2025-2026学年安徽省六安市金安区九年级上册12月月考数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年安徽省六安市金安区九年级上册12月月考数学试卷 [附答案]，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算结果是的是（）
A．B．C．D．
3．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数 图象上，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（ ）

A．B．C．3D．
7．如图，，两点在反比例函数的图象上，分别过，两点向坐标轴作垂线段．若，则（ ）
A．1B．2C．4D．6
8．如图，二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
9．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；②以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．在中，，分别是，的中点，，，垂足分别为，，交于点，且．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为 ．
12．已知多项式，则 ．
13．在中，若锐角，满足，则的度数为 ．
14．如图，这是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点为原点，水平方向为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点，为水花的落水点且均在轴上，其中右侧抛物线的表达式为，喷水管的高度为．
（1）的值为 ；
（2）现重新改建喷泉，降低喷水管的高度，使落水点与喷水管的水平距离为，则喷水管要降低的高度为 ．
三、解答题
15．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）先将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出；
（2）在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1的位似图形，并写出点的坐标．
17．太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图，这是一个太阳能面板及其侧面示意图，是的中点，．当太阳光与面板垂直时．太阳面板吸收光能的效率最高，且太阳光与地面的夹角为，求此时支架端离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，）
18．如图，在中，，，分别是边，，上的点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）求的值及反比例函数的表达式；
（2）连接，，求．
20．如图，在四边形中，，，，，．分别取，的中点，，连接，过点作于点．
（1）的长为________；
（2）求证：；
（3）求的长．
21．规定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．
已知点，是关于的“黄金函数”图象上的一对“黄金点”，且该函数图象的对称轴始终位于直线的右侧．
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）请比较代数式与的大小，并说明理由．
22．在矩形中，是边上的一点，过点作，交直线于点．
（1）如图1，与的数量关系为________；
（2）如图2，当点恰好与点重合时，求证：；
（3）若为的中点，，求的值．
23．在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．
（1）求的值；
（2）求抛物线的表达式；
（3）若平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得的抛物线与轴的交点的纵坐标的最大值．
答案
1．【正确答案】C
【分析】根据立方根，有理数定义，无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数即无限不循环小数，立方根，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A. 是分数，不是无理数，不符合题意；
B. 无限循环小数 ，不是无理数，不符合题意；
C. 是无理数，符合题意；
D. 是有理数，不是无理数，不符合题意；
故选C．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方，掌握知识点是解题的关键．
根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方等的运算法则，逐一计算各选项，判断是否等于即可．
【详解】解：对于选项A：不是同类项，无法合并，结果不为，不符合题意；
对于选项B：∵，∴，不符合题意；
对于选项C：∵，∴，符合题意；
对于选项D：∵，∴，不符合题意；
故选C．
3．【正确答案】B
【分析】根据平方差公式的基本特点去判断解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：A. ，符合标准式，不符合题意；
B. ，不符合标准式，符合题意；
C. ，符合标准式，不符合题意；
D. ，符合标准式，不符合题意；
故选B．
4．【正确答案】A
【分析】本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
根据反比例函数中，y随x的增大而减小，点和中，，得到．
【详解】∵反比例函数，
∴反比例函数图象 经过第一、三象限，在第一象限中，函数值y随x的增大而减小，
∵点和中，，
∴，
故选A．
5．【正确答案】A
【分析】由于两点纵坐标相同，它们关于抛物线的对称轴对称，对称轴为 ，解答即可．
本题考查了抛物线的对称轴的计算，熟练掌握对称轴的计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过和两点，且两点纵坐标相等，
∴点 和 关于对称轴 对称，
∴ ，
故选A．
6．【正确答案】D
【分析】连接，格点正方形的边长为1，根据题意，得，，且故，根据正切函数的定义，解答即可．本题考查了正切函数的计算．
【详解】解：连接，格点正方形的边长为1，根据题意，得，，且故，

故，
故选D．
7．【正确答案】A
【分析】设阴影部分的面积为，根据，得，继而得到，结合解答即可．
本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键．
【详解】解：设阴影部分的面积为，根据，得，故，
又，
故；
解得，
故选A．
8．【正确答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系，利用图象以及二次函数的性质解决问题．
根据二次函数的对称性求得另一个与轴交点的坐标，根据图象与轴交点的坐标即可得到不等式的解集．
【详解】解：由图象得：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∵，即，
由图象可得或．
故选D．
9．【正确答案】C
【分析】根据，，设，则，，根据，解答即可．
本题考查了正切函数的定义，勾股定理，比值的计算，熟练掌握正切函数，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
设，
则，，
根据题意，得，
故，
由，得．
故，
故选C．
10．【正确答案】B
【分析】取的中点H，连接，证明四边形是平行四边形，，根据三角形中位线定理，中点的意义解答即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，补角的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】解：取的中点H，连接，
∵，分别是，的中点，的中点为H，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
11．【正确答案】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
12．【正确答案】1
【分析】本题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式特征是解题关键，根据完全平方公式展开得出，可求出的值，进而求出结论．
【详解】解：，
，
，，，
.
13．【正确答案】
【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数，三角形内角和定理的应用，掌握知识点是解题的关键．
根据绝对值和平方的非负性，可得和的值，再根据特殊角的三角函数值确定，的度数，最后利用三角形内角和定理计算的度数即可．
【详解】解：∵，且绝对值和平方都具有非负性，
∴，
解得，
所以，，
∴．
14．【正确答案】；
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答．
（1）将代入，求出相应的a的值即可；
（2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
∵将代入中可得，，
解得，
∴a的值为．
（2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为，
将代入，可得，
解得；
答：喷水管要降低的高度为米．
15．【正确答案】，数轴见详解
【分析】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴不等式的解为：，
在数轴上表示如图：
16．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】（1）平移到，根据平移变换，确定坐标后，画图即可；
（2）根据位似比，确定坐标后，画图即可；
本题考查了平移作图，位似作图，熟练掌握变换的基本特征是解题的关键．
【详解】（1）解：的三个顶点坐标分别是，，．
将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，则，，画图如下：
则即为所求．
（2）解：的三个顶点坐标分别是，，．
在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1，得到，则，，画图如下：
则即为所求．
17．【正确答案】24
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键．
过点C作，根据题意算出，再结合线段的中点得，运用直角三角形的两个锐角互余得，然后根据，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：过点C作，如图：
∴太阳光与地面的夹角为，太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，
∴，
∵点C是的中点，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）4
【分析】（1）根据平行线的性质证明，即可；
（2）根据得，结合，，解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
故．
19．【正确答案】（1），
（2）3
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，根据解析式确定不等式的解集，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键，
（1）把代入解析式可求得a值，确定代入解析式可求得k值，即可求得解析式.
（2）设与y轴的交点为C，根据题意，得，解答即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
，，
，，
，反比例函数的解析式为；
（2）解：，
解得，，
故，
设与y轴的交点为C，
，
，
如图，连接、，．
20．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）
【分析】（1）由勾股定理可得，由三角形中位线定理可得；
（2）证明及，即可得到；
（3）连接，得到四边形是矩形，从而得到，由相似三角形的性质计算出的长，再由中点的性质计算出的长，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
、分别是的中点，
是的中位线，
.
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，
，为的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
为的中点，
，
，
，即，
解得，
．
21．【正确答案】（1）
（2）
（3），理由见详解
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
（1）根据题意可得，点和点关于原点对称，进一步求出点和点的坐标，再将两点的坐标代入解析式，得到方程组，最后利用整体思想即可求值；
（2）先根据（1）中的方程组，易得出，再根据函数图象的对称轴始终位于直线的右侧，可得不等式，再分情况讨论即可；
（3）先根据（1）和（2）可得，，，，再将化简为，最后根据的取值范围即可比较大小．
【详解】（1）解：由题意得，点和点关于原点对称，
，，
，．
将，代入得，
，
将两式相加可得，，
．
答：的值为．
（2）解： 由（1）可知，
，
用第一个方程减去第二个方程可得，，
．
对于二次函数，其对称轴为直线，
且该函数图象的对称轴始终位于直线的右侧，
，
即，
故分两种情况：
情况一：当时，
解得，，
此时与矛盾，舍去；
情况二：当时，
解得，，即．
综上，的取值范围是．
（3）解：，
理由如下：
由（1）可知，，
．
由（2）可知，，，
当时，．
，
，
，
即．
22．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）的值为或．
【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形中两个锐角互余，相似三角形的判定与性质，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．
（1）先证明，继而证明，则，即可解答．
（2）先推导出，，得到，继而证明即可．
（3）在矩形中，，，设，则，过点E作于点F，得到，分类讨论：①当点E在之间时，②当点E在的延长线上时，逐个分析求解即可．
【详解】（1）解：在矩形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）在矩形中，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）在矩形中，，，
设，则，
过点E作于点F，
∴，
①当点E在之间时，如图
有，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
解得或（不符合题意，舍去），
∴．
②当点E在的延长线上时，如图
有，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
解得或（不符合题意，舍去），
∴．
综上所述，的值为或．
23．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
（1）把代入，即可解答；
（2）先判断哪两个点在抛物线上，再利用待定系数法求解即可；
（3）设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为，根据题意得：，由抛物线为与轴交点纵坐标为，得到，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，
可得，
解得；
（2）解：，的横坐标相同，
，不可能同时在抛物线上，
假设抛物线恰好经过，两点，
代入可得，
解得，不符合二次函数的定义，
故抛物线恰好经过，两点，
代入可得，
解得，
所以抛物线的解析式为；
（3）解：由（2）知，抛物线的解析式为，
设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线为与轴交点纵坐标为，
，
当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．