天津市南开区2025~2026学年九年级上册第二次月考数学试题【附解析】

这是一份天津市南开区2025~2026学年九年级上册第二次月考数学试题【附解析】，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为的篱笆围成．已知墙长为，若平行于墙的一边长不小于，设这个苗圃园的宽为，面积为，则与之间的函数表达式为（ ）

A．，B．，
C．，D．，
3．把二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列命题中，是假命题的为（ ）
A．底角相等的两个等腰三角形都相似
B．顶角相等的两个等腰三角形都相似
C．一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则它的角平分线也扩大为原来的5倍
D．一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，则它的面积也扩大为原来的9倍
5．二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是B．当时y随x增大而减小
C．有最大值D．顶点坐标是
6．一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，如果，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠1
8．如图，点M是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，MN⊥y轴于点N．若P为x轴上的一个动点，则△MNP的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．无法确定
9．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
11．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为⊙O的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（ ）
A．寸B．13寸C．25寸D．26寸
12．已知点都在反比例函数（k为常数，）的图象上，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
13．如图，若⊙O是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为（ ）
A．B．C．D．
14．如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ）

A．B．C．D．
15．如图，抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论中（ ）
①；②；③是抛物线上两点，则；
④若关于x的一元二次方程没有实数根，则；
⑤对于任意实数m，总有．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
16．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A．B．3C．2D．
二、填空题
17．关于 x 的方程（ m﹣3）﹣x+9=0是一元二次方程，则m= ．
18．设，是方程的两个实数根．若，则 ．
19．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A点，当函数值时，x的取值范围是 ．
20．如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
21．已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
22．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是 ．
23．已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为 ．
24．如图，．则图中相似三角形有 对，与的相似比是 ， ．
25．如图，的半径是2，是的弦，点C在外，连接．若∠B＝30°，∠ACB＝90°，则OC长的最大值为 ．
26．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，是圆的内接三角形，顶点B，C在格点上．
（1）的长等于 ；
（2）E是线段与网格线的交点，P是外接圆上的动点，点F在线段PB上，且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的 ．（不要求证明）
三、解答题
27．在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同）．
（1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率．
（2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数．
28．在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．

（1）如图①，求和的大小；
（2）如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长．
29．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转得，点A、O旋转后的对应点为、，记旋转角为α．
（1）如图1，若，则 ，并求的长；
（2）如图2，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，边上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，直接写出点的坐标．
30．已知抛物线（a，b，c为常数，，）与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，点在线段（点除外）上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
（1）当时，
①若点的坐标为，求该抛物线顶点的坐标；
②若，且点在抛物线上，求抛物线的解析式；
（2）当时，点为第一象限的动点，，连接．当取得最小值，且点在抛物线上时，求的值．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键．
【详解】解：A.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
B.符合中心对称图形的定义，故此项符合题意；
C.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
D.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
故选B．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各边之间的关系，可得出，利用矩形的面积公式，可得出关于的函数关系式，再结合“墙长为，且平行于墙的一边长不小于”，即可求出的取值范围．根据各数量之间的关系，找出与的函数关系式是解题的关键．
【详解】解：篱笆的总长为，，
．
根据题意得：．
墙长为，且平行于墙的一边长不小于，
，
，
与之间的函数表达式为．
故选．
3．【正确答案】C
【分析】根据左加右减，上加下减的平移原则解答即可．
本题考查了抛物线的平移，熟练掌平移规律是解题的关键．
【详解】解：根据左加右减，上加下减的平移原则，得．
故选C．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查判断命题的真假，熟记相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据相似三角形的判定和性质判断即可．
【详解】解：A、底角相等的两个等腰三角形都相似，是真命题，故此选项不符合题意；
B、顶角相等的两个等腰三角形都相似，是真命题，故此选项不符合题意；
C、一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则它的角平分线也扩大为原来的5倍，是真命题，故此选项不符合题意；
D、一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，则它的面积扩大为原来的81倍，故本选项命题是假命题，符合题意；
故选D．
5．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和顶点式．
根据二次函数的顶点式和性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：A.由二次函数顶点式得，对称轴是直线，该选项错误，不符合题意；
B.，
∴抛物线开口向下，
又∵对称轴为直线，
∴当时y随x增大而增大，该选项错误，不符合题意；
C. ，
∴抛物线开口向下，
∴顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值，为，该选项正确，符合题意；
D. 由二次函数顶点式得，顶点坐标是，该选项错误，不符合题意；
故选C．
6．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了圆的切线定理，切线长性质定理，直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．
利用切线的性质和切线长性质定理，证明得出对应角相等，再利用含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：由图可知，直线与相切，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
故选A．
7．【正确答案】C
【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选C
8．【正确答案】A
【分析】根据求解．
【详解】解：设点坐标为，
点在反比例函数图象上，
，
．
故选．
9．【正确答案】B
【分析】本题综合考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象与系数的关系．根据二次函数图象求出、、的正负是解决本题的关键．根据二次函数的开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点，判断出、、的正负，然后根据、、的正负去判断一次函数和反比例函数在坐标系中的位置即可．
【详解】解：由图可知，
，，，
∴，
即，
∵二次函数与轴有两个不同的交点，
∴，
∴一次函数经过一、二、四象限，
当时，，
∴反比例函数经过一、三象限．
故选B．
10．【正确答案】B
【分析】本题主要考查扇形的面积公式（为圆心角的度数，为半径），熟练地掌握扇形的面积公式是解题的关键．设扇形的圆心角为，根据扇形的面积公式解方程即可．
【详解】设扇形的圆心角为，根据题意可得：
，
解得，即扇形的圆心角为，
故选B．
11．【正确答案】D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识点，连接，设圆的半径是x寸，根据垂径定理得出寸，在中，寸，，在中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径的长，正确作出辅助线是关键．
【详解】解：连接，设圆的半径是x寸，
∵弦，寸，
∴寸，
在中，寸，，
∵，
则，
解得：，
则（寸）．
故选D．
12．【正确答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，熟记反比例函数的增减性是解题的关键．
先判断出反比例函数图象在第二、四象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而增大判断．
【详解】解：，
反比例函数为常数，的图象在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大．
，，
，在第二象限．
，
．
在第四象限，
．
综上，．
故选B．
13．【正确答案】A
【分析】本题考查了正多边形和圆，找出圆内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．由圆与正方形和正六边形性质知，正方形边长等于外接圆半径的倍，正六边形边长与外接圆半径相等，则结果可求．
【详解】解：
连接，如图所示：
设此圆的半径为R，
∵在正方形中，
,
则内接正方形的边长，
∵在正六边形中，
，
为等边三角形，
则内接正六边形的边长，
∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为，
∴正方形与正六边形的周长之比．
故选A．
14．【正确答案】A
【分析】如图，过点D作轴于点E，证明是等边三角形，即得出，，从而可求出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】如图，过点D作轴于点E，

∵，
∴．
由旋转的性质可知，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选A．
15．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可．
【详解】解：①由抛物线开口向上得，；由对称轴位于轴的右侧得，符号相异，；由抛物线与轴交于负半轴得，；∴，该选项正确，符合题意；
②由对称轴为直线得，，，的对称点为，
当时，，该选项正确，符合题意；
③∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且，
∴，该选项错误，不符合题意；
④由②得，
，
将代入上式得，，
解得，
由关于x的一元二次方程没有实数根，结合图象得，
，
即，
解得，
又因为抛物线开口向上，
∴，该选项正确，符合题意；
⑤∵抛物线开口向上，
∴顶点为最低点，顶点纵坐标为最小值，
∴
即，该选项错误，不符合题意；
所以正确的选项是①②④，
故选B．
16．【正确答案】A
【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得，
进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，，
∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴，
∴AD=4，AF=2，，
∴；
故选A．
17．【正确答案】-3
【分析】根据一元二次方程的定义可得m2-7=2，且m-3≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0，
解得：m=-3，
故答案为-3．
18．【正确答案】2
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴.
19．【正确答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系得出不等式的解集．
先联立解析式求出点的坐标，结合图象即可解答．
【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
，
解得，（不符合题意，舍去）
，
由图象可得，当函数值时，的取值范围是．
20．【正确答案】1
【分析】设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，求出的长，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于r的方程，即可求解．
此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，
则，，，
∵，
∴四边形是正方形，
设半径为r，，
，，，
，
，，
，
，
的内切圆的半径为1.
21．【正确答案】/120度
【分析】根据底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长以及弧长公式求解即可．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，
根据题意，得，
解得，
则圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为.
22．【正确答案】
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，
∴第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是.
23．【正确答案】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，，
∴当时，二次函数有最小值，
由，根据距离对称轴越远，函数值越大，
∴当时，，
∴当时，函数的取值范围为.
24．【正确答案】3；/；
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键；根据相似三角形的判定定理即可得到图中相似三角形的对数，再根据已知可求出与的相似比，证明四边形是平行四边形，得到，再利用相似三角形的性质即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴图中相似三角形有对；
∵，，
∴，
∴与的相似比是；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
25．【正确答案】/
【分析】当与交于点D时，连接，过点O作于E，连接，由圆周角定理得到，则可证明是等边三角形，得到，则E是的中点，，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，根据，可得当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为；，当直线与交于点D，在优弧上取一点T，连接，连接，过点O作于E，连接，根据圆内接四边形对角互补求出，则，同理可得，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，当与交于点D时，连接，过点O作于E，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为；
如图所示，当直线与交于点D，在优弧上取一点T，连接，连接，过点O作于E，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
则；
综上所述，得到最大值为.
26．【正确答案】；取格点D，连接与圆相交于点H，连接；圆与网格线的交点M，G，连接与相交于点O；连接并延长与圆相交于点P，点P即为所求．
【分析】本题主要考查网格与勾股定理，圆心的确定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合思想是关键．
（1）根据格点，运用勾股定理求解即可；
（2）根据题意得到当时，，当最大时，的值最大，当是直径时，的值最大，根据特点，用无刻度直尺确定圆心即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）如图所示，
在格点中取，格点，由格点特点得到，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，
∴当最大时，的值最大，
∴当是直径时，的值最大，
如图所示，取格点D，连接与圆相交于点H，连接；
圆与网格线的交点M，G，连接与相交于点O，则点O为圆心；
连接并延长与圆相交于点P，点P即为所求．
27．【正确答案】（1） ；（2）9个
【分析】（1）根据题意画出树状图后，数出可能的结果总数及两次摸到不同颜色球的结果数，再根据概率的意义可得解；
（2）设放入x个蓝球，再根据概率的意义得到方程，解方程后可以得解．
【详解】解：（1）如图所示，
共有6种可能结果，每种结果发生的可能性相等；
其中两次摸到不同颜色球包含其中4种结果，
所以两次摸到不同颜色球的概率为；
（2）设放入x个蓝球，
由题意，得： ，
解得： x=9，
经检验， x=9 是原方程的解，
所以，放入袋中的蓝球为9个．
28．【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）根据半径垂直于弦，可以得到，从而得到，结合已知条件即可得到，根据即可求出；
（2）根据，结合，推算出，进一步推算出，在中，，再根据即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，半径垂直于弦，

∴，得．
∵，
∴．
∵，
∴．
（2）解：如图，连接．
同（1）得．
∵在中，，
∴．
∴．
又，
∴．
∵与相切于点E，
∴，即．
在中，，
∴．
29．【正确答案】（1）10，
（2）
（3）
【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得，则可判定为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求的长；
（2）作轴于H，如图②，利用旋转的性质得，则，再在中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出和的长，然后利用坐标的表示方法写出点的坐标；
（3）由旋转的性质得，则，作B点关于x轴的对称点C，连接交x轴于P点，如图②，易得，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，接着利用待定系数法求出直线的解析式，从而得到点P的坐标，作于D，然后确定后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出和的长，从而可得到点的坐标．
【详解】（1）解：如图①，
∵点，点，
∴，
∴，
∵绕点B逆时针旋转，得，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
故10；
（2）解：作轴于H，如图②，
∵绕点B逆时针旋转，得，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：∵绕点B逆时针旋转，得，点P的对应点为，
∴，
∴，
作B点关于x轴的对称点C，连接交x轴于P点，如图②，
则，此时的值最小，
∵点C与点B关于x轴对称，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴，
∴，
∴，
作于D，
∵，
∴，
∴，，
∴，点的纵坐标为，
∴点的坐标为．
30．【正确答案】（1）①；②
（2）
【分析】（1）①由题意可得，，，代入抛物线，求解即可；
②根据可得，，可得，则为等腰直角三角形，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，根据可得，得到，根据，得到，再将、、代入抛物线，求解即可；
（2）由可得抛物线为，取点，连接，，根据题意可得，，得到，即在线段上运动，设；由，点为第一象限的动点可得点是在以为直径的半圆上运动，取，连接，，可得当取得最小值时，取得最小值，，由二次函数的性质可得当时，最小，此时点，代入抛物线，求解即可．
【详解】（1）解：①由题意可得，，，
∵，
∴，，
将，，代入抛物线可得
，解得，
即抛物线为，
即顶点坐标为；
②由①得，，则，即为等腰直角三角形，
分别过点，作的垂线，垂足分别为，，如下图：
则为等腰直角三角形，设，
由可得，，解得（负值舍去），
∴，，
由旋转的性质可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，即
将、、代入抛物线可得，
，解得，
即抛物线为；
（2）解：由可得抛物线为，
取点，连接，，
由题意可得，，，，
∴，
∴，即在线段上运动，
设直线为，将，代入可得，
，解得，即，
故设，
由，点为第一象限的动点，可得点是在以为直径的半圆上运动，
取，连接，，如下图：
则，
由三角形三边关系可得，，当、、共线时，取得等号，
则当取得最小值时，取得最小值，，
∵，开口向上，对称轴为，
∴当时，最小，即取得最小值，此时点，
将、代入抛物线可得，
，解得，
即．