广东省深圳实验学校初中部2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份广东省深圳实验学校初中部2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠﹣1B. x＞﹣1C. x≠1D. x≠0
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年某市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达75000辆，用科学记数法表示75000是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列说法中，正确是（ ）
A. “如果x、y是实数，那么”是随机事件
B. 为了了解人们保护水资源的意识，应当采用普查的调查方式
C. 分别写有三个数字的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为
D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，则甲组数据较稳定
6. 随着环保意识增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A. 当时， B. I与R的函数表达式是
C. 当时，D. 当时，则
8. 如图，用正方形纸片进行如下操作：
第一步：对折正方形纸片使得点和点重合，展开，折痕为，连接；
第二步：过点折叠纸片，使点落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点A、D分别落在边上，展开，折痕为、则矩形的宽长比（）为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15题）
9. 因式分解：____________．
10. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是_____________．
11. 如图，在中，，在同一平面内将绕点A旋转到位置，使得．则___________．
12. 已知四边形是矩形，，点是边的中点，连接和相交于点，若，则矩形的面积为___________．
13. 已知是等腰三角形且，点是的中点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，若，则___________．
三、解答题（共7小题，共61分）
14 计算：
15. 先化简，再将代入求值.
16. 为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下
（数据分成5组：）：
b．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入为___________百万元；
（3）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．
①__________________；
②比较的大小，并说明理由．
17. 冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元；
（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
18. 已知为直角三角形且，点是边上一点，
（1）如图1，以为半径的与直线相切于点，与相交于点，若，①求的半径；②求线段的长；
（2）若以为半径的与直线相切，请在图2中使用尺规作图作出，并证明．
19. 小明为了探究函数的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
（1）完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出与的几组对应值如下表：
表格中，________________；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系中，画出当时函数的图象；
③观察图象，当______________时，有最大值为______________；
（2）求函数与直线的交点坐标；
（3）若函数的图象与直线恰好有4个交点，求的取值范围．
20. “正方形中的垂直线段”是解决正方形有关问题的基本图形，小明对此进行了深入的研究与思考：
已知：四边形是正方形
【图形探究】（1）如图1，点是边上的动点（点不与点和点重合），连接，过点作于点，求证：；
【深入研究】（2）在（1）条件下，如图2，连接，过点作交于点，
①求证：；
②点在线段上运动的过程中，线段与线段的长是否始终相等，若相等请证明，若不相等请说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，点在上，连接，点在上，连接和，当且时，请直接写出此时的值．
广东省深圳实验学校初中部2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
2. 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠﹣1B. x＞﹣1C. x≠1D. x≠0
【答案】A
【解析】
【分析】根据有分式的意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故选A．
【点睛】本题考查了函数自变量取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B．
4. 为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年某市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达75000辆，用科学记数法表示75000是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： ，
故选：B．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “如果x、y是实数，那么”是随机事件
B. 为了了解人们保护水资源的意识，应当采用普查的调查方式
C. 分别写有三个数字的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为
D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，则甲组数据较稳定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查随机事件、调查方式、概率和方差的概念，根据知识点逐一判断即可．熟记必然事件与随机事件的区别、调查方式的选择、概率计算及方差的意义是解题的关键．
【详解】解：A、“如果x、y是实数，那么”是必然事件，原说法错误，不符合题意；
B、为了了解人们保护水资源的意识，应当采用抽样调查的调查方式，原说法错误，不符合题意；
C、分别写有三个数字的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张的所有可能组合为：，积分别为：，则卡片上的两数之积为正数的概率为，原说法正确，符合题意；
D、若甲、乙两组数据的平均数相同，，则乙组数据较稳定，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
6. 随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为x，由题意得出三月份的销量为：，再根据3月份的销量比1月份增加了2100辆为等量关系列出方程即可．
【详解】解：设每个月销量的平均增长率为，
则三月份的销量为：，
则根据题意有： ，
故选：D
7. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A. 当时， B. I与R的函数表达式是
C. 当时，D. 当时，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象即可完成求解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
把点P坐标代入得：，解得：，
即函数解析式为：，故B不正确；
当时，即，解得：；故A不正确；
当时，，
由图象知，当时，；故C不正确；
当时，；当时，，
表明当时，则；故D正确；
8. 如图，用正方形纸片进行如下操作：
第一步：对折正方形纸片使得点和点重合，展开，折痕为，连接；
第二步：过点折叠纸片，使点落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点A、D分别落在边上，展开，折痕为、则矩形的宽长比（）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，矩形的性质，解直角三角形，设交点为，由折叠的性质可得，由正弦的定义求出，求出，进而求出，即可得到，由正切的定义即可求出，由矩形的性质得到，进而得到结果．
【详解】解：设交点为，
∵四边形形是正方形，
∴，
由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵过点折叠纸片，使得点A、D分别落在边上，展开，折痕为，
∴，
∴四边形矩形，
∴，
∴，即矩形的宽长比（）为．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15题）
9. 因式分解：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，直接应用平方差公式进行因式分解即可解答．
【详解】解：．
故答案为：．
10. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】过作于，根据正切函数的定义求解即可．
【详解】过作于，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是构建直角三角形并掌握正切函数的定义．
11. 如图，在中，，在同一平面内将绕点A旋转到位置，使得．则___________．
【答案】##30度
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求得，再根据旋转的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
根据旋转的性质可得
，，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
12. 已知四边形是矩形，，点是边的中点，连接和相交于点，若，则矩形的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．
根据，得到，由矩形的性质可得，易证，进而得到，推出，证明，推出，设，则，求出，利用勾股定理求出的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，即，
解得或（舍去），
∴，
∴矩形的面积为．
故答案为：.
13. 已知是等腰三角形且，点是的中点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】分别过点作，交点为，连接，根据题意易证点为的中点，进而推出是的中位线，得到，证明，推出，由，设，则，由勾股定理求出，进而求出，再证明，得到，求出，根据，得到，结合，得到，结合，证明，得到，即可求出，再根据直角三角形的性质可得，易证是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质求出，进而求出，即可求出则的值．
【详解】解：分别过点作，交点，连接，
∵，
∴点为的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，直角三角形的性质及四边形内角和，正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
三、解答题（共7小题，共61分）
14. 计算：
【答案】11.
【解析】
【分析】根据算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的意义进行计算，最后再进行加减运算即可得解.
【详解】，
.
【点睛】本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，解答本题的关键是明确它们的各自计算方法.
15. 先化简，再将代入求值.
【答案】1.
【解析】
【分析】直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案．
【详解】原式
将代入得：
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
16. 为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下
（数据分成5组：）：
b．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入为___________百万元；
（3）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．
①__________________；
②比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元
（3）①，②，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查频数直方图、中位数、用样本估计总体，理解题意，熟练掌握统计中相关知识的运用是解答的关键．
（1）根据中位数的求解方法求解即可；
（2）根据样本中的平均数可估计总体的平均数求解即可；
（3）①根据中位数和平均数的定义即可求出，②同理①求出，进而比较大小即可．
【小问1详解】
解：将所给25个数据从小到大排列，第13个数据是第组中的，
∴中位数；
【小问2详解】
解：由题意得：（百万元）；
答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元；
【小问3详解】
解：①由（1）得，甲城市中位数为，
甲城市平均数为，
∴，
故答案：；
②，理由如下：
乙城市中位数高于平均数，则至少为13个，
∴．
17. 冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元；
（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
【答案】（1）A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元
（2）32本
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设种笔记本每本的进价为元，则种笔记本每本的进价为元，根据数量总价单价结合用160元购进的种笔记本与用240元购进的种笔记本数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进种笔记本本，则购进种笔记本本，根据总利润每本的利润销售数量（购进数量）结合总获利不小于468元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为（x＋10）元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元．
【小问2详解】
解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本，
依题意，得：，
解得：．
答：最多购进A种笔记本32本．
18. 已知为直角三角形且，点是边上一点，
（1）如图1，以为半径的与直线相切于点，与相交于点，若，①求的半径；②求线段的长；
（2）若以为半径的与直线相切，请在图2中使用尺规作图作出，并证明．
【答案】（1）①；② （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查复杂作图，作角平分线，画圆，圆的基本性质和切线的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键．
（1）①连接，由切线的性质可得，由，可得，设，则，即可求解；②由①可求，由，根据，得到，设，利用勾股定理即可求解；
（2）作的角平分线，交于点，在上截取，连接，再以点为圆心，为半径画圆即可，先证明，推出，即可证明．
【小问1详解】
解：①连接，
∵与直线相切于点，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，即的半径为；
②由①知，，
∴，
∵，，
∴，
设，
在中，，
则，
解得（负值舍去），
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，为所求：
由作图得，
∵，
∴，
∴，
∴与直线相切．
19. 小明为了探究函数的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
（1）完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出与的几组对应值如下表：
表格中，________________；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系中，画出当时函数的图象；
③观察图象，当______________时，有最大值为______________；
（2）求函数与直线的交点坐标；
（3）若函数的图象与直线恰好有4个交点，求的取值范围．
【答案】（1）①；②见解析；③2或，1
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①观察表格，根据对称性直接求得的值；②根据描点连线画出函数图象也可根据对称性画出函数图象；③根据函数图象直接求解；
（2）分两种情况联立解方程求解即可；
（3）画出函数的图象，根据的函数图象与函数的图象平行，利用平移法找到临界点，结合函数图象求解即可．
【小问1详解】
解：①根据表格数据可知y与x的几组对应值关于对称，
当与的函数值相等，则，
故答案为：，
②画图如下，
③观察图象，当或时，y有最大值为1；
故答案为：2或，1；
【小问2详解】
解：由，
当时，，
，
解得或，
当时，，
，
（舍去）或，
综上所述，交点坐标为；
【小问3详解】
解：如图，函数的图象如图所示，
当函数的图象与函数有且只有一个交点时，
则方程有两个相等的实数根，即方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，
此时，函数的图象与直线有3个交点，没有4个交点；
当直线过点时，则，
此时，函数的图象与直线有3个交点，没有4个交点，
∵函数的图象与直线恰好有4个交点，
∴由图象可知：．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数交点问题等；能熟练利用二次函数的性质，数形结合，根据不同情况进行分类讨论求解是解题的关键．
20. “正方形中的垂直线段”是解决正方形有关问题的基本图形，小明对此进行了深入的研究与思考：
已知：四边形是正方形
【图形探究】（1）如图1，点是边上的动点（点不与点和点重合），连接，过点作于点，求证：；
【深入研究】（2）在（1）的条件下，如图2，连接，过点作交于点，
①求证：；
②点在线段上运动的过程中，线段与线段的长是否始终相等，若相等请证明，若不相等请说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，点在上，连接，点在上，连接和，当且时，请直接写出此时的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②，证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定定理即可证明；
（2）①根据等角的余角相等得出，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定定理即可证明；
②根据相似三角形的性质得出，，结合正方形的性质，即可证明；
（3）过点作交于点，根据正方形的性质和根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，设，则，结合勾股定理得出，，，求得，根据平行线分线段成比例即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）①证明：∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②解：，理由如下：
∵，，
∴，，
即，，
故，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）解：过点作交于点，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，
即，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
平均数
中位数
甲城市
10.8
乙城市
110
12
0
1
2
3
4
5
0
1
0
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