形，是必然事件；
故选D．
3．【正确答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形的概念。一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、绕中心点旋转后，能与自身完全重合，是中心对称图形，符合题意；
B、绕某点旋转后，图形不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意；
C、绕某点旋转后，箭头方向会反转，不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意；
D、绕某点旋转后，图案不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意．
故选A．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，根据内接四边形的对角互补即可求解．
【详解】解：∵是四边形的外接圆，
∴．
故选D．
5．【正确答案】C
【分析】本题考查了换元法．
通过变量代换将原方程化为完全平方形式，再比较选项即可．
【详解】解：设，则原方程化为，
∴，
∴，
故原方程可化为．
故选C．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质．
根据圆的切线的性质得到，再解求出，即可求解半径．
【详解】解：∵与相切于点，
∴，
∵，，
∴，
∴的半径为，
故选A．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质．根据图象可知开口向上，与y轴交于负半轴，且交点的纵坐标大于，因此，，得到，进而即可解答．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，且交点的纵坐标大于，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查了频率估计概率，根据大量的实验后，事件发生的频率逐步稳定在一个固定值的附近，这个固定值大致约等于这个事件发生的概率，观察图象，找出四个选项中的概率为左右的符合条件，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、一副扑克牌去掉大小王后， 从中任抽一张牌是红桃的概率是，不符合题意；
、任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上的概率是，不符合题意；
、从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字的概率是，符合题意；
、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，不符合题意；
故选．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查了点坐标与图形、旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过点作轴于点，先求出，，，再根据旋转的性质可得点落在轴正半轴上，，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
过点作轴于点，
∵点的坐标为，
∴，
∴，，
∵将点绕着原点逆时针旋转得到点，
∴点落在轴正半轴上，，
∴的面积为．
故选D．
10．【正确答案】A
【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．
连接，解得到，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，因此的半径，再求出，根据扇形的面积公式求得．过点O作于点F，解得到，，再由三线合一得到，根据三角形的面积公式求得，因此根据即可解答．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
过点O作于点F，
∴在中，，
，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选A．
11．【正确答案】
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质．
二次函数已给出顶点形式，根据二次函数的性质，当二次项系数为正时，函数在顶点处取得最小值．
【详解】解：函数是顶点形式，顶点坐标为，
由于二次项系数，抛物线开口向上，
因此函数在顶点处取得最小值，最小值为．
12．【正确答案】
【分析】本题考查概率的计算，掌握概率的计算公式是解题关键．概率计算公式为，其中表示事件A发生的概率，m表示所有可能的结果数，n表示事件A发生的结果数，本题所有可能有3种，“牡丹园”是其中1种，根据概率公式计算即可得答案．
【详解】解：记选中“牡丹园”为事件A，
故答案为．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．
根据关于原点对称的点的坐标性质，横坐标和纵坐标均互为相反数，建立方程求解m和n，再计算．
【详解】解：因为点与点关于原点对称，
所以点B的横坐标等于点A横坐标的相反数，点B的纵坐标等于点A纵坐标的相反数，
即，，
解得，，
因此．
14．【正确答案】
【分析】本题考查的是正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正六边形的性质是本题的关键．
连接，过点O作于点M，证出是等边三角形，进而即可求得答案．
【详解】解：连接，过点O作于点M，
∵多边形是正六边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴该正六边形的边心距为．
15．【正确答案】2
【分析】本题考查切线的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
连接，，过点E作于点G，由切线的性质得到，证明四边形是矩形，得到，，在中根据勾股定理求得，则，即可解答．
【详解】解：连接，，过点E作于点G，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵的半径为5，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
16．【正确答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程，二次函数的性质．
（1）将原方程整理得到，根据因式分解法求解即可；
（2）根据图象经过点得到，即，根据因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
展开左边：，
移项：，
化简：，
因式分解：，
∴；
（2）解：∵二次函数图象经过点，
∴当时，，
代入解析式：，
即，
移项：，
化简：，
因式分解：，
∴．
17．【正确答案】（1）15
（2）15
【分析】本题考查了根据频率估计概率，根据概率求数量，分式方程的应用．
（1）根据频率估计概率，摸到白球的频率稳定于，因此概率为，白球个数为总球数乘以概率；
（2）设需要再放入x个白球，根据概率公式列出方程求解．
【详解】（1）解：∵摸到白球的频率稳定于，
∴估计摸到白球的概率为，
∴白球个数为（个），
答：盒子里白球的个数是15个.
（2）解：设需要往盒子里再放入x个白球，
根据题意得：
，
，
，
，
，
，
经检验是原分式方程的解，
答：需要往盒子里再放入15个白球．
18．【正确答案】（1）随机
（2）
【分析】本题考查了事件的分类，列表法或树状图法求概率．
（1）根据题干作答即可；
（2）画出树状图，进而根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：存在《歌唱祖国》的情况，且《歌唱祖国》不是唯一情况，
则抽中歌曲《歌唱祖国》是随机事件．
（2）解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，九（1）班、九（2）班抽中相同歌曲的结果有4种，
∴九（1）班、九（2）班抽中相同歌曲的概率．
19．【正确答案】/1；22
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；
【详解】解：（1）当x＝0时，y（0﹣5）2+6，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
20．【正确答案】
【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用．
延长至点，连接，使得，则点为圆心，由垂径定理得到，设，则，然后在中由勾股定理建立方程求解．
【详解】解：延长至点，连接，使得，则点为圆心，
∵，经过圆心，
∴，
设，则
在中，由勾股定理得，
∴，
解得
∴大桥桥孔所在圆的半径为．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）6
（3）
【分析】本题考查，切线长定理，正方形的性质，勾股定理，读懂题意，证明并运用勾股容圆公式是解题的关键．
（1）连接，，则四边形是正方形，根据切线长定理，可设，，，因此，，，从而可推出，根据四边形是正方形，得到，即可解答；
（2）先根据勾股定理求出弦（斜边）的长，再根据勾股容圆公式求解即可；
（3）先根据勾股定理求出，再根据勾股容圆公式求解即可．
【详解】（1）解：连接，，则四边形是正方形，
根据切线长定理，可设，，，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∵的半径为r，即，
∴．
（2）解：∵在一直角三角形中，勾（短直角边）为8步，股（长直角边）为15步，
∴弦（斜边）为（步），
∴根据勾股容圆公式直接求得该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径为（步），
∴直径为（步）．
（3）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴根据勾股容圆公式可得，的内切圆的半径为．
22．【正确答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正方形的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）在根据勾股定理中得到，再根据即可求解；
（2）过点G作于点M，设与的切点为，由切线的性质可得，由切线长定理得到平分，即，从而，根据求出，即可解答；
（3）过点作于点F，连接，根据正方形的性质得到，，，．根据切线长定理得到，因此点在上．设的半径为r，与扇形相切于点H，则，，根据切线的性质得到，进而在中求出，根据列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）∵的半径为10，
∴，
∵，
∴，
∴，
即扇形的半径为．
（2）过点G作于点M，设与的切点为，
∵是的切线，
∴是的半径，
∴，
∵，是的切线，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
即的半径为．
（3）过点作于点F，连接，
∵扇形的半径为10，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
，
∴在中，．
∵与边，相切，
∴，
∴点在上，
设的半径为r，与扇形相切于点H，
则，，
∵，与边相切，
∴是的半径，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，即，
∴，
∴的半径为．
23．【正确答案】（1）与相切，理由见详解；（2）①；②四边形是菱形，见详解．
【分析】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，菱形的判定．
（1）根据切线的性质定理得到，根据三线合一得到，根据证明，即可得到，即可证明与相切；
（2）①连接，根据垂径定理得到，则，根据圆周角定理得到，进而求出，根据全等三角形的性质得到，即，根据证明，得到，根据30度角的性质及勾股定理计算即可；
②设与H，根据垂径定理得到，即，根据，，证明，得到，则，根据全等三角形到性质得到，即，则，可证四边形是平行四边形，根据可证平行四边形是菱形．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
如图，连接，
∵过点作的切线交的延长线于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∵为的直径，
∴与相切；
（2）①解：如图，连接，
∵，，
∴
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
即，
∴
∴；
②解：四边形是菱形，证明如下：
如图，设与H，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
即
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
项目主题
如何测量大桥桥孔所在圆的半径
驱动任务
测量大桥桥孔所在圆的半径
活动内容
利用圆的有关知识进行大桥桥孔所在圆的半径的测量和计算
活动过程
1．方案说明：图2是大桥桥孔的平面示意图，为某一时刻水面的宽度，为弧的中点，于点．
2．测量数据：米，米．
3．计算：⋯⋯
交流展示
⋯⋯
勾股容圆问题【概念】
在直角三角形中、已知勾与股的长，求直角三角形能容纳的圆（直角三角形的内切圆）的直径，这就是勾股容圆问题．
【问题1】
如图1，在中，，，，，的内切圆的半径为，内切圆与三边相切于点，，，则，这就是勾股容圆公式，下面是该公式的部分推理过程：
解：连接，，则四边形是正方形，
根据切线长定理，可设，，……
【问题2】
在一直角三角形中，勾（短直角边）为8步，股（长直角边）为15步，则可利用勾股容圆公式直接求得该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径为▲步．