2025-2026学年北京市第二中学八年级上册12月月考数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年北京市第二中学八年级上册12月月考数学试卷 [附答案]，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A．风车纹B．盘长纹C．喜字纹D．冰裂纹
2．目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍D．不变
5．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ）
A．角平分线、高线、中线B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高线D．中线、角平分线、高线
6．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ）
A．B．C．D．
7．阅读所给的材料．并解决问题：
则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，，平分，交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：
①；
②；
③点O到直线的距离等于；
④点E一定在线段的垂直平分线上，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题
9．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
10．因式分解： ．
11．计算的结果是 ．
12．若，则分式的值为 ．
13．如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为 °．
14．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．比较与的大小，则 （填“”、“”或“”）．
15．定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为 ．
16．初二年级S班有学生48人，他们的学号分别为1，2，…，48．在一次数学兴趣小组活动课上，老师将他们随机分成两组（每组至少1人）．聪明的小厉（小厉的学号是9号）发现，如果把她从第一组调到第二组，那么两组学生的平均学号都会增加．请问：
（1）小厉所在的第一组一共有 人；
（2）第二组所有学生的学号分别是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．计算：．
19．解分式方程：．
20．先化简，再求值：÷（1﹣），请你给x赋予一个恰当的值，并求出代数式的值．
21．小兵遇到一个作图问题：如图，在中，，如何用尺规作图把分成三个等腰三角形．
下面是小兵设计的尺规作图过程．
作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于另一点D；
②作线段的垂直平分线，直线交线段于点E；
③连接，，则，，即为所求的等腰三角形．
根据小兵设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：由作图可知，①
∴________．
∵，
∴．
∵直线为线段的垂直平分线，
∴（__________）（填推理的依据）．②
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
∴（__________）（填推理的依据）．③
由①②③得：，，均为等腰三角形．
22．如图，在中，，点D，E在边上，．求证：．
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
(1)画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标；
(2)在边上画出点，使的面积恰好是的面积的一半；
(3)已知为轴上一点，若与的面积相等，写出点的坐标．
24．如图，在中，，，于D，点F在的垂直平分线上．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
25．高铁的蓬勃发展为我们的出行带来了便捷．已知遵义到成都的路程约为，一列动车组列车的平均速度是特快列车的1.5倍，运行时间比特快列车少2小时．求该列车组列车的平均速度．
(1)设特快列车的速度为，请用含的式子将表格补充完整．
填空：①___________；②___________；③___________
(2)请列出方程完成本题解答．
26．阅读下列材料，并解答问题：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式．
例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
方法1：；
方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数），
，
对于任意x，上述等式均成立，
，解得，
．
，
这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5．
(1)分式是 分式（填“真”或“假”）；
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；
(3)当时，求分式的最大值．
27．如图，在中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段．
(1)判断与的数量关系，并证明；
(2)以点C为圆心，为半径画弧，交边于点Q，连接，延长交于点M．
①请你依据题意，补全图形；
②试判断线段、与之间的数量关系，并证明．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C中图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意，
故选：C．
2．【正确答案】B
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键．
【详解】解：将数据0.000001125用科学记数法可表示为，
故选：B．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质，通过检查每个等式的恒等性，使用分式的基本性质和指数运算法则判断即可．
【详解】解：A、，故A错误，不符合题意；
B、与在x不为零时不一定相等（如，左边，右边），故B错误，不符合题意；
C、， （当时），故C正确，符合题意；
D、 （如时，左边，右边），故D错误，不符合题意；
故选：C．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查了分式的性质，先整理新的分式，再与原分式进行比较，即可作答．
【详解】解：依题意，新的分式，
∵原分式，且，
∴新分式原分式，
故分式的值缩小为原来的，
故选：A
5．【正确答案】A
【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案．
【详解】解：由图①得，，
∴是的角平分线；
由图②得，，
∵，即，
∴，
∴是的高线；
由图③得，，
∴是的中线；
∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线．
故选：A．
6．【正确答案】C
【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出．
【详解】解：在中，，，
，
由作图可知，平分，垂直平分，
，，
，
，
故选：C．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查了分式的值，分式无意义的条件，熟练掌握分式的值求法是解题的关键．
根据分式有意义的条件可求出的值，将代入求出的值，进而可求的值．
【详解】解：∵时分式无意义，
∴，
即，
将，代入得：，
解得：，
将，代入，则分式为：．
将代入得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解；
将代入得：，
解得：，
则C结论错误，
故选：C．
8．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．
根据等角的余角相等得到，根据角平分线的定义得到，即可得到，故①正确；延长、交于点F，证明，得到，证明，得到，进而得到，故②正确；根据等边对等角得到，根据角平分线的定义得到，过点O作，，连接，可得，证明四边形是长方形，得到，根据得到，，，证明，得到，进而证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，即，根据等角对等边得到，即可证明E在的垂直平分线上，故④正确；根据得到，，证明，得到，根据得到，则，，即，则，，故③错误.
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故①正确；
延长、交于点F，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
即；
故②正确；
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
过点O作，，连接，
∴
∴
∵，
∴，
∴四边形是长方形，即，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴E在的垂直平分线上，
故④正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
即点O到直线的距离等于，
∵是斜边，是直角边，
∴，
故③错误；
故选：B．
9．【正确答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．
根据分母不为零列式求解即可.
【详解】解：∵分式 有意义，
∴分母，
解得.
故答案为.
10．【正确答案】/
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解括号内的二次三项式．
【详解】解：原式 ．
故．
11．【正确答案】
【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，首先将分母因式分解，然后通分，合并分子后约分得到结果，即可作答．
【详解】解：
，
故．
12．【正确答案】
【分析】本题考查了异分母分式的加减，以及分式的求值．
利用已知条件变形，得到 ，然后代入所求分式进行化简计算．
【详解】解：由，可得，即，
所以，
所以．
故．
13．【正确答案】31
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论．
【详解】解：连接，

在和中，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故31．
14．【正确答案】
【分析】本题考查了整式运算在几何图形中的应用，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
；
；
，
，
故．
15．【正确答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键．
根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分为腰和为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的比值即可．
【详解】解：根据题意得，等腰三角形的周长为，．
当为腰时，另一腰也为，底边长为，
∴优美比腰长/底边长．
当为底边时，腰长为，
∴优美比腰长/底边长．
故或．
16．【正确答案】 40 1，2，3，4，5，6，7，8
【分析】本题考查了列代数式，平方差公式，平均数的应用和二元一次方程组的解法，根据题意列出关于人数和学号总和的方程组是解题的关键．
（1）设第一组有m人，第二组有n人，根据调换后两组平均学号均增加的条件列出方程，结合总人数和学号总和求解，即可作答．
（2）由（1）得，，即第二组有8人，学号总和为36，且学号均为正整数，进行分析，即可作答．
【详解】解：（1）依题意，总学号和为，
设第一组有m人，学号总和为，第二组有n人，学号总和为，
则，
∴第一组的平均学号为，第二组的平均学号为，
∵小厉的学号是9号，
∴小厉从第一组调到第二组后，第一组新平均学号为，第二组新平均学号为，
∵如果把她从第一组调到第二组，那么两组学生的平均学号都会增加，
∴，，
整理得，，，
∴
即，
∵，
∴
∴，
解得，
则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
故40；
（2）由（1）得，，
∴第二组有8人，学号总和为36，且学号均为正整数，故学号为1，2，3，4，5，6，7，8．
故1，2，3，4，5，6，7，8．
17．【正确答案】
【分析】本题考查了算术平方根，负整数指数幂，零次幂，绝对值．先化简算术平方根，负整数指数幂，零次幂，绝对值，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：
18．【正确答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘方计算，再计算分式的乘法即可．
【详解】解：．
19．【正确答案】
【分析】观察可得最简公分母是（x−5），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：去分母，得．
化简，得．
解得．
检验：把代入最简公分母．
所以是原分式方程的解．
此题考查了分式方程的求解方法．注意掌握转化思想的应用，注意分式方程需检验．
20．【正确答案】.
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的x的值代入计算可得．
【详解】原式＝
＝
＝，
当x＝0时，原式＝．
本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
21．【正确答案】(1)图见详解
(2)；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；等角对等边
【分析】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）按照作图步骤作图即可．
（2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质填空即可．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）证明：由作图可知，①
∴．
∵，
∴．
∵直线为线段的垂直平分线，
∴（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）（填推理的依据）．②
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
∴（等角对等边）（填推理的依据）．③
由①②③得：，，均为等腰三角形．
故；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；等角对等边．
22．【正确答案】见解析
【分析】本题考查了等边对等角，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边对等角，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由，可得，则，证明，则，由，可证．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【正确答案】(1)画图见解析，
(2)画图见解析
(3)或．
【分析】本题考查了坐标与图形变化-轴对称，三角形的中线的含义，割补法求图形面积，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
（1）在直角坐标系中找出A、B、C关于x轴的对称点，B，，然后顺次连接即可得到，最后写出点坐标即可；
（2）利用三角形的中线等分三角形的面积，结合D的横坐标为2，画图即可；
（3）根据与的面积相等求出，然后写出P的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
∴；
（2）如图，D即为所求；
．
（3）∵，，
∴，
∴，
又，
∴或．
24．【正确答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练的证明等边三角形是解本题的关键；
（1）分别证明，即可得到结论；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图，∵F在的垂直平分线上，
∴，且，
∴，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
（2）∵，
在中，，
∴．
∵，
∴．
在中，，，
在中，，，
∴．
25．【正确答案】(1)①；②；③
(2)
【分析】本题考查了分式方程的应用-行程问题，解题关键是找出等量关系列方程．
（1）根据路程速度时间解答即可；
（2）设特快列车的速度为，则该列动车组列车的平均速度为，根据一列动车组列车运行时间比特快列车少列方程求解即可；
【详解】（1）解：设特快列车的速度为，则时间为：；
由动车组列车的平均速度是特快列车的1.5倍，则动车组列车的速度为：，时间为：，
故①；②；③．
（2）解：设特快列车的速度为，则该列动车组列车的平均速度为，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：该列动车组列车的平均速度为．
26．【正确答案】(1)真
(2)
(3)最大为1
【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键．
（1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断．
（2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案．
（3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值．
【详解】（1）解：是真分式．
（2）解：设，
则 ，
解得，
.
（3）解：考虑，求其最小值，
∵，，
当时，最小为1
最大为1．
27．【正确答案】(1)，见解析
(2)①见解析；②，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，尺规作图作线段．
（1）证明，，可得结论；
（2）①根据要求作出图形；
②连接，在线段上截取线段，使得，证明，得到，证明是等边三角形，进而证明，得到，即可得结论．
【详解】（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①解：图形如图所示：
②解：结论：．
理由：如图，连接，在线段上截取线段，使得
∵，，，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴（），
∴，
∴．
3
0
分式的值（其中为常数）
无意义
0
4
路程（）
速度（）
时间（）
特快列车
780
②
动车组列车
780
①
③