2025-2026学年安徽省亳州市上册九年级12月段考数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年安徽省亳州市上册九年级12月段考数学试卷 [附答案]，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（-2，1）C．（2，-1）D．（-2，-1）
2．若锐角A满足，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．如果2x＝3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是( )
A．B．
C．D．
5．如果点，在反比例函数的图象上，且满足当时，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，下列条件中不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图的中有一正方形，其中在上，在上，直线分别交于两点. 若，则的长度为()
A．B．C．D．
9．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
10．如图，在平行四边形ABCD 中，点E在边DC上，EC ：DE=1：3，连接AE交BD于点F ，则△DEF 的面积与四边形BFEC的面积之比为（ ）
A．1：2B．3：4C．8：17D．9：19
二、填空题
11．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ．
12．如图，在中，，是边上的高，，，则的值是 ．
13．如图，反比例函数的图象上有两点A和B，横坐标分别是a和b，且，过点A作y轴平行线，过点B作x轴平行线，交于点C，连接，若面积为1，则 ．
14．已知四边形是矩形，，，E为边上一动点且不与B、C重合，连接，如图，过点E作交于点N．
①若，那么的长 ；
②将沿翻折，点C恰好落在边上，那么的长为 ．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，已知是坐标原点，两点的坐标分别为．

（1）以点为位似中心在的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形；并分别写出的对应点的坐标；
（2）若内部有一点，则其对应点的坐标是____________．
17．把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线．
（1）试确定a，h，k的值；
（2）若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、B两点．垂直于y轴，垂足为D，连接．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）求的面积．
（3）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围．
19．如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行．某次拍摄中，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为的斜上方C处，当运动员到达地面B点时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知的坡度为且长为米，无人机飞行距离为米，求无人机离地面的高度的长．（参考数据：）
20．某电商平台销售一款秋衣，每套售价90元，每星期可卖300套，为促销，该店决定降价销售，市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖30套，已知该款秋衣每套成本70元，平台规定售价不得低于成本价．设该款秋衣每套售价x元，每星期的销量为y套，每星期的销售利润为w元．
（1）求y与x之间的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；
（2）求w与x之间的函数解析式，并求当每套售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？
21．如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F．
（1）若，，求的长；
（2）求证：．
22．如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（），连接、、、．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当的面积等于的面积的4倍时，求m的值．
（3）当时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交于点P，另一边交的延长线于点Q．则______（填“”“”或“”）；
（2）将（1）中“正方形”改成“矩形”，且，，其他条件不变．
①如图2，若，求AP长．
②如图3，若BD平分．求DP的长．
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标．
【详解】∵，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，1），
故选B．
2．【正确答案】A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，直接求解满足条件的锐角．
【详解】解：已知锐角满足，
∴．
故选A．
3．【正确答案】B
【详解】试题分析：根据比例的基本性质，可知B正确.
故选B.
4．【正确答案】C
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值()叫做黄金比．
【详解】解：根据线段黄金分割的定义得：AC2=BC•AB．
故选C．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．
【详解】解：∵点，为反比例函数图象上两点，当时，，
∴，
解得，
故选B．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解．
【详解】解：如图，
∵关于的方程总有一正一负两个实数根，
∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，
∴．
故选A
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解．
【详解】解：∵与中，，
A. ，∴能判定；
B. ，∴不能判定；
C. ，∴，∴能判定；
D. ，∴能判定．
故选B．
8．【正确答案】D
【分析】由DE∥BC可得求出AE的长，由GF∥BN可得，将AE的长代入可求得BN．
【详解】解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥BC，GF∥BN，且DE=GF=EF=1，
∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，
∴①，②，
由①可得，，解得：，
把代入②，得：，
解得：，
故选择：D.
9．【正确答案】C
【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子的符号，熟知二次函数图象与对应的项的符号关系以及对称轴公式是解题的关键．由图象可判断，，，得出，故①错误；根据对称轴位置可得出，即得出，故②正确；由图可知当时，，即，故③正确；由图可知当时，，结合，即得出，故④正确．
【详解】解：由图可知抛物线开口向上，且与y轴的交点位于x轴下方，对称轴在y轴右侧，
∴，，，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线对称轴在直线左侧，
∴．
∵，
∴，故②正确；
由图可知当时，，
∴，故③正确；
由图可知当时，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上可知，有个3结论正确．
故选C．
10．【正确答案】D
【分析】由DE：EC=3：1，可得DF：FB=3：4，根据在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比，可得，可求△DEF的面积与四边形BCEF的面积的比值．
【详解】，
．
，
．
，．
设，则．
过点作交于点．
，
即．
．
．
．
．
故选D．
11．【正确答案】，
【分析】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据图象求与x轴的另一个交点坐标，然后根据图象与x轴交点坐标的横坐标为一元二次方程的根，进行作答即可．
【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
∴与x轴的另一个交点坐标为，
∴关于x的一元二次方程的两根为，.
12．【正确答案】
【分析】本题考查正切函数，角度计算，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知可证明，可求，则的值可求．
【详解】解：∵，是边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键．延长交轴于点，根据条件可得，继而，利用反比例函数值的几何意义进行解答即可．
【详解】解：延长交轴于点，
点和点，横坐标分别是和，且，
，
轴，面积为1，
∴，
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数在第二象限，
．
14．【正确答案】3；4或
【分析】①求出，证明，得出，即可得出结果；
②过点作于，则四边形是矩形，得出，，由折叠的性质得出，，，证明，得出，则，由，得出，则，得出，设，则，，，则，，求出，，由，即可得出结果；
【详解】解：①，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得.
②过点作于，如图所示：
则四边形是矩形，
，，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，，
，，
，，
，
解得：或，
或．
15．【正确答案】
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．
【详解】解：
．
16．【正确答案】（1）见详解；点的坐标为，点的坐标为；
（2）．
【分析】（）根据位似图形的性质和位似比作图即可，由图形即可；
（）利用位似比及点的坐标即可求解；
本题考查了作位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求，由图可得点的坐标为，点的坐标为；

（2）解：∵内部有一点，位似比为，
∴其对应点的坐标为.
17．【正确答案】（1），，
（2）
【分析】本题考查抛物线的平移与翻折，掌握平移与翻折规律是解题的关键．
（1）根据抛物线平移规律，向左平移3个单位则x替换为，向上平移4个单位则函数值加4，比较平移后的抛物线方程可得a，h，k的值；
（2）求出原抛物线顶点关于x轴的对称点，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反，由此可解．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线向下平移4个单位，再向右平移3个单位，可得，
抛物线为：，
，，；
（2）解：抛物线的顶点坐标为，
点关于x轴的对称点为，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反，
所得抛物线的函数表达式为．
18．【正确答案】（1），
（2）
（3）或
【分析】（1）直接根据待定系数法求两个函数解析式即可；
（2）求出点的坐标，则可知，然后得出边上的高根据三角形面积公式计算即可；
（3）根据函数图象找出一次函数在反比例函数上方的部分即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，
∴将分别代入，，
得，即，
∴一次函数解析式为，
反比例函数解析式为；
（2）联立，
即，
解得：，（即为点），
经检验，，是原方程的解，
∴点，
∴，边上的高为，
∴；
（3）根据函数图象可得反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围即为一次函数在反比例函数上方的部分，
∴反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围为或．
19．【正确答案】米
【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作地面的垂线，交地面于点，过点作于点，由的坡度为且长为300米，结合勾股定理可得米，米，米，在中，，可得米，则米，根据可得出答案．
【详解】解：过点作地面的垂线，交地面于点，过点作于点，
的坡度为，
，
设米，则米，
由勾股定理可得米，
，
解得，
米，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
（米．
无人机离地面的高度的长约为米．
20．【正确答案】（1）
（2），当每套售价定为85元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元
【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用．
（1）根据降价与销量的关系求一次函数解析式；
（2）利用利润公式得到二次函数解析式，化为顶点式求最大值．
【详解】（1）解：根据题意，售价为元时，降价元，销量增加套，
因此；
（2）解：，
∵ ，
∴当时，取最大值6750，
答：当每套售价定为85元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．
21．【正确答案】（1）
（2）见详解
【分析】（1）根据可证，，根据比例的性质可得，再证，可得，由此即可求解；
（2）连接，由已知可证四边形为平行四边形，根据平行线分线段成比例定理可知
，，则，则题目可证．
【详解】（1）解：，
设，，则，
，
，
，
，
则，且，
，
，
，
，，
，
，
的长为．
（2）证明：连接，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．【正确答案】（1）
（2）2
（3）或或或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）将点，代入，即可求解析式；
（2）过点作轴交于点，求出的直线解析式，设，则，根据列方程即可求的值；
（3）设，，分三种情况讨论：①当和为平行四边形对角线时；②当和为平行四边形的对角线时；③当和为平行四边形的对角线时，因为平行四边形对角线互相平分，所以对角线中点重合，根据中点公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点，代入，
，
，
；
（2）解：令，则，
，
，
，
，
，
的面积是的面积的4倍，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，代入
，
，
，
，则，
，
，
，
即
，
（3）解：存在点使得以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
，
，
设，，
∵平行四边形对角线互相平分，
∴对角线中点重合，
①当和为平行四边形对角线时，
此时，
或，
或（舍去）；
②当和为平行四边形的对角线时，
此时，
或，
或（舍去）；
③当和为平行四边形的对角线时，
此时，
或，
或；
综上所述：点的坐标为或或或．
23．【正确答案】（1）=；（2）①；②
【分析】（1）由四边形是正方形知，，结合得，证可得答案；
（2）①证得，设，则，，，在中，由勾股定理得到关于的方程，解之即可；
②延长到，使，连接，设，则，由得，，，，再证得，，结合知，从而得，据此求出的值，最后利用勾股定理求解即可得出答案．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
.
（2）①四边形是矩形，
．
，
．
又．
，
，
设，则，
，．
由勾股定理得，在中，，
代入得，
解得（负值舍掉），
即．
的长为2；
②如图所示，延长到，使，连接，
设，则，
，
，，
，
则，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
即，
解得，即，
.