2025-2026学年北京市海淀区八年级上册第二次数学月考试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年北京市海淀区八年级上册第二次数学月考试卷 [附答案]，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若点与点关于y轴对称，则m的值是（ ）
A．6B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．若把分式中的x，y都变为原来的5倍，则分式的值（ ）
A．是原分式值的5倍B．是原分式值的
C．与原分式值相等D．是原分式值的
6．画中边上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，从边长为（）的正方形中剪掉一个边长为1的正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．B．
C．D．
8．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A．B．C．1D．2
9．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．且D．且
10．如图，O是射线上一点，，动点P从点C出发沿射线以的速度运动，动点Q从点O出发沿射线以的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，t的值为（ ）
A．2B．2或6C．4或6D．2或4或6
二、填空题
11．计算 ．
12．命题 “等边对等角”的逆命题是 ，是 （填“真命题”或 “假命题”）．
13．若是一个完全平方式，则常数 ．
14．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠B=30°，且AD=1，那么BD= ．
15．如图，平面直角坐标系中，已知点A的坐标，过点A作x轴的平行线，交第一象限角平分线于点B，则点B的坐标为 ．
16．如图，在中，平分，则 ．
17．将4个数a，b，c，d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为 ．
18．年月，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”附中今年“节”策划了五个活动，规则如下：
“节”活动规则
活动前每人先发放两枚“币”
每参与一个活动消耗两枚“币”
没有“币”不能参与活动
每个活动至多参与一次
挑战成功，按右表发放奖励
挑战失败，谢谢参与
小达参与了所有活动．
（1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ；
（2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为
三、解答题
19．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
20．因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
21．先化简，再求值：，其中．
22．先化简，再求值：，其中
23．解方程：．
24．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；在平面直角坐标系中，作出与关于y轴对称的；
（3）已知P为x轴上一点，若 的面积为1，求点P的坐标．直接写出点P的坐标．
25．列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
26．阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：；
（2）已知△的三边长，，满足，判断△的形状并说明理由．
27．在中，，，点D是射线上一点（点D不与点B，C重合），连接，将线段 绕点A逆时针旋转，旋转后且，连接，，延长线段交直线于点F．
（1）如图1，证明：是等边三角形；
（2）当点D在如图所示的位置时：
①求证：；
②直接用等式表示线段， 和之间的数量关系；
（3）当点D在线段上时（点D不与点B，C重合），直接用等式表示线段、和之间的数量关系．
28．对于平面直角坐标系中的点与图形，我们给出如下定义：若，将图形关于直线对称，得到图形；若，将图形向上平移个单位长度，得到图形．并称为图形关于点的“斗转星移图”．
（1）点关于点的“斗转星移图”为________；
（2）若点关于点的“斗转星移图”坐标为，求的值；
（3）已知点，点，点，点，点，，若线段关于点的“斗转星移图”与线段关于点的“斗转星移图”有公共点，则的取值范围是________．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【详解】解：在直角坐标系中，点与点关于轴对称，
则，解得．
故选B．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂的乘法、单项式乘多项式、整式的除法和合并同类项等知识．需要根据运算法则逐一判断各选项的正确性．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
故选B．
3．【正确答案】D
【分析】本题考查因式分解的概念，即把一个多项式分解为几个整式的积的形式．根据定义判断各选项即可．
【详解】解：A选项右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解；
B选项是整式的乘法，不是因式分解；
C选项右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解；
D选项是因式分解；
故选D．
4．【正确答案】C
【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须同时满足两个条件：（1）被开方数不能含有分母；（2）被开方数中不能含有能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C．是最简二次根式，符合题意；
D．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不符合题意．
故选C．
5．【正确答案】C
【分析】根据题意把原分式中的x，y都变为原来的5倍，再进行约分即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
分式的值与原分式的值相等，
故选C．
6．【正确答案】D
【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键；根据三角形的高可进行排除选项．
【详解】解：由题意可知只有D选项符合的边上的高；
故选D．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查平方差公式的几何意义，根据题意，结合图形变化，数形结合，用代数式表示出左边图形中阴影部分面积及右边长方形面积，即可得到答案，掌握平方差公式，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：由图形可知，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，则长方形的长为，宽为，
新长方形的面积为；
而左边图形中，阴影部分的面积为边长为的大正方形的面积边长为的小正方形的面积，即；
，
故选D．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的混合运算、代数式求值，正确得出无理数的整数部分和小数部分是解答的关键．先估算的取值范围，进而可求得x、y，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为1，小数部分为，
∴， ，
∴，
故选C．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据解为正数，且分式有意义，得到不等式，进行求解即可．
【详解】解：，解得：，
由题意，得：且，
∴且，
解得：且；
故选D．
10．【正确答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质与判定，分两种情况：（1）当点P在线段上时；（2）当点P在的延长线上时．分别列式计算即可求．
【详解】解：分两种情况：（1）当点P在线段上时，
设t时后是等腰三角形，
∵
∴
∴，
即，
解得；
（2）当点P在的延长线上时，此时经过时的时间已用，
当是等腰三角形时，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即，
解得，，
综上所述，当是等腰三角形时，t的值为2或6．
故选B．
11．【正确答案】
【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可．
【详解】解.
12．【正确答案】等角对等边；真命题
【分析】先写出其逆命题，再判定即可．
【详解】解： “等边对等角”的逆命题是“等角对等边”，在同一个三角形内成立，故是真命题．
13．【正确答案】
【分析】本题主要考查完全平方式的定义，掌握完全平方式的形式：是解题的关键．
根据完全平方式的结构特征，直接求解即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴.
14．【正确答案】3
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质分别求解AC，AB的长，再利用BD=AB-AD计算可求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°
∵CD⊥AB
∴∠ACD=30°
∵AD=1
∴AC=2
∴AB=4
∴BD=AB-AD=4-1=3．
故答案为3．
15．【正确答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，平面直角坐标系中点的坐标．过点B作轴于点C，由轴，点A的坐标得到轴，点B的纵坐标为6，再由角平分线的性质得到，从而点B的横坐标为6，即可解答．
【详解】解：过点B作轴于点C，
∵轴，点A的坐标，
∴轴，点B的纵坐标为6，即，
∵是第一象限的角平分线，
∴，
∴点B的横坐标为6，
∴点B的坐标为．
16．【正确答案】36
【分析】设的度数为x，根据等腰三角形的性质得到由三角形外角性质得到，再由角平分线定义得出，再根据三角形内角和为，解出x即可．
【详解】解： 设的度数为x，
，
平分，
，
，
解得：，
．
17．【正确答案】
【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得.
18．【正确答案】汉诺塔；或或
【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，正确地理解题意做出合理的结论是解题的关键．
（1）由于小达参与了所有活动，则小达一共消耗了枚“币”，据此可得小达通过成功参与活动获得了枚“币”，而小达只挑战成功一个，故挑战成功的活动名称为汉诺塔；
（2）根据题意可得第一次活动小达必定挑战成功，根据他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了次，那么他参与的第二个，第三个，第五个活动都失败，则第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于枚，则第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔；据此讨论第一次参加的活动，在此基础上再讨论第四次参与的活动，用总获得“币”数量加上初始“币”数量减去参与五个活动消耗的“币”数量即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意可知，小达用活动前发放的两枚“币”参与了汉诺塔，且挑战成功，赢得枚“币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功.
（2）∵活动前小达有两枚“币”，每参与一个活动消耗两枚“币”，且小达参与了所有活动，
第一次活动小达必定挑战成功，
他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了次，
他参与的第五个，第三个，第二个活动都失败，
第一次挑战成功获取的“币”数量能够支持他参与第二，第三，第四次活动，
第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于枚，
第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔；
当第一次参加的活动为华容道时，
若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚；
当第一次参加的活动为鲁班锁时，
若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚；
当第一次参加的活动为汉诺塔时，
若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚；
若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚；
综上所述，小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为或或.
19．【正确答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键：
（1）先进行乘方运算，同底数幂的乘法运算，再合并同类项即可；
（2）利用多项式除以单项式的法则进行计算即可；
（3）利用平方差公式进行计算即可；
（4）利用完全平方公式和单项式乘以多项式的法则．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
20．【正确答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：
（1）提公因式法进行因式分解即可；
（2）完全平方公式法进行因式分解即可；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可；
（4）平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式
．
21．【正确答案】，4
【分析】本题主要考查乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键；因此此题可根据乘法公式进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：原式
．
当时，
原式．
22．【正确答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后将字母的值代入，即可求解．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
23．【正确答案】
【分析】本题考查的是解分式方程．熟练掌握分式方程特征同时需要注意检验根的有效性是正确解此题的关键．
方程两边同时乘以，约分化简后得，求得，最后检验，为原方程的解．
【详解】解：，
，
方程两边同时乘，
得整式方程，
即，
故，
解得：，
检验当时，，
故原分式方程的解为．
24．【正确答案】（1）4
（2），见详解
（3）或
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中根据点的坐标描点，关于y轴对称点的性质，三角形的面积公式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可；利用割补法求三角形的面积即可．
（2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得点D的坐标；根据轴对称的性质作图即可．
（3）设点P的坐标为，根据题意可列方程为1，求出m的值，即可得出答案．
【详解】（1）如图，即为所求．
的面积是．
故4．
（2）∵点D与点C关于y轴对称，
∴点D的坐标为．
如图，即为所求．
故．
（3）设点P的坐标为，
∵的面积为1，
∴，
解得或0，
∴点P的坐标为或．
25．【正确答案】件
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．
设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可．
【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，
依题意可得：，解得：．
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹件．
26．【正确答案】见详解
【分析】（1）前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可；
（2）前两项、后两项均可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，据此把分解因式，进而判断出△的形状即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
，
，
或或且，
或或，
△是等腰三角形或等边三角形．
27．【正确答案】（1）见详解
（2）①见详解；②
（3）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质；
（1）由，可得是等边三角形；
（2）①延长至点G，使， 连接，，先证明，得到，，再证明，得到，；
②由，得到，再结合，得到；
（3）根据题意画出图形同（2）的辅助线和方法证明即可．
【详解】（1）证明：，，
∴，
是等边三角形；
（2）①证明：延长至点G，使， 连接，，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
．
在和中
，
∴，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，
；
②解：∵在中，，，
∴，
由①得，
∴；
（3）解：，
如图：延长至点G，使， 连接，，
，
．
，，
是等边三角形，.

．
在和中
≌．
，
，
，
，
在和中
≌，
，
，
∵在中，，，
∴，
∴．
28．【正确答案】（1）．
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据新定义结合平移的性质，即可求解；
（2）根据新定义，得出向上平移个单位得，进而列方程即可求解；
（3）根据，，得出线段，的对应点，根据线段有交点，得出不等式，解不等式，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴将向上平移个单位长度，得到，
即点关于点的“斗转星移图”为.
（2）解：∵点关于点的“斗转星移图”坐标为，
又向上平移个单位得，
∴，且
解得；
（3）解：∵，
又∵点，点，点，
∴线段关于点的“斗转星移图”的横坐标为：，的横坐标为
∴，，在上，
∵，点，点，，
∴线段关于点的“斗转星移图”，
∵与有交点，
∴
解得：．活动名称
奖励的“币”数量枚
数独
魔方
华容道
鲁班锁
汉诺塔