2025-2026学年天津市第二十五中学九年级上册第一次月考数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年天津市第二十五中学九年级上册第一次月考数学试卷 [附答案]，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程配方后可化为（ ）
A．B．C．D．
3．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．其图象的顶点坐标为B．函数的最小值为
C．其图象的开口向上D．其图象的对称轴为直线
4．若二次函数的图象经过三点，则a、b、c 的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A．2B．C．8D．
6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围为（ ）
A．B．且C．且D．
8．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2022年全国生活垃圾无害化处理能力约为4亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2024年提升到约4.4亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在 中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）

A．B．
C．D．
10．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤
11．为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形区域（如图），若米，则下列4个结论：①米；②；③；④矩形的最大面积为300平方米．其中正确结论的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．若是方程的一个根，则a的值等于 ．
14．将抛物线向上平移4个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ．
15．已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为 ．
16．如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置．若，则与所在直线的夹角（锐角）的度数为 ．
17．当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ．
18．如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上．点E为直线CD上的动点，连接BE，作AF⊥BE于F．点P为BC边上的动点，连接DP和PF．
（Ⅰ）当点E为CD边的中点时，△ABF的面积为 ；
（Ⅱ）当DP＋PF最短时，请在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．

三、解答题
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值．
21．二次函数．
（1）化成顶点式为______，顶点坐标为______．
（2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）与x轴的交点为______．
（4）当时，的取值范围是______．
（5）当时，则的取值范围是______．
22．已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求Р点坐标．
23．某商场销售一种商品，每件进价为元．调查发现，当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且物价部门规定：销售单价不能超过元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件．
（1）请直接写出与的函数关系式；
（2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
24．在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．
（1）如图①，当时，求与的交点的坐标；
（2）如图②，连接，当经过点A时，求的长；
（3）设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．
①求DF＋HF的最大值；
②连接EG，是否存在点D，使△EFG是等腰三角形．若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式及需满足的条件．
根据一元二次方程的定义，逐一分析选项，判断是否符合“只含一个未知数、未知数最高次数是2、整式方程”这几个条件．
【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数最高次数是1，是一元一次方程，不满足一元二次方程“二次项系数不为0，且未知数最高次数是2”的条件，所以不一定是一元二次方程；
B、不是方程，因为它没有等号，不构成等式关系，而方程是含有未知数的等式，所以不符合一元二次方程的定义；
C、，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程（整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程），符合一元二次方程的定义，所以是一元二次方程；
D、中含有两个未知数和，属于二元一次方程，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的条件．
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程中的常数项移至右侧，再通过配方将左侧转化为完全平方形式，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选D．
3．【正确答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点)中各项参数与函数性质的关系成为解题的关键．
根据二次函数顶点式的性质以及a的值确定开口方向，由h，k的值确定最大值、对称轴、顶点坐标逐项判断即可解答．
【详解】解：A．该函数的顶点坐标为，故该选项错误，不符合题意；
B．该函数的最大值为2，故该选项错误，不符合题意；
C．由，所以该二次函数图象开口向下，故该选项错误，不符合题意；
D．该函数的对称轴为直线，故该选项正确，符合题意．
故选D．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出二次函数的对称轴以及开口方向，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【详解】解：∵
∴二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，
∵到3的距离为4，2到3的距离为1，4.5到3的距离为1.5，
∴a、b、c的大小关系.
故选D．
5．【正确答案】C
【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
，
，
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则，
由旋转性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
故选．
7．【正确答案】C
【分析】由且，即可求解．
【详解】解：抛物线与轴有两个不同的交点，
即当时，方程有两个不相等的实数根，
则且，
解得：且，
故选．
8．【正确答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型，是解题的关键．设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列出方程即可．
【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，
由题意得：．
故选C．
9．【正确答案】D
【分析】将绕点逆时针旋转得到，可得再证明 再逐一分析即可．
【详解】解：∵将△ABC绕点逆时针旋转得到△DEC，
∴ 故A不符合题意；
∴
∴ 故B不符合题意；
∴
∴
∴ 故C不符合题意；
∵
∴ 故D符合题意；
故选D．
10．【正确答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与轴的交点，此类题目，要注意利用好特殊自变量的函数值的应用．①利用抛物线与轴有2个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④利用时，可进行判断；⑤根据抛物线与轴的交点即可判断．
【详解】解：①抛物线与轴有2个交点，
，所以①正确；
②图象开口向下，得，
对称轴，
，
图象与轴的交点在轴的上方，得，
，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线，
，
，所以③正确；
④抛物线对称轴为直线，图象与轴的一个交点为，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，故④错误；
⑤二次函数的图象过，，
方程的解是，，故⑤正确．
故选C．
11．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了求二次函数的最大值，用代数式表示，长方形的面积相等，且，根据图示可知，则，设，根据面积相等得，再根据面积相等得出a，x的关系，即可判断A，B，C，再根据得出二次函数讨论极值即可．
【详解】解：如图所示，材料总长为80米，设，且，
∵长方形的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∴．
根据分析得，
∴．
∵用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形，
∴，
解得，
∴，
∴米．
所以①错误，不符合题意；
根据题意，设由①得，
∵.
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
所以②不正确，不符合题意；
根据题意，设由①的论证结果可知，
∴，
所以③正确，符合题意；
根据②可知
∴，
∴长方形的面积是，
∴根据抛物线的顶点可知，
∴（平方米），
所以结论④正确，符合题意．
正确的有2个．
故选B．
12．【正确答案】C
【分析】先求出点，求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案．
【详解】解：令，
解得：，
，
，
，
，
如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，
点沿轴向下平移个单位得到点，
，
，
，
抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
在抛物线中，
令，则，
，
由平移的性质可得：点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，
解得：，
，
故选C．
13．【正确答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，将根代入方程得，即可求解．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
14．【正确答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线向上平移4个单位长度，得到的抛物线的表达式为．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据题意可得，求出，再根据的性质进行取舍即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得：或，
∵当时y随的增大而增大，
∴，则，
∴.
16．【正确答案】/40度
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．延长交于点E，根据题意求出，由旋转的性质得：，再利用三角形内角和定理得到，推出，即可求解．
【详解】解：延长交于点E，
∵，，
∴，
由旋转的性质得：，
∵，
∴，
∴则与所在直线的夹角（锐角）的度数为.
17．【正确答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，由，可得抛物线开口向上，当时，y取最小值为，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当时或当时，y取最大值，进而分当时，y取最大值，此时，即和当时，y取最大值，此时，即，分别进行计算可以得解．
【详解】解：由题意，∵，
∴抛物线开口向上，当时，y取最小值为．
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大．
∴当时或当时，y取最大值．
①当时，y取最大值，此时，即．
又∵此时y最大值为，
∴（不合题意，舍去）或．
②当时，y取最大值，此时，即．
又∵此时y最大值为，
∴或（不合题意，舍去）．
综上，或．
18．【正确答案】4；见详解
【分析】（1）先确定BF和AF的长，然后运用三角形面积公式解答即可；
（2）取格点G、M、N，分别连接DG、MN交于点D′，取AB的中点H，连接H D′ 交BC于P，点P即为所求．
【详解】（Ⅰ）根据题意可得，当E为CD中点时，由勾股定理可得AF=BF=2
则△ABF的面积为AF·BF=4
（Ⅱ）先取格点G、M、N，分别连接DG、MN交于点D′，取AB的中点H，连接H D′ 交BC于P，点P即为所求．

19．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）运用完全平方公式求解即可；
（2）运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：
解得；
（2）解：在中，，
，
∴
，
解得．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键：
（1）求出判别式的符号，进行判断即可；
（2）把代入方程，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）把代入，得：，
解得：或；
∵为正数，
∴．
21．【正确答案】（1），
（2）见详解
（3），
（4）
（5）
【分析】本题考查二次函数顶点式，画图象与性质，利用函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）通过配方法将一般式化为顶点式；
（2）根据函数解析式画出函数图象即可；
（3）令解方程得到与轴的交点；
（4）利用二次函数图象找出二次函数图象在直线上方的自变量的取值范围即可；
（5）在给定自变量的范围内，结合二次函数图象求函数值的取值范围．
【详解】（1）解：

，
顶点坐标为 ．
（2）解：如图所示：
（3）解：令，即 ．
．
．
， ，
∴与轴的交点为 和 ．
（4）解：令得：

， ，
由二次函数图象得，若，则的取值范围是 ．
（5）解：当 时，；
当时，，
又∵函数顶点坐标为，
由二次函数图象得，当时，的取值范围是 ．
22．【正确答案】（1）；
（2）点P坐标为或或或．
【分析】（1）通过待定系数法求函数解析式；
（2）求出点B坐标，由可得点P坐标，从而求解．
【详解】（1）解：将代入得，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点A坐标为，
∴点B坐标为，
∴，
∵三角形的面积为6，
∴，
∴，
把代入得，
解得或；
把代入得，
解得或，
∴点P坐标为或或或．
23．【正确答案】（1）
（2）售价应定为元
（3）售价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元
【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握一次函数的数量关系式，一元二次方程实际应用，二次函数顶点式求最值是解此题的关键．
（1）根据“当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件”，即可列出与的函数关系式；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先表示出关于的关系式，再根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设该商品的销售单价为元，每天销量为件，
由题意可得：，
∵销售单价不能超过元，
∴，
∴．
（2）解：由题意可得，，
整理可得，，
解得，，（不符合题意，舍去），
∴商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为元．
（3）解：设商场每天销售利润为元，
由题意可得：，
∵，
∴抛物线开口向下，当时，随着的增大而增大，
∵，
∴当时，最大，此时，
∴销售单价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元．
24．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）过点作轴，利用，可得，利用和可得点D是OB的中点，从而得知点D的横坐标，利用和是等边三角形可得，即点C的纵坐标，从而得解；
（2）过点作轴，垂足为，推导，从而得出，再计算，用勾股定理得，从而得解；
（3）取线段的中点N，连接、，则，用中位线定理求，用勾股定理求，最后利用求范围．
【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为，
点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，轴，
，
，
点的坐标为；
（2）如图，过点作轴，垂足为，

由旋转得，，
，
，
，
，
，
在中，；
（3）
解：取线段的中点N，连接、，则，
点M是线段的中点，点N是线段的中点，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
即．
25．【正确答案】（1）y＝﹣x2+2x+3
（2）①；②存在，m＝2或m＝﹣1+2或m＝
【分析】（1）利用二次函数的交点式求解析式；
（2）①先求得点C的坐标，从而得到∠OBC＝∠OCB＝45°和直线BC的解析式，再过点F作FM⊥y轴于点M，交对称轴于点N，从而得到∠MFH＝∠MHF＝45°，进而得到FM和FH的关系，然后用含有m的式子表示DF+FH，最后利用二次函数的性质求得最大值；
②用含有m的式子表示点G的坐标，然后分情况讨论：①EF＝EG；②EF＝FG；③EG＝FG．
【详解】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）解：①当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
又∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
如图，过点F作FM⊥y轴于点M，则∠MCF＝∠MFC＝45，
∵FH⊥BC，
∴∠MFH＝∠MHF＝45°，
∴FH＝FM＝OE＝m，
∴DF+FH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）+m＝﹣m2+（3+）m，
∵0＜m＜3，0＜ ＜3，a＝﹣1＜0，
∴当m＝时，DF+FH的最大值为﹣（）2+（3+）×＝；
②∵F（m，﹣m+3），E（m，0），
∴N（1，﹣m+3），EF＝﹣m+3，
∴NF＝|m﹣1|，
由①理得，∠NFG＝∠NGF＝45°，
∴NF＝NG＝|m﹣1|，
当m＞1时，G（1，﹣m+3﹣m+1）即（1，﹣2m+4）；
当m＜1时，G（1，﹣m+3+（﹣m+1））即（1，﹣2m+4），
∴G（1，﹣2m+4），
∴EF2＝（﹣m+3）2，EG2＝（m﹣1）2+（2m﹣4）2，FG2＝（m﹣1）2+（m﹣1）2，
当EF＝EG时，（﹣m+3）2＝（m﹣1）2+（2m﹣4）2，
解得：m＝1（舍）或m＝2，
当EF＝FG时，（﹣m+3）2＝（m﹣1）2+（m﹣1）2，
解得：m＝﹣1+2或m＝﹣1﹣2（舍），
当EG＝FG时，（m﹣1）2+（2m﹣4）2＝（m﹣1）2+（m﹣1）2，
解得：m＝3（舍）或m＝，
综上所述，存在m＝2或m＝﹣1+2 或m＝，使得△EFG是等腰三角形．