河北省安国市实验学校2025~2026学年九年级上册第二次月考数学试题【附解析】

这是一份河北省安国市实验学校2025~2026学年九年级上册第二次月考数学试题【附解析】，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
2．将二次函数化为的形式，结果为( )
A．B．C．D．
3．如图，在平面直角坐标系中，从原点引一条射线，设这条射线与轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，点、、都在函数的图象上，则（ ）
A．B．
C．D．
5．抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
由表可知，抛物线与轴的一个交点的坐标是，则抛物线与轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
7．在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在四边形中，，，，，．动点M，N同时从点A出发，点M以的速度沿向终点B运动，点N以的速度沿折线向终点C运动．设点N的运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．．
10．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的函数关系式为 ．
11．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
12．二次函数的部分图象如图所示．图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题
13．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度且点A，B，C，D，E在同一平面内．小明同学测得古塔AB的高度是多少？
14．近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点，的水平距离为6米．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5米，车厢的最高点与遮阳棚接触点离地面约2.36米．请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方．
15．某公司推出一款每盒成本为100元的农特产礼盒，当每盒售价为150元时，每天可销售300盒，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒售价每降低1元，每天销量可增加10盒．设每盒售价降低元时，公司销售该礼盒每天所获利润为元．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若要满足降价后每盒的利润不低于10元，且不高于30元，则当每盒售价降低多少元时，公司每天所获利润最大？最大利润为多少元？
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查了三角函数的基本定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，，设，则，根据计算即可．
【详解】解：构造直角三角形如下：
根据题意，得，
设，
则，
∴，
故选A．
2．【正确答案】D
【分析】本题主要考查二次函数一般式与顶点式的转化，掌握配方法是解题的关键．
由于二次项系数为1，直接使用配方法，加上一次项系数一半的平方，将一般式转化为顶点式．
【详解】∵
∴
∴
故选D．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查了正弦的定义、勾股定理、点的坐标，由图可得，点的坐标为，由勾股定理得出，再由正弦的定义即可得解．
【详解】解：由图可得，点的坐标为，
∴，
∴，
∴这条射线是，
故选B．
4．【正确答案】A
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为y轴，根据在对称轴的左侧，y随x的增大而增大即可判断纵坐标的大小．
【详解】∵二次函数y＝−x2，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x＝0，即y轴．
∵a＜−1，
∴a−1＜a＜a＋1＜0，
∵在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴．
故选A．
5．【正确答案】C
【分析】本题考查抛物线的对称性．根据表格，确定对称轴，再根据对称性求出抛物线与坐标轴的另一个交点坐标即可．
【详解】解：由表格可知，和的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为：，
∵抛物线与轴的一个交点的坐标是，
∴另一个交点的坐标为，即；
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．
由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可．
【详解】解：由题意得，四边形是矩形，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
故选B．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可．
【详解】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意，
A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意；
C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意；
故选D．
8．【正确答案】B
【分析】先求出AB=cm，可知M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒.分三种情况讨论:（1）当N在AD上时,即0＜t≤2,画出图形求解; （2） 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3, 画出图形求解; （3）当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5, 画出图形求解.即可选出正确答案.
【详解】解: ∠A=45°，CD=3cm，
AB==cm,
∴M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒,
下面分三种情况讨论:
（1）当N在AD上时,即0＜t≤2,如图1,
作ME⊥AD于E,
可知AN=2t,AM=,
∴EM=t,
∴
故此段图象是一条开口向上的抛物线;
（2） 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3,如图2,
作MF⊥CD于F,延长AB与DC的延长线交于O,
可知DN=2t-4,AM=,OD=4,OA= ,
∴ON=4-DN=8-2t,OM=,
∴MF=4- t,
∴,
,
,
∴,
故此段图象是一条开口向下的抛物线;
（3）当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5,如图3,
可知BC=1,DN=2t-4,
∴CN=3-DN=7-2t ,
∴,
,
,
∴,
故此段图象是一条呈下降趋势的线段;
综上所述,答案是B.
9．【正确答案】
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值是关键．将特殊角的三角函数值代入表达式并计算．
【详解】解：，，，
所以
．
10．【正确答案】
【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”进行变换．
【详解】解：原抛物线为，
向右平移3个单位，得，
再向下平移2个单位，得.
11．【正确答案】/
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米.
12．【正确答案】①③④
【分析】本题主要考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
故①正确；
由图知，当时，，即，
∴，
故②错误；
由图知，抛物线开口向下，对称轴为，
∴抛物线有最大值为，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵图象过，
∴，
∴，
∴，
故④正确．
综上所述，正确的有①③④．
13．【正确答案】
【分析】作于点，于点，先根据矩形的判定与性质可得，，再根据坡度的定义可得，设，则，利用勾股定理建立方程可求出的值，从而可得的长，然后在中，解直角三角形可得的长，最后根据即可得．
【详解】解：如图，作于点，于点，
由题意得：，
则四边形是矩形，
∴，，
∵斜坡坡度，
，
设，则，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：小明同学测得古塔的高度是．
14．【正确答案】（1）
（2）不可以，计算说明见详解
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数的综合问题，正确进行计算是解题关键．
（1）设抛物线的顶点式，再将点代入可得答案；
（2）设点，再代入关系式求出x，比较可得答案．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
根据题意知，顶点坐标为，
∴抛物线的函数关系式为，
∵点A的坐标为，
∴，
解得，
所以抛物线的函数关系式为；
（2）解：不可以，
设点，
，
解得，，
∴，
所以这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚正下方．
15．【正确答案】（1）
（2）
当每盒售价降低20元时，公司每天所获利润最大，最大利润为15000元
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润公式列出函数关系式，结合二次函数的性质求解最值．
（1）根据“利润每盒利润销量”，分别表示出降价后的每盒利润与销量，进而列出函数关系式．
（2）先根据每盒利润的范围确定的取值范围，再根据二次函数的单调性求出该范围内的最大利润．
【详解】（1）解：每盒利润为元，销量为盒，
则，
展开得：．
（2）解：由“降价后每盒利润不低于10元，且不高于30元”，
得，解得．
，
因为，抛物线开口向下，在时，随的增大而减小，
故当时，最大，
答：当每盒售价降低20元时，公司每天所获利润最大，最大利润为15000元．
…
0
2
4
…
…
1
0
…