2025-2026学年山东省威海市文登区三校联考八年级上册12月月考数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年山东省威海市文登区三校联考八年级上册12月月考数学试卷 [附答案]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下面是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各组式子中，没有公因式的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．在，，，，，中，是分式的有（ ）．
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
5．若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数的值不可能是（ ）
A．4B．C．0D．9
6．若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
7．计算的值为（ ）．
A．B．C．D．
8．下列结论：①无论为何实数，都有意义；②当时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且．其中错误的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．下列说法中正确的有（ ）
①描述一组数据的平均数只有一个；
②描述一组数据的中位数不仅仅有一个；
③描述一组数据的众数只有一个；
④描述一组数据的平均数、中位数和众数都一定是这组数据里的数；
⑤一组数据中的一个数大小发生了变化，一定会影响这组数据的平均数、众数和中位数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．则甲，乙两港之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如果把分式：中的都扩大10倍，那么分式的值 ．
12．对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则 ， ．
13．若的三边长a，b，c满足，则是 三角形．
14．若是一个完全平方式，则 ．
15．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是 ．
16．一组数据，，的平均数是90，方差是13.5，则，，，的平均数是 ，方差是 ．如果这组数据再加上一个数90，那么这11个数的方差 （“变大”、“变小”或者“不变”）？
三、解答题
17．因式分解：
（1）
（2）
（3）
18．计算：
（1）
（2）．
（3）化简求值．先化简：，然后从0，1，2，3中选择你喜欢的值．
19．解方程：
（1）
（2）
20．若关于的分式方程的解为整数，关于的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数的值之和．
21．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
22．2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Lg和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元．
（1）该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？
23．我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如，；，，……，请用观察到的规律解方程，该方程解是多少？
24．阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知，所以，即．
所以．
故的值为．
（1）上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：，求的值．
（2）已知，，，求的值．
25．【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式①___________．
【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）
根据图3中的几何体的体积和图4中几何体的体积得到关于的等式为___________．（结果写成整式的积的形式）
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、符合因式分解的定义，故此选项符合题意，
B、是整式乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意，
C、，分解错误，故此选项不符合题意，
D、，分解错误，故此选项不符合题意，
故选A．
2．【正确答案】A
【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可．
【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意；
、，，有公因式，此选项不符合题意，排除；
、与有公因数，此选项不符合题意，排除；
、，，有公因式，此选项不符合题意，排除；
故选．
3．【正确答案】B
【分析】根据分式的定义判断即可．
【详解】解：，，的分母中都含有字母，都是分式，
故选B．
4．【正确答案】D
【分析】直接判断分子和分母在因式分解后有没有公因式即可．
【详解】解：A选项中分子和分母有公因式，所以A选项不符合题意；
B选项中分子和分母有公因式，所以B选项不符合题意；
C选项中分子和分母有公因式x，所以C选项不符合题意；
D选项中的分子和分母没有公因式，所以D选项符合题意；
故选D．
5．【正确答案】C
【分析】本题考查了平均数与中位数的定义，通过分类讨论x在不同取值范围时中位数的值，令平均数等于中位数，解方程得到x的可能值，从而找出不可能的值．
【详解】平均数为，
当时，排序后中位数为3，
根据题意得，，
解得，符合条件；
当时，中位数为x，
根据题意得，，
解得，符合条件；
当时，中位数为5，
根据题意得，，
解得，符合条件．
∴x的可能值为、4、9．
选项中0不在其中，故x的值不可能是0．
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：
，
能被3整除，
∴的值总能被3整除，
故选B．
7．【正确答案】C
【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【详解】原式，
，
，
，
故选C．
8．【正确答案】D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，分式的除法运算，分式值为0的条件以及分式值的符号判断．①中要求；②中分母为0时无意义；③需排除；④分式有意义则分母不为0．
【详解】∵①中要求，时无意义，∴①错误；
∵②当时，分母，分式无意义，∴②错误；
③，
∵，当时，需即，但时分式为0不为负，
∴结论漏，∴③错误；
∵ ④有意义需分母不为0，即且，，
∴且，，∴④错误．
∴错误的个数是4．
故选D．
9．【正确答案】A
【分析】本题考查平均数、中位数和众数的基本概念，需理解其唯一性和是否属于原数据．
根据平均数、中位数和众数的定义，逐一判断各说法的正误．
【详解】∵平均数是通过所有数据之和除以数据个数得到的，对于一组数据，平均数唯一，∴ ①正确；
∵中位数是将数据排序后位于中间的数（或中间两数的平均数），对于一组数据，中位数唯一，∴ ②错误；
∵众数是出现次数最多的数据，一组数据中众数可能有多个，∴ ③错误；
∵平均数和中位数不一定为原数据中的数（如数据1，3的平均数为2，2不在原数据中），而众数必为原数据中的数，∴ ④错误；
∵数据变化后，平均数一定改变，但众数和中位数可能不变（如变化非众数数据或中间位置数据未变），∴ ⑤错误．
综上，只有①正确，故正确的个数为1个．
故选A．
10．【正确答案】D
【分析】本题有两个等量关系： ①平时逆水航行时间：顺水航行时间； ②雨天逆水航行时间+顺水航行时间，同时顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，再列方程，解方程即可．
【详解】解：设甲、乙两港相距，水流速度平时速度为． 根据平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，得：
∴，即，
解得：，经检验，符合题意且符合实际应用，
∵某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．
∴，
解得：．
答：甲，乙两港相距．
故选D．
11．【正确答案】不变
【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是根据分式基本性质分析分子分母的变化．
将和都扩大10倍后，代入分式计算，分子和分母均扩大100倍，比值不变．
【详解】∵将中的都扩大10倍，
∴扩大后分式为，
与原分式相等，故分式的值不变．
12．【正确答案】0；
【分析】此题主要考查了分式值为零的条件和分式无意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
根据分式无意义的条件，当时，分母为零；根据分式值为零的条件，当时，分子为零．分别代入得到关于a和b的方程，解方程组即可．
【详解】∵对于分式，当时，分式的值为零，
∴
∴，
∴，
∵当时，分式无意义，
∴
∴
∴联立①②得，
解得．
13．【正确答案】等腰
【分析】本题考查因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
将方程移项后因式分解，得到，根据三角形三边为正，得出，进而求解即可．
【详解】∵
∴
∴
∴
∵a，b，c是的三边长
∴
∴
∴
∴是等腰三角形．
14．【正确答案】或者
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
根据完全平方式的结构，常数项可表示为，因此中间项系数应与相等，从而求解．
【详解】∵
∴
解得或．
15．【正确答案】
【分析】此题考查了已知分式方程的解求参数，
设“？”代表的数为m，将分式方程转化为整式方程，利用增根使分母为零且满足整式方程的性质，代入求解m．
【详解】设“？”代表的数为m，则原方程为．
去分母得，
∵方程的增根是，
∴把代入得，
∴
16．【正确答案】190；121.5；变小
【分析】此题考查了平均数和方差，利用平均数和方差的计算方法求新数据的平均数和方差；通过计算加数后的新方差与原方差比较变化．
【详解】∵一组数据，，的平均数是90，
∴
∴
∴，，，的平均数是190；
∵一组数据，，的方差是13.5，
∴
∴
∴
∴，，，的方差是121.5，
如果这组数据再加上一个数90，
∴平均数为
∴
∴这11个数的方差变小．
17．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．
（1）先根据平方差公式分解因式，再计算两括号里的加减，最后提取公因式即可；
（2）先计算多项式的乘法，再根据完全平方公式分解因式即可；
（3）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
18．【正确答案】（1）
（2）
（3）；当时，原式
【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值．
（1）先计算乘方，再计算乘除即可；
（2）先计算括号里的加减，再计算除法，最后合并同类项即可；
（3）先计算除法，再计算加法，最后选取符合要求的的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
可知，即，
当时，原式．
19．【正确答案】（1）
（2）无解
【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．注意：解分式方程要检验．
（1）方程两边同时乘，化简并求出x的值，再检验即可．
（2）方程两边同时乘，化简并求出x的值，再检验即可．
【详解】（1）解：，
方程两边同时乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴原方程的解为；
（2）解：，
方程两边同时乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴原方程无解．
20．【正确答案】
【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键．
先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解．
【详解】解：分式方程可化为：，
解得：，
∵分式方程的解为整数，
∴为2的倍数，即m为奇数，
解不等式组，得，
∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，
∴不等式组的偶数解为：2，0，
，
解得：，
满足条件的整数m的值为、、，
当时，，此时分式无意义，不合题意，
，
21．【正确答案】（1）7.5，7，
（2）见详解
【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数．
（1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可；
（2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
（分），
（分），
，
故7.5，7，；
（2）解：小祺的观点比较片面．
理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
22．【正确答案】（1）第一批进价40元，第二批进价50元
（2）元
【分析】本题考查分式方程的实际应用及不等式的实际应用，解应用题时需要理清楚数量关系，找到合适的量设未知数，根据题意列出方程或不等式，注意分式方程求解需要检验．
（1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，根据两次购买数量关系列分式方程求解即可；
（2）设每件T恤衫的标价是y元，通过利润率不低于列不等式，求解范围即可．
【详解】（1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元；
由题意得，
解得，
经检验为分式方程的解且符合题意，
，
答：购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T恤衫每件的进价是50元；
（2）设每件T恤衫的标价是y元，
第一次购进件，第二次购进件，
利润为：，
利润率不低于，
则
解得，
答：每件T恤衫的标价至少是元．
23．【正确答案】
【分析】本题考查解分式方程，根据规律化简方程，然后解分式方程即可．
【详解】解：
原方程化简为：，
即，
方程两边同乘，
得：，
解得．
经检验是原方程的解，
∴原方程的解为．
24．【正确答案】（1）；
（2）．
【分析】本题主要考查运用“倒数法”求分式的值以及分式的混合运算，
（1）根据材料提示的“倒数法”将变形为，由此即可求解；
（2）将，，利用“倒数法”变形为，，，将利用“倒数法”变形为，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
∴，即，
∵的倒数为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
故．
25．【正确答案】【知识再现】；【知识迁移】
【分析】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解．
[知识再现]根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出；
[知识迁移]图3的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图4的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式．
【详解】解：[知识再现]：图1阴影部分的面积为、图2阴影部分的面积为，
∴可以得到一个关于的等式.
[知识迁移]：如图3中的几何体的体积为；
图4的几何体体积为；
根据它们的体积关系得到关于的等式为.
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
优秀率
甲组
7.625
a
7
4.48
乙组
7.625
7
b
0.73
c