2025-2026学年安徽省芜湖市无为市部分学校九年级上册12月月考数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年安徽省芜湖市无为市部分学校九年级上册12月月考数学试卷 [附答案]，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．下列诗句所描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．黄河入海流B．锄禾日当午C．手可摘星辰D．床前明月光
3．如图，与分别相切于点，则的长为（ ）
A．6B．C．3D．
4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点B．点C．点D．点
6．如图，点是的内心，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点放在圆上，两边与圆的交点分别记为点，测得的长为，则铜镜的直径为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，一扇形纸片的圆心角为，半径为4．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影部分为重叠部分，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知二次函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
12．点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为 ．
13．如图，正五边形的边长为1，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点的长为 ．
14．已知等腰内接于半径为5的，圆心到的距离为2．
（1）当为底，是锐角三角形时，边上的高为 ．
（2）当时，等腰中底边上的高为 ．
三、解答题
15．如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积．
16．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
（1）当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到）
（2）若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数．
17．中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数．
18．某超市为吸引顾客设置了翻奖牌活动，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌，奖牌的正面及背面如图所示，已知奖牌正面除字母外其余完全相同．
（1）翻一次牌翻到“牙刷”的概率是_____．
（2）翻两次牌（不能翻同一个字母），用画树状图法或列表法求两次获得的奖品都是纸巾的概率．
19．将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标．
（1）请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标．
（2）小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由．
20．如图，在的边上取一点，以为半径作，与交于，两点，过点作，与交于点，与交于点，延长交于点．
（1）请判断与的位置关系，并说明理由．
（2）连接，为上一点，且满足，求证：．
21．项目学习
项目主题：金丝琥珀蜜枣的最优销售单价
项目背景：金丝琥珀蜜枣是安徽省歙县特产，以当地马枣为原料，经八道传统工序制成．某校学习小组以探究“金丝琥珀蜜枣的最优销售单价”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究歙县某特产超市金丝琥珀蜜枣销售总利润与销售单价的关系．研究步骤：
①学习小组通过咨询该特产超市了解到购进金丝琥珀蜜枣的成本价为40元/千克．
②该特产超市在试营业期间，不断调整销售单价，并对金丝琥珀蜜枣的销售量进行统计（不考虑其他因素，本题默认为散装销售）．
③数据分析，得出结论．
收集数据：
问题解决：
（1）根据表中信息，金丝琥珀蜜枣每月的销售数量（单位：千克）关于它的销售单价（单位：元/千克）的函数解析式为___________．
（2）现计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（3）通过计算说明金丝琥珀蜜枣的销售单价定为多少时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润（单位：元）最大，并求出最大利润．
22．如图，在矩形中，，点在上，且，点为的外心．
（1）求点到的距离．
（2）如图2，在下方取一点，连接，若，且，求证：平分．
（3）如图3，点，分别为，上的动点，连接，，，求四边形周长的最小值．
23．某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，．
（1）如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段和的数量关系．
（3）如图3，在四边形中，，是对角线，若，，求的长．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径即可解答．
【详解】解：∵的半径为3，点P在外，
∴，
∴的长可能是4．
故选D．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．判断诗句描述的事件是否可能发生，不可能事件指一定不会发生的事件．
【详解】解：A. 黄河入海流为自然现象，是必然事件；
B. 锄禾日当午为农业活动，是随机事件；
C. 手可摘星辰，星辰遥远无法触及，不可能发生；
D. 床前明月光为自然现象，是随机事件．
∴ 不可能事件是C．
故选C．
3．【正确答案】A
【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理可得，结合，可得为等边三角形，据此即可求得的长．
【详解】解：∵与分别相切于点，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴．
故选A．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，由此建立方程求解．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴判别式，
即，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
5．【正确答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心是解题的关键．如图根据题意，可知点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，连接，，借助网格，画出线段，的垂直平分线，找到其垂直平分线的交点，即可所求．
【详解】解：如图所示，点即为所求，
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的内心、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．由题意易得，分别是，的角平分线，然后可得，进而根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵点O是的内心，
∴，分别是，的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得出，进而得出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图，设该圆形铜镜的圆心为O，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴该铜镜的直径为．
故选B．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率．
【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴小正方形的面积为：，
则飞镖落在阴影区域的概率为：．
故选C．
9．【正确答案】B
【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆．
【详解】解：∵四点不在同一直线上，
∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆；
（）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆；
∴确定圆的个数为、或，不可能为，
故选．
10．【正确答案】A
【分析】连接、，先证明是等边三角形，得到，，根据勾股定理求出，再利用扇形和三角形的面积公式计算，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接、，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴阴影部分的面积．
故选A．
11．【正确答案】增大
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴两个因素决定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴，即可得出答案。
【详解】解：∵二次函数， ，
∴二次函数的图象开口向上， 且对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小.
12．【正确答案】20
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，由点A坐标求长作为半径，则，设与x轴交于点，与y轴交于点，则，，即可求出b、c，在中利用勾股定理求的长即可．
【详解】解：点到原点O的距离，
故圆的半径为10，
∴，
设与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，，
∵、两点不与原点重合，即，，
∴，，
∴在中，，，由勾股定理得，
则．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质，正多边形的内角和问题，等边三角形的判定与性质，弧长的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，先证明是等边三角形，推出，根据正五边形的内角和，求得，从而得到，最后通过弧长公式计算出答案即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵正五边形的边长为1，
∴，
∵分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
14．【正确答案】；
【分析】此题考查了垂径定理及推论，勾股定理，等腰三角形，熟练掌握相关知识是解本题的关键．
（1）当是底，是锐角三角形，如图1，连接并延长交于点，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论；
（2）当是腰时，连接，并延长到于，作于点，根据勾股定理得到，求得，，在中，，在中，，则，解方程求出的值后，则底边上的高可求．
再根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）当是底，是锐角三角形，如图1，
连接并延长交于点，
，
，
，，
，
即这个等腰底边上的高为7.
（2）当时，连接，，并延长交于，作于点，
在中，，，
，
，
∵，
∴，
∴，
设，在中，
，
在中，
，
，
解得，
．
这个等腰底边上的高为.
15．【正确答案】
【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据勾股定理求得，再通过圆锥的侧面积公式求解即可．
【详解】解：，，
，
该圆锥的侧面积为．
16．【正确答案】（1）
（2）白球的个数为个
【分析】本题主要考查频率估算概率，掌握以上知识是做题的关键．
（1）根据表格信息即可求解；
（2）根据该盒子里摸到白球的概率为，令其乘以即可．
【详解】（1）解：根据表格信息得到当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近.
（2）解：由表格数据可知，摸到白球的频率稳定在左右，
估计该盒子里摸到白球的概率为，
盒子里白球约有（个）．
17．【正确答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键．
连接，根据点是正八边形的中心，求得，然后根据等腰三角形的性质，得解答即可．
【详解】解：如图，连接．
点是正八边形的中心，
，
又是的中点，
．
18．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．
（1）直接利用概率的计算公式即可求解；
（2）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可．
【详解】（1）解：翻一次牌，共有4种等可能的结果，其中翻到“牙刷”的情况有1种，
∴翻一次牌翻到“牙刷”的概率是.
（2）解：列表如下：
由表格可得，共有12种等可能的结果，其中两次获得的奖品都是纸巾的情况有2种，
两次获得的奖品都是纸巾的概率．
答：两次获得的奖品都是纸巾的概率是．
19．【正确答案】（1）见详解
（2）不公平，理由见详解
【分析】本题考查用列表法 / 树状图法求概率及游戏公平性判断，解题关键是通过列举法得出所有可能的点坐标，再结合点与圆的位置关系计算双方获胜的概率来判断公平性．
（1）通过列表/树状图列举两次抽卡的所有组合，得到种可能的点坐标；
（2）先根据点到原点的距离判断点与圆的位置，统计圆内、圆上、圆外的结果数，计算两人获胜概率，比较概率是否相等来判断游戏公平性．
【详解】（1）列表如下：
（2）不公平．
理由：如图，落在圆上或圆外．
这个游戏不公平．
20．【正确答案】（1）与相切，理由见详解
（2）见详解
【分析】本题考查了切线的判定，圆心角定理，圆周角定理，垂径定理逆定理等知识，综合性强，难度较大．
（1）根据垂径定理逆定理得到，结合，得到，即可证明与相切；
（2）连接，则．根据得到．根据得到，从而得到．再证明，，得到，即可证明．
【详解】（1）解：与相切．
理由：为半径，
．
，
，
与相切；
（2）证明：如图，连接，则．
，
．
，
，
．
，
，
，
，
，
．
21．【正确答案】（1）
（2）销售单价应定为80元/千克
（3）当时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润最大，最大利润为9000元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用等，正确求出函数解析式，熟知二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据数据变化特点可知是一次函数，再通过待定系数法将数值代入求出关系式即可；
（2）根据（1）中的销售量表达式，结合总利润每千克利润销售量，得到一元二次方程，结合月销售成本排除不合理的单价即可；
（3）同（2）得到利润的二次函数关系式，配方得到顶点式，再利用二次函数的性质得出最值．
【详解】（1）解：观察表格可知金丝琥珀蜜枣每月的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数．设一次函数关系式为，
代入，，得
，
解得，
∴金丝琥珀蜜枣每月的销售数量（单位：千克）关于它的销售单价（单位：元/千克）的函数解析式为.
（2）解：月销售成本不超过10000元，成本价为40元/千克，
，解得
由题意得，
解得（舍去），
答：销售单价应定为80元/千克．
（3）解：
，
当时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润最大，最大利润为9000元．
22．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）
【分析】（1）过点作于点，连接，根据矩形的性质，以及直角三角形的外心，可以知道点在斜边的中点上，然后结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，接着证明是的中位线，从而算得答案；
（2）先证明四点在以点为圆心，为半径的圆上，得到，接着通过，证明即可得证；
（3），作点关于的对称点，连接，作点关于的对称点，连接，当点共线时，四边形的周长最小，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，连接．
在矩形中，，点为的外心，
，
∵，
，
是的中位线，
，
点到的距离为．
（2）证明：，点为的外心，
四点在以点为圆心，为半径的圆上，
．
，
，
，
平分．
（3）解：如图，作点关于的对称点，连接，作点关于的对称点，连接，
当点共线时，四边形的周长最小．
，
，
在中，，
，
，
四边形周长的最小值为．
23．【正确答案】（1），理由见详解
（2）
（3）
【分析】（1）根据旋转的性质可得，推出，，然后可求得，利用勾股定理得到，即可得到答案；
（2）过点作，易证，，从而推出，，然后证得，可知，得到，结合勾股定理即可推出结论；
（3）根据题意可知是等边三角形，则将绕点顺时针旋转得到，连接，则有，，进而得到为等边三角形，然后结合已知易得，从而根据勾股定理得到，即可求得答案．
【详解】（1）解：，
理由：由旋转可知，
，
，
，
，
．
（2）解：如图，过点作，
则，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
（3）解：，
是等边三角形，
，
∴将绕点顺时针旋转得到，连接，如图，
由旋转的性质知，，
则为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
．摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
金丝琥珀蜜枣销售价/（元/千克）
．．．
50
55
60
65
70
．．．
每月销售数量/千克
．．．
500
450
400
350
300
．．．
第一次
第二次