2025~2026学年度天津市蓟州区九年级上学期第一次数学月考试卷【附答案】

这是一份2025~2026学年度天津市蓟州区九年级上学期第一次数学月考试卷【附答案】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 ．下列函数中是二次函数的为( )
A．y ＝3x－1 B．y ＝3x2－1
C．y ＝(x＋1)2－x2 D．y＝x3＋2x－3
2 ．一元二次方程(x - 3)(x +1) = 0 的根是( )
A ．x1 = 3, x2 = -1 B ．x1 = -3, x2 = 1
C ． D ．
3．在平面直角坐标系中，将二次函数y = (x +1)2 + 3 的图象向右平移 2 个单位长度， 再向下平移 1 个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为( )
A ．y = (x + 3)2 + 2 B ．y = (x -1)2 + 2 C ．y = (x -1)2 + 4 D ．y = (x + 3)2 + 4
4 ．一元二次方程x2 - 6x - 6 = 0 配方后化为( )
A ．(x - 3)2 = 15 B ．(x - 3)2 = 3
C ．(x + 3)2 = 15 D ．(x + 3)2 = 3
5 ．若点(-2, y1 )，(-1, y2 )，(5, y3 ) 在抛物线y = 4x2 + 5上，则y1，y2，y3 的大小关系是 ( )
A ．y1 < y2 < y3 B ．y3 < y2 < y1 C ．y2 < y1 < y3 D ．y3 < y1 < y2
6 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 + px + q = 0 的两个实数根分别为x1 = -2, x2 = 1，则 原方程可化为( )
A ．(x - 2)(x -1) = 0 B ．(x - 2)(x +1) = 0
C ．(x + 2)(x -1) = 0 D ．(x + 2)(x +1) = 0
7 ．若x2 + mx + 20 = (x - 4)2 - n ，则 m - n 的值是( )
A ．-16 B ．-12 ． C ．-4 D ．4
8 ．抛物线y = -3x2 ，y = 3x2 + 2 ，y = 3x2 - 2 共有的性质是( )
A ．开口向上 B ．对称轴都是y 轴 C ．都有最高点 D ．顶点都是原点
9 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 + 2x - (m - 2) = 0 有实数根，则 m 的取值范围是 ( )
A ．m > 1 B ．m < 1 C ．m ≥ 1 D ．m ≤ 1
10 ．已知直角三角形的两条边长恰好是方程 x2 -3x+2 ＝0 的两个根，则此直角三 角形的面积是( )
A ．2 B ．1 或 C ．1 D ．2 或
11 ．设 a ，b 是方程x2 + x - 2022 = 0 的两个实数根，则a2 + 2a + b = 0 的值为( )
A ．2019 B ．2020 C ．2021 D ．2022
12 ．如图，要围一个矩形菜园ABCD ，共中一边AD 是墙，且AD 的长不能超过 26m ，其余的三边AB, BC, CD 用篱笆，且这三边的和为40m ．有下列结论：
① AB 的长可以为6m；
② AB 的长有两个不同的值满足菜园ABCD 面积为192m2 ；
③菜园ABCD 面积的最大值为200m2 ． 其中，正确结论的个数是( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
13．把y = (2 - 3x)(6 + x) 变成一般式，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数 项为 ．
14 ．已知四个二次函数的图像如图所示，那么a a a a1234，，，的大小关系 是 ．（请用 “>”连接排序）
15 ．已知(x2 + y2 )(x2 + y2 - 3) = 18 ，则 x2 +y2 = ．
16．某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪 念，全班共送了 2550 张照片，如果全班有 x 名学生，根据题意，可列方程 ．
17．已知一个等腰三角形三边的长度都满足(x - 3)(x + 4) = 11(x - 3) ，求这个等腰三
角形的周长 ．
18 ．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m ）与小球的运动时间 t （单位：s）之间的关系式是h = 30t - 5t2 (0 ≤ t ≤ 6) ，有下列结论：①小球从抛出到 落地需要6s ；②小球运动1s 时的高度小于运动4s 时的高度；③小球运动中的高 度可以是46m ．其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题
19 ．解下列方程：
(1) x2 - 4x -1 = 0 ；
(2) (2x - 3)2 = (3x + 5)2 ．
20 ．已知抛物线y = ax2 + bx -1经过点A (1, 2) 、B (-3, 2) 两点．
(1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)当-2 ≤ x ≤ 2时，请直接写出y 的取值范围．
21 ．国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，受益于支持政策的影响， 某大学生自主创立的公司利润逐年提高，据统计，2017 年利润为 200 万元，2019 年利润为 288 万元．
(1)求该公司从 2017 年到 2019 年利润的年平均增长率；
(2)如果按照此增长率继续增长，2020 年的利润能否达到350 万元，请说明理由．
22 ．关于 x 的一元二次方程 x2+（2k -1）x+k2 ＝0 有两个不等实根 x1，x2，
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）若方程两实根 x1，x2 满足 x1+x2+x1x2 -1 ＝0，求 k 的值．
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩 大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现， 如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价为多少元？
24 ．如图，抛物线y = x2 - 4与 x 轴交于 A 、B 两点，顶点为 C、点 P 为抛物线上 一点，且S△PAB = 4 ．
(1)A___ ；B_____ ；C______；
(2)求 P 点的坐标．
25 ．已知，抛物线y = -x2 + bx + c 经过点A (-1, 0) 和C (0, 3) ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 △PAC 的周长最小？如果存在，请求出 点 P 的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)设点 M 在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点 M 的坐标．
1 ．B
【详解】A ． y=3x-1 是一次函数，故 A 错误；
B ． y=3x2-1 是二次函数，故 B 正确；
C ． y=(x+1)2-x2 不含二次项，故 C 错误；
D ． y=x3+2x-3 是三次函数，故 D 错误； 故选 B．
2 ．A
【分析】本题主要是考查了一元二次方程的求解，两项乘积为 0 的一元二次方程的求解：令 每一项都为 0，即可求出该方程的两个根．分别令x - 3 = 0 和x +1 = 0 ，即可求出该方程的两 个根．
【详解】解：由 (x - 3)(x +1) = 0 可知：x - 3 = 0 或x +1 = 0 ，
:方程的解为：x1 = 3 ，x2 = -1， 故选：A．
3 ．B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数 y = (x +1)2 + 3 的图象向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单 位长度，所得拋物线对应的函数表达式为y = (x -1)2 + 2 ；
故选 B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
4 ．A
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键．
先将方程变形成x2 - 6x = 6 ，然后两边再加上 9，最后根据完全平方公式即可解答．
【详解】解：x2 - 6x - 6 = 0 ， x2 - 6x = 6 ，
x2 - 6x + 9 = 6 + 9 ，
(x - 3)2 = 15 ．
故选 A．
5 ．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握当函数开口向上时， 离对称轴越远，函数值越大；当函数开口向下时，离对称轴越远，函数值越小．
先求出函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性，即可进行解答． 【详解】解：∵抛物线y = 4x2 + 5 的对称轴为直线x = 0 （y 轴），
:点(-2, y1 ) 到对称轴的距离为：0 - (-2) = 2 ， 点(-1, y2 ) 到对称轴的距离为：0 - (-1) = 1 ，
点(5, y3 ) 到对称轴的距离为：5 - 0 = 5 ， ∵ a = 4 > 0 ，
:函数开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵1< 2 < 5 ，
: y2 < y1 < y3 ．
故选：C．
6 ．C
【分析】本题考查了根与系数的关系， 根据根与系数的关系，直接代入计算即可，解题的关 键是熟练掌握根与系数的关系．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程x2 + px + q = 0 的两个实数根分别为x1 = -2, x2 = 1， :-2 +1 = -p ，-2× 1 = q ，
: p = 1 ，q = -2 ，
:原方程可化为：(x + 2)(x -1) = 0 ， 故选：C．
7 ．C
【分析】将右边利用完全平方公式去括号， 使得x2 + mx + 20 与x2 - 8x +16 - n 的系数对应相 等得出 m ，n 的值，即可求解．
【详解】∵ (x - 4)2 - n = x2 - 8x +16 - n ， : x2 + mx + 20 = x2 - 8x +16 - n ，
: m = -8 ，20 = 16 - n ， : m = -8 ，n = -4 ，
: m - n = -8 - (-4) = -4 ， 故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式， 使得系数对应相等即可．熟练掌握完全平方公式的结构 特征是解题的关键．
8 ．B
【分析】根据二次函数的性质，求解即可．
【详解】解：y = -3x2 ，a = -3 < 0 ，开口向下，有最大值，对称轴为 x =0 ，即y 轴；
y = 3x2 + 2 ，a = 3 > 0 ，开口向上，有最小值，对称轴为 x =0 ，即y 轴；
y = 3x2 - 2 ，a = 3 > 0 ，开口向上，有最小值，对称轴为 x =0 ，即y 轴； 共有的性质是：对称轴都是y 轴，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
9 ．C
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程x2 + 2x - (m - 2) = 0 有实数根， :△=b2 - 4ac = 22 - 4× 1 ×[-(m - 2)] ，
解得 m≥1， 故选 C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．
10 ．B
【分析】先求出一元二次方程的两个根，确定直角三角形直角边的长，利用三角形的面积公 式求解即可．
【详解】解：x2-3x+2=0， （x-1）（x-2）=0，
:x1=1，x2=2．
当直角三角形的两条直角边分别是 1 和 2 时，此直角三角形的面积为： 当直角三角形的斜边为 2 时，另一直角边为：
:此直角三角形的面积为 ，
:此直角三角形的面积是 1 或 ， 故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程及求直角三角形的面积，由于不能确定直角三角形的直 角边和斜边的长，解决此类问题需要分类讨论．
11 ．C
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2 + a = 2022 、a+b ＝ -1，将其代 入a2 + 2a + b = (a2 + a) + (a + b) 中即可求出结论．
【详解】解：∵a ，b 是方程x2 + x - 2022 = 0 的两个实数根， : a2 + a = 2022 ，a+b ＝ -1，
: a2 + 2a + b = (a2 + a) + (a + b) ＝2022 -1 ＝2021．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与 系数的关系找出a2 + a = 2022 、a+b ＝ -1 是解题的关键．
12 ．C
【分析】设 AB 的长为xm ，矩形 ABCD 的面积为ym2 ，则 BC 的长为(40 - 2x)m ，根据矩形 的面积公式列二次函数解析式，再分别根据AD 的长不能超过26m ，二次函数的最值，解一 元二次方程求解即可．
【详解】设 AB 的长为xm ，矩形 ABCD 的面积为ym2 ，则 BC 的长为(40 - 2x)m ，由题意得 y = x (40 - 2x ) = -2x2 + 40x = -2(x -10)2 + 200 ，
其中0 < 40 - 2x ≤ 26 ，即 7 ≤ x < 20 ，
① AB 的长不可以为6m，原说法错误；
③菜园ABCD 面积的最大值为200m2 ，原说法正确；
②当y = -2(x -10)2 + 200 = 192 时，解得x = 8 或x = 12 ，
: AB 的长有两个不同的值满足菜园ABCD 面积为192m2 ，说法正确；
综上，正确结论的个数是 2 个， 故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析 式是解题的关键．
13 ． -3 -16 12
【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，熟练运用多项式乘法将表达 式展开并整理成一般形式是解题的关键．
根据多项式的乘法法则化简为一般式，再根据二次函数的一般式求出相应系数即可． 【详解】y = (2 - 3x)(6 + x)
= 12 + 2x -18x - 3x2
= -3x2 -16x +12
所以二次项系数：-3 ，
一次项系数：-16 ，
常数项：12 ．
故答案为：-3 ；-16 ；12 ．
14 ．a1 > a2 > a3 > a4
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键． 直接利用二次函数的图像开口大小与 a 的关系即可得出答案．
【详解】解：如图所示：根据图像可知y = a1x2 的图像和y = a2x2 的图像的开口向上，且y = a1x2 的图像的开口小于y = a2x2 的图像的开口，
则a1 > a2 > 0 ．
根据图像可知y = a3x2 的图像和y = a4x2 的图像的开口向下，且y = a3x2 的图像的开口大于 y = a4x2 的图像的开口，
则0 > a3 > a4 ．
: a1 > a2 > a3 > a4 ．
故答案为：a1 > a2 > a3 > a4 ．
15 ．6
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先将题中已知的方程通过因式分解转化为 (x2 + y2 + 3)(x2 + y2 - 6) = 0 ，进而求出 x2 + y2 的值，同时要注意根据x2 和y2 的非负性对解
进行取舍．
【详解】解：(x2 + y2 )(x2 + y2 - 3) = 18
(x2 + y2 )2 - 3(x2 + y2 )-18 = 0
(x2 + y2 + 3)(x2 + y2 - 6) = 0 x2 + y2 + 3 = 0 ，x2 + y2 - 6 = 0 ， x2 + y2 = -3 ，x2 + y2 = 6 ，
∵无论 x，y 为何值，x2 + y2 不能为负数， : x2 + y2 = 6 ，
故答案为：6．
16．x（x -1）=2550．
【分析】如果全班有 x 名学生，那么每名学生送照片 x -1 张，全班应该送照片 x（x -1）， 那么根据题意可列的方程．
【详解】解：全班有 x 名学生，那么每名学生送照片(x -1)张； 全班应该送照片 x（x -1），
则可列方程为：x（x -1）=2550．
故答案为 x（x -1）=2550．
【点睛】由实际问题抽象出一元二次方程．
17 ．9 或17 或21
【分析】本题重点考查一元二次方程的解法（因式分解法）以及等腰三角形的性质与三角形 三边关系，通过解方程得到可能的边长后，分类讨论等腰三角形的构成情况并验证是否满足 三角形三边关系是解题的关键．
利用因式分解法解方程得到x1 = 3, x2 = 7 ，然后分类讨论：当等腰三角形的三边都为 3 或等 腰三角形的三边都为 7 或等腰三角形的三边为 3 、7 、7 或等腰三角形的三边为 3 、3 、7，再 分别计算三角形的周长．
【详解】(x - 3)(x + 4) = 11(x - 3) ， (x - 3)(x + 4) -11(x - 3) = 0 ，
(x - 3)(x + 4 -11) = 0 ， (x - 3)(x - 7) = 0
x - 3 = 0 或 x - 7 = 0 ，
所以x1 = 3, x2 = 7 ，
当等腰三角形的三边都为3 ，则三角形周长为 3 + 3 + 3 = 9 ；
当等腰三角形的三边都为7 ，则三角形周长为7 + 7 + 7 = 21；
当等腰三角形的三边为3, 7, 7 ，则三角形周长为 3 + 7 + 7 = 17 ；
当等腰三角形的三边为3, 3, 7 ，此时 3 + 3 < 7 ，不能形成三角形，不合题意， 所以三角形的周长为9 或17 或21，
故答案为：9 或17 或21．
18 ． ①②
【分析】本题考查了二次函数的应用，令h = 0, 解方程求出t 的值，即可判断①, 分别求出t = 1 和t = 4 时h 的值是，即可判断②, 求出h 的最大值，即可判断③, 解此题的关键是把实际问 题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果.
【详解】解：①令h = 0, 则30t - 5t2 = 0,
解得：t1 = 0, t2 = 6,
:小球从抛出到落地需要6s ，故①符合题意； ②t = 1时， h = 30 × 1- 5 × 12 = 25 (m) ,
t = 4 时，h = 30 × 4 - 5 × 42 = 40 (m) ,
:小球运动1s 时的高度小于运动4s 时的高度，故②符合题意.
③h = 30t - 5t2 = -5(t2 - 6t) = -5(t - 3)2 + 45, Q-5 < 0,
:当t = 3 时，h 有最大值，最大值为45 ，
:小球运动中的高度不可能是46m ，故③不符合题意；
:正确结论的序号是 ①② , 故答案为： ①② .
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
（1）用配方法求出方程的解即可；
（2）利用直接开平方法，求出方程的解即可； 【详解】（1）解：x2 - 4x -1 = 0 ，
移项得：x2 - 4x = 1 ，
配方得：x2 - 4x + 4 = 1+ 4 ，即 (x - 2)2 = 5 ，
开平方得：x - 2 = ± ,
即x1 = 2 + ，x2 = 2 - ；
（2）解：(2x - 3)2 = (3x + 5)2 ，
开方得：2x - 3 = ±(3x + 5) ，
即2x - 3 = 3x + 5 或2x - 3 = -3x - 5 ，
解得 ．
20 ．(1)二次函数图象的对称轴为直线x = -1 ，顶点坐标为(-1, -2)
(2)当-2 ≤ x ≤ 2 时，y 的取值范围为-2 ≤ y ≤7
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数一般式化为顶点式；
（1）将点 A(1, 2) 、B (-3, 2) 代入解析式中建立关于 a 、b 的二元一次方程组，即可求解；
（2）运用数形结合思想，抛物线的对称轴为x = -1 在-2 ≤ x ≤ 2 范围之内，所以y 的最小值 就是当x = -1 时y 的值，y 的最大值就是当x =2 时y 的值.
【详解】（1）解：将 A(1, 2) 、B (-3, 2) 代入y = ax2 + bx -1 ， 得 解得
:抛物线的解析式为y = x2 +2x-1，
将解析式化为顶点式y = x2 + 2x -1 = (x +1)2 - 2 故其对称轴为直线x = -1 ，顶点坐标为(-1, -2) .
（2）解：根据抛物线解析式 y = (x +1)2 - 2 ，可画图其图象：
:对称轴为x = -1 在-2 ≤ x ≤ 2 范围之内，
:y 的最小值就是当x = -1 时，y = (-1+1)2 - 2 = -2 ，
:-2 ≤ x ≤ 2 范围的右边端点离对称轴更远且抛物线开口向上， :y 的最大值就是当x = 2 时，y = (2 + 1)2 - 2 = 7 ，
故当-2 ≤ x ≤ 2 时，y 的取值范围为-2 ≤ y ≤7 .
21 ．(1)20%
(2)2020 年的利润不能达到 350 万元
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题中的平均增长率问题；
（1）设从 2017 年到 2019 年利润的年平均增长率为 x，列一元二次方程，求解即可；
（2）根据年平均增长率计算 2020 年的利润即可.
【详解】（1）解：设从 2017 年到 2019 年利润的年平均增长率为 x 200(1 + x)2 = 288
解得x1 = 0.2 = 20% ，x2 = -2.2 （舍去）
故从 2017 年到 2019 年利润的年平均增长率为20% .
（2）解：按照此增长率继续增长，2020 年的利润不能达到 350 万元，理由如下：
:按照此增长率继续增长
:2020 年的利润为288 × (1+ 20%) = 345.6 （万元）
345.6 < 350
故 2020 年的利润不能达到 350 万元.
22 ．（1）k＜ ；（2）k＝0
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△>0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出 x1+x2=-（2k-1）=1-2k ，x1•x2=k2，代入 x1+x2+x1x2-1=0，即 可求出 k 值．
【详解】解：（1）:关于 x 的一元二次方程 x2+（2k -1）x+k2 ＝0 有两个不等实根 x1，x2 :△=（2k -1）2 -4×1×k2 ＝ -4k+1＞0
（2）由根与系数的关系得：x1+x2 ＝ -（2k -1）＝1 -2k ，x1•x2 ＝k2
:x1+x2+x1x2 -1 ＝0 : 1 -2k+k2 -1 ＝0 :k＝0 或 2
:由（1）得， :k＝2 舍去
:k＝0．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，根的判别式和根与系数的关系等知识点，熟记根的判 别式和根与系数的关系的内容是解题的关键．
23 ．每件衬衫应降价 20 元
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用衬衣平均每天售出的件数× 每件盈利= 每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
【详解】解：设每件衬衫应降价 x 元． 根据题意，得 (40 - x)(20 + 2x) = 1200
整理，得x2 - 30x + 200 = 0
解得x1 = 10，x2 = 20 ．
Q扩大销售量，减少库存，
:x1 = 10 应舍去，
:x = 20 ．
答：每件衬衫应降价 20 元
24 ．(1) (-2，0) ，(2，0) ，(0，- 4)
(2) (- ，2) 或( ，2) 或(- ，- 2) 或( ，- 2)
【分析】（1）分别求出当 x =0 时y 的值，当y = 0 时 x 的值即可得到答案；
（2）根据题意可得 ，求出 yP = ±2 ，进而求出点 P 的坐标即可．
【详解】（1）解：在 y = x2 - 4 中，令x =0 ，则 y = -4 ，令 y = 0 ，则 x = ±2 ， : A (-2，0) ，B (2，0) ，C (0，- 4)
故答案为：(-2，0) ，(2，0) ，(0，- 4) ；
（2）解：: A (-2，0) ，B (2，0)，
: AB = 4 ，
: S△PAB = 4 ，
: yP = ±2 ，
在y = x2 - 4 中，令y = 2 ，则 x2 - 4 = 2 ，解得 x = ± 、 ，
在y = x2 - 4 中，令y = -2 ，则 x2 - 4 = -2 ，解得 x = ± 、/2 ，
:点 P 的坐标为(- ，2) 或( ，2) 或(- ，- 2) 或( ，- 2)．
【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点问题， 二次函数与 x 轴的交点问题，熟 练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
25 ．(1) y = -x2 + 2x + 3 ，(1, 4)
(2)存在，点 P 坐标为(1, 2)
(3)当△MAC 是直角三角形时，点 M 的坐标为(1, 1) 或(1, 2) 或 或
【分析】（1）由点 A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的 一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点；
（2）设抛物线与 x 轴的另一个交点为点 B，连接BC 交抛物线对称轴于点 P，此时 △PAC 的
最小值为AC + CP + AP = AC + CB ，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，
由点 B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛 物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 P 的坐标；
（3）设点 M 的坐标为(1, m) ，则 MA2 = (1+1)2 + m2 = 4 + m2 ，
MC2 = (1- 0)2 + (m - 3)2 = 1+ (m - 3)2 ，AC2 = 0 - (-1)2 + (3 - 0)2 = 10 ，分 ÐACM = 90。、
ÐAMC = 90。、 ÐCAM = 90。三种情况，利用勾股定理可得出关于 m 的一元二次方程或一元 一次方程，解之可得出 m 的值，进而即可得出点 M 的坐标．
【详解】（1）解：由题意知，将 A(-1, 0) ，C (0, 3) 代入y = -x2 + bx + c 中， 得 解得： ，
:抛物线的解析式为y = -x2 + 2x + 3 ，
将抛物线的一般解析式转化为顶点式为y = -x2 + 2x + 3 = - (x -1)2 + 4 ， 当 x = 1 时， y = 4 ，
:抛物线的顶点坐标为(1, 4) ．
（2）解：存在，
如图，设抛物线与 x 轴的另一个交点为点 B，连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，此时 △PAC 的最小值为AC + CP + AP = AC + CB ，
当y = 0 时，有-x2 + 2x + 3 = 0 ，
解得：x1 = -1 ，x2 = 3 ，
:点 B 的坐标为(3, 0)，
:抛物线的解析式为y = -x2 + 2x + 3 = - (x -1)2 + 4 ，
:抛物线的对称轴为直线x = 1 ，
设直线BC 的解析式为y = kx + b (k ≠ 0)， 将B(3, 0) 、C (0, 3) 代入y = kx + b 中， 得： 解得 ，
:直线BC 的解析式为y = -x + 3 ，
∵当x = 1 时，y = -x + 3 = 2 ，
:当 △PAC 周长最小时，点 P 的坐标为(1, 2) ．
（3）解：如图，设点 M 的坐标为(1, m) ，
由勾股定理得，MA2 = (1+1)2 + m2 = 4 + m2 ，
MC2 = (1- 0)2 + (m - 3)2 = 1+ (m - 3)2 ， AC2 = 0 - (-1)2 + (3 - 0)2 = 10 ，
此时分三种情况考虑：
①当 ÐACM = 90。时，有AM2 = AC2 + CM2 ，即 4 + m2 = 10 +1+(m - 3)2 ， 解得：
:点 M 的坐标为 ，
②当 ÐAMC = 90。时，有AC2 = AM 2 + CM2 ，即10 = 4 + m2 +1+ (m - 3)2 ， 解得：m1 = 1 ，m2 = 2 ，
:点 M 的坐标为(1,1) 或(1, 2) ，
③当 ÐCAM = 90。时，有CM2 = AM 2 + AC2 ，即1+(m - 3)2 = 4 + m2 +10 ，
解得： ，
:点 M 的坐标为 ，
综上所述，当△MAC 是直角三角形时，点 M 的坐标为(1,1) 或(1, 2) 或 或(çè 1, - ． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴 上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用．