河北省保定市安国市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

这是一份河北省保定市安国市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题，共35页。试卷主要包含了本试卷共6页等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1．本试卷共6页．
2．答题卡上选择题用2B铬笔填涂、综合题用黑色碘素笔在规定范围内书写．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风—液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同D. 三种视图都不相同
2. 比较，，的大小关系是（ ）
A B.
C. D.
3. 已知⊙O的直径为6，点P到圆心O的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 无法确定
4. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）

A. 变小B. 不变C. 变大D. 无法判断
5. 如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ）
A B.
C. D.
7. 若为方程的一个解，则代数式的值为（ ）
A. 2007B. 2019C. 2025D. 2026
8. 一块三角形板，，，测得边中心投影长为，则边的中心投影的长为（ ）
A. B. C. D.
9. 三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为，，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（ ）
A.
B. 小长方形的周长为
C. 与周长和恰好等于长方形的周长
D. 只需知道和的值，即可求出与的周长和
10. 如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或或
11. 玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品，如图1所示，古语有“君子无故，玉不去身”，到现在人们也仍将谦谦君子喻为“温润如玉”．如图2，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
12. 已知二次函数的图象的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，．其中正确的结论有（ ）
A. ①②③B. ②③⑤C. ②③④⑤D. ②③④
二、填空题（本大题4个小题，每小题3分，共12分）
13. 在锐角中，若，则的度数是________．
14. 如图，点为正八边形的中心，则的度数为______．
15. 如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则_________．
16. 如图，P是矩形的对角线上一点，，，于点E，于点F．连接，，则的最小值为_____．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在二次函数中，x与y的几组对应值如表所示．
（1）求二次函数的表达式，并直接写出图象的顶点坐标；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
18. 现有三张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，0，2，把这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机地取一张卡片，抽取的卡片上的数字为非正数的概率为_______；
（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，用列表法或画树状图法求出点A在反比例函数图象上的概率．
19. 为了测量学校旗杆上旗帜的宽度，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，，小红在C处竖立一根标杆，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在上），米，米，米；小明手持自制直角三角纸板（），其中米，米，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，，米，米，请你根据上述信息求出旗帜的宽度．
20. 某商店经营儿童益智玩具，已知购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨2元，月销售量就减少20件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
21. 为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”如图，在药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；在药物释放完毕后，y与x成反比例关系（图中段），已知点A，B的坐标分别为和．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由．
22. 如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，求证：是的切线；
（3）若，，求弧的长．
23. 如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是．
①求点A横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由．
（3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______．
24. 新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．则线段和叫做垂美线段．
某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题：
（1）如图2，E、F、G分别是正方形的边、、上的点，于H，则垂美线段与之间的数量关系是__（直接写出结论，不证明）；
（2）如图3，在矩形中，，，点E，F，G分别在、，上，且，请探究垂美线段与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得，量得米，，，且，点E、F分别在边、上，求的值．
…
0
1
…
…
1
…
2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测
九年级数学试卷
注意事项：1．本试卷共6页．
2．答题卡上选择题用2B铬笔填涂、综合题用黑色碘素笔在规定范围内书写．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风—液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同D. 三种视图都不相同
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可．
【详解】解：东风洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同．
故选：B．
2. 比较，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键．
利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可．
【详解】解：，
又在锐角范围内，余弦函数递减，且，
，
即．
，且正切函数在锐角范围内递增，，
，
又∵（余弦函数递减，），
，
综上，．
故选：D．
3. 已知⊙O的直径为6，点P到圆心O的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据点P到圆心的距离和圆的半径大小比较就可以得到结果
【详解】解：⊙O的直径为6，则半径为3，点P到圆心O的距离为5，5>3
点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外
故选C
本题考查了点和圆的位置关系，掌握是点和圆的位置关系解题的关键．点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
4. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）

A. 变小B. 不变C. 变大D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案．
【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，

理由是：连接OP，设
∵∠AOB=90°，PAB中点，AB=2a，
∴OP=AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
故选：B．
此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5. 如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，根据直角所对的圆周角是直角得到的度数，则可求出的度数，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
由顶点坐标可设抛物线解析式为，再根据抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同可得得到即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
∵抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，
∴，
∴抛物线的解析式为．
故选：D．
7. 若为方程的一个解，则代数式的值为（ ）
A. 2007B. 2019C. 2025D. 2026
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键．
将代入方程得到，代入所求代数式求解即可．
【详解】解：∵为方程的一个解，
∴，即，
∴
．
故选：D．
8. 一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心投影下的相似性质，解题的关键是确定对应线段的相似比．
【详解】解：由中心投影的性质，对应线段的比相等，即．
已知，，则相似比为；
又，故．
故选：C．
9. 三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为，，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（ ）
A.
B. 小长方形的周长为
C. 与的周长和恰好等于长方形的周长
D. 只需知道和的值，即可求出与的周长和
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，根据题意和图形，正确列出代数式是解决本题的关键．
根据图形中各边之间的关系，即可一一判定．
【详解】解：由图可知：，，故A不正确；
小长方形的周长为：，故B不正确；
与的周长和为：
，
长方形的周长为：，
故与的周长和不等于长方形的周长，故C不正确，
故只需知道和的值，即可求出与的周长和，故D正确，
故选：D．
10. 如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为，再求出抛物线与正方形边长另一个交点为，再根据直线过定点，结合函数图象解题即可．
【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为，
∵正方形的顶点坐标分别为，
∴，
∵抛物线经过点，顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，
把代入得到，解得，
∴抛物线解析式为，
当时，解得，
，
∵直线，
∴直线过定点，
当时，
∴直线与必有两个交点，
∵将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象，直线与图象有唯一交点，
∴当时，抛物线过，即，解得，
当时，抛物线过，即，
解得：，
综上所述，或，
故选：A．
11. 玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品，如图1所示，古语有“君子无故，玉不去身”，到现在人们也仍将谦谦君子喻为“温润如玉”．如图2，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．根据圆周角定理由得为的直径，即，根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．
【详解】解：∵，
∴为的直径，即，
∴，
∴，
故选：C．
12. 已知二次函数的图象的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，．其中正确的结论有（ ）
A. ①②③B. ②③⑤C. ②③④⑤D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的图象及性质逐项判断即可．
【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线，
∴，即，故②正确；
∴，故①错误；
由图象可知：当时，则有，故③正确；
若m为任意值，当时，则，
当时，y有最小值，最小值为，
∴，
∴，
∴，故④错误；
方程的两根可看作是直线与二次函数的交点的横坐标，如图，
∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
∴二次函数也过点，
∴方程的两个根分别为，
∴；故⑤正确；
综上所述：正确的有②③⑤；
故选：B．
二、填空题（本大题4个小题，每小题3分，共12分）
13. 在锐角中，若，则的度数是________．
【答案】##75度
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，利用非负数的性质求出和的值，再根据特殊角的三角函数值求出和的度数，最后利用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，，
∵锐角 ，
∴、为 锐角，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，点为正八边形的中心，则的度数为______．
【答案】##22.5度
【解析】
【分析】连接OA、OB，根据正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：作正八边形的外接圆，连接OA、OB，如图：
∴，
由圆周角定理得：
；
故答案为：．
本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的圆心角的求法、圆周角定理是解题的关键．
15. 如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求出的坐标是解此题的关键．
过作轴于，得出，则根据菱形的性质得出是的中点，求得的坐标，进而求得的坐标，由反比例函数的图象经过点即可求出的值．
【详解】解：过作轴于，
∵，
则，
设，
则，
∵四边形是菱形，
∴是的中点，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
∵反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
16. 如图，P是矩形的对角线上一点，，，于点E，于点F．连接，，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质．
连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
，，
∴，
四边形是矩形，
，
的最小值即为的最小值，
当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，
四边形是矩形，，，
，
的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在二次函数中，x与y的几组对应值如表所示．
（1）求二次函数的表达式，并直接写出图象的顶点坐标；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
【答案】（1），顶点坐标为
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、画二次函数的图象等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解函数表达式，然后利用配方法把表达式变形为顶点式，即可确定顶点坐标，
（2）利用表格数据描点、连线可画出函数图象．
【小问1详解】
解：把点代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，
画出函数图象如图：
18. 现有三张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，0，2，把这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机地取一张卡片，抽取的卡片上的数字为非正数的概率为_______；
（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，用列表法或画树状图法求出点A在反比例函数图象上的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求概率，反比例函数图象上点的坐标特征，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵数字，0，2，
∴非正数有，0，
∴随机地取一张卡片，抽取的卡片上的数字为非正数的概率，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图，
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，点在反比例函数图象上的结果数有，两种，
∴点在反比例函数图象上的概率是．
19. 为了测量学校旗杆上旗帜的宽度，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，，小红在C处竖立一根标杆，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在上），米，米，米；小明手持自制直角三角纸板（），其中米，米，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，，米，米，请你根据上述信息求出旗帜的宽度．
【答案】1.3米
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
延长交于Q，则，，证明和，可得和的值，最后由线段的和差可得结论．
详解】解：如图，延长交于Q，则，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，
同理得：，
∴，即，
解得，
∴ (米)．
答：旗帜的宽度是1.3米．
20. 某商店经营儿童益智玩具，已知购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨2元，月销售量就减少20件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【答案】（1），自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数
（2）每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元
（3）每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元
【解析】
【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为元，月销售量为件，然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把时代入中，求出x的值即可．
（3）把化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
【小问1详解】
依题意得
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数
【小问2详解】
当时，得，
解得（不合题意，舍去）．
当x=2时，30+x=32．
∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元
【小问3详解】
∵a=-10＜0
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5．
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x=6时，30+x=36，y=2720，
当x=7时，30+x=37，y=2720．
∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元
本题考查的是一元二次函数在利润型问题中的实际应用，能够依据题意列出函数关系式，并熟练解二次方程及求二次函数最值是解题关键．
21. 为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”如图，在药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；在药物释放完毕后，y与x成反比例关系（图中段），已知点A，B的坐标分别为和．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由．
【答案】（1）
（2）这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：，利用待定系数法求解；
（2）将分别代入和求得x的值，作差比较即可解答．
【小问1详解】
解：当时，设y与x的函数关系式为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
当时，设y与x的函数关系式为：，
则，
∴，
∴y与x的函数关系式为，
综上所述：y与x的函数关系式为．
【小问2详解】
解：将代入得：，解得：，
代入得，解得：．
∵，
∴这次“药熏消毒”是有效消毒．
22. 如图，中，，以上一点O圆心过点A作，交于点D．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，求证：是的切线；
（3）若，，求弧的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出即可；
（3）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，根据弧长公式即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求：
【小问2详解】
证明：连接，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
，
，
的长为．
本题考查了切线判定，线段的垂直平分线的画法及性质，等边对等角，弧长公式，三角形的内角和定理等知识点，解题关键是掌握切线的判定方法，线段垂直平分线的性质．
23. 如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是．
①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由．
（3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______．
【答案】（1）
（2）①8；②不经过点，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点问题等知识，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键．
（1）根据题意，利用二次函数的顶点式求解抛物线L的解析式即可；
（2）①令（1）中解析式的，解方程即可求得点A的横坐标；
②求反弹后抛物线的解析式，取，求得对应的y值即可作出判断；
（3）求得抛物线L与直线的交点D坐标，进而求得反弹后的抛物线的解析式，进而求得反弹后抛物线与直线的交点的横坐标，进而可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，设抛物线L的解析式为，
将代入，得，解得，
∴抛物线L的解析式为；
【小问2详解】
解：①令，由得，，
∴点A的横坐标为8；
②反弹后的小球不经过点，理由为：
∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同，且最大高度是，
∴反弹后的抛物线的解析式为，
由①得，代入解析式中，得，
解得或（舍去），
∴设反弹后的抛物线的解析式为，
当时，，
∴反弹后的小球不经过点；
【小问3详解】
解：联立方程组，解得 （舍去），，
∴点D坐标为，
由题意，设反弹后的抛物线解析式为，
将代入，得，
解得，（不合题意，舍去），
∴反弹后的抛物线解析式为，
联立方程组，解得（舍去），，
∴反弹后抛物线与挡板交点的横坐标为10，
∴挡板端点横坐标取值范围为，
故答案为：．
24. 新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．则线段和叫做垂美线段．
某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题：
（1）如图2，E、F、G分别是正方形的边、、上的点，于H，则垂美线段与之间的数量关系是__（直接写出结论，不证明）；
（2）如图3，在矩形中，，，点E，F，G分别在、，上，且，请探究垂美线段与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得，量得米，，，且，点E、F分别在边、上，求的值．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据四边形是正方形，得出，过点F作于P，则四边形是矩形，得出，证明，即可得．
（2）如图3，平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上，则四边形是矩形．得出，，证明，得出，结合，，即可求出．
（3）根据，得出，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，结合，，得出，设，则．求出．根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：．
理由：∵四边形是正方形，
∴，
过点F作于P，
则四边形是矩形，
∴，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【小问2详解】
证明：，
理由如下：
如图3平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上，
则四边形是矩形．
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【小问3详解】
解：如图，过点D作，过点A作交于点H，延长交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
设，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
化简得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴．
同（2）得：．
该题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
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