广东省深圳市深圳实验学校初中部2024-2025学年第一学期九年级期中考试数学试卷

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一、选择题（每题3分，共24分）
1．图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为
A． B． C． D．
2．如图，，下列说法正确的是
A．B．C．D．
3．已知为锐角，且，则的度数为
A．B．C．D．
4．函数与在同一坐标系内的图象可以是
A． B． C．D．
5．如图，已知的一边在轴上，另一边经过点，顶点的坐标为，则的值是
A．B．C．D．
6．如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为，把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点处，，则女孩的影子长为
A．B．C．D．
7．下列说法正确的是
A．若点是线段的黄金分割点，，则
B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
C．两个正六边形一定位似
D．菱形的两条对角线互相垂直且相等
8．如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点为斜边的中点．若反比例函数的图象经过，两点，反比例函数的图象经过点，则与满足的等量关系是
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．已知反比例函数的图象经过第一，三象限，写出一个符合条件的的负整数值： ．
10．若是方程的一个根，则的值为 ．
11．我们在制作视力表时发现，每个“”形图的长和宽相等（即每个“”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得，，他选择了一张面积为的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“”形图．那么能够刚好剪得第①个大“”形图的是面积为 的正方形卡纸．
12．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧．交于点，交于点，连接；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；④连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为 ．
13．如图，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点，且，若，，则 ．
三．解答题（共61分）
14．（8分）（1）计算：．
（2）解方程：．
15．（6分）先化简：，再从，，1，3中选取一个数代入求值．
16．（10分）为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某校举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，对所有参赛学生的成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用表示），其中记为“较差”， 记为“一般”， 记为“良好”， 记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）将直方图补充完整；
（2）已知这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 ，众数是 ；
（3）若该校共有1200人，能否估计该校学生对国家安全知识掌握程度达到优秀的人数？
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率
17．（8分）如图，△是等边三角形，点，分别在边，上，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求的长．
18．（9分）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：
（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
19．（8分）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如表：
（1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来；
（2）观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式；
（3）当砝码质量为时，求托盘与点的距离；
（4）当托盘向左移动（不能移动到点时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？为什么？
20．（12分）在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，其过程如下：
（1）【观察发现】
如图1，在等边中，，，，分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法．
在等边中，，，
点为边上的中点，．
．
过点作，使，连接．
．．
又，．
．
连接，，当，，三点共线时，的最小值等于线段的长．
连接，可证四边形是矩形，
．
的最小值为 ．
（2）【类比应用】
如图2，已知正方形的边长为6，为对角线的交点，，分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值．
（3）【拓展延伸】
如图3，矩形中，，，是的中点，，分别是和上的动点，且总有，求的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为
A．B．
C．D．
【解答】解：它的俯视图为两个同心圆．
故选：．
2．如图，，下列说法正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，，
所以不正确；
，
，
即，
，．
所以正确，不正确；
和相似比是，
．
所以不正确．
故选：．
3．已知为锐角，且，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，得
，
解得，
故选：．
4．函数与在同一坐标系内的图象可以是
A．B．
C．D．
【解答】解：、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故错误；
、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故错误；
、由函数的图象可知，由函数的图象可知，正确；
、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故错误．
故选：．
5．如图，已知的一边在轴上，另一边经过点，顶点的坐标为，则的值是
A．B．C．D．
【解答】解：如图，作轴于点，
由题意得，，，
由勾股定理得，，
则，
故选：．
6．如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为，把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点处，，则女孩的影子长为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，，
，
，即，
解得：．
故选：．
7．下列说法正确的是
A．若点是线段的黄金分割点，，则
B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
C．两个正六边形一定位似
D．菱形的两条对角线互相垂直且相等
【解答】解：、若点是线段的黄金分割点，，
当时，，当时，，本选项说法错误；
、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；
、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；
、菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，本选项说法错误；
故选：．
8．如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点为斜边的中点．若反比例函数的图象经过，两点，反比例函数的图象经过点，则与满足的等量关系是
A．B．C．D．
【解答】解：设，，
则依题得，，
，
为的中点，
，
反比例函数 的图象经过，两点，
，
化简得，
，
．
故选：．
二．填空题（共5小题）
9．已知反比例函数的图象经过第一，三象限，写出一个符合条件的的负整数值： （答案不唯一，写或 ．
【解答】解：反比例函数的图象经过第一，三象限，
，
，
大于的负整数有，．
不妨选取．
故答案为：（答案不唯一）．
10．若是方程的一个根，则的值为 2024 ．
【解答】解：是方程的一个根，
，
，
，
，
故答案为：2024．
11．我们在制作视力表时发现，每个“”形图的长和宽相等（即每个“”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得，，他选择了一张面积为的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“”形图．那么能够刚好剪得第①个大“”形图的是面积为 16 的正方形卡纸．
【解答】解：每个“”形图近似于正方形，
，
△△，
，，
，
第②个小“”形图是的正方形卡纸，
第①个大“”形图的，
故答案为：16．
12．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧．交于点，交于点，连接；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；④连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为 ．
【解答】解：如图，连接，
由题意得，，
，
由作图即可得，，
又，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
13．如图，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点，且，若，，则 ．
【解答】解：如图，过作的平行线交的延长线于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
14．（1）计算：．
（2）解方程：．
【解答】解：（1）
．
（2），
，
则，即，
，
，即，．
15．先化简：，再从，，1，3中选取一个数代入求值．
【解答】解：原式
，
，，，
，3，．
当时，原式．
16．为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某校举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，对所有参赛学生的成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用表示），其中记为“较差”， 记为“一般”， 记为“良好”， 记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）将直方图补充完整；
（2）已知这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 95 ，众数是 ；
（3）若该校共有1200人，能否估计该校学生对国家安全知识掌握程度达到优秀的人数？
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率
【解答】解：（1）由题意可知，参赛学生的总人数为：（人，
的人数为：（人，
将直方图补充完整如下：
（2）这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，
把这组的具体成绩排序为：91，93，94，94，96，98，99，100，
这8个数据的中位数是，
众数为94，
故答案为：95，94；
（3）由题意可知，（人，
答：估计该校学生对国家安全知识掌握程度达到优秀的人数为192人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中2名女生参加知识竞赛的有6种结果，
恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为．
17．如图，△是等边三角形，点，分别在边，上，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：△是等边三角形，
，
，
，
，
，
△△；
（2）解：△是等边三角形，
，
，
△△，
，
，
，
解得：或，
即的长为3或6．
18．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：
（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
【解答】解：（1）设前三季度生产量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：前三季度生产量的平均增长率为．
（2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又在增加产能同时又要节省投入成本，
．
答：应该再增加4条生产线．
19．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如表：
（1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来；
（2）观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式；
（3）当砝码质量为时，求托盘与点的距离；
（4）当托盘向左移动（不能移动到点时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？为什么？
【解答】解：（1）如图：
（2）由图象猜测与之间是反比例函数关系，
设，将代入，
得，
解得，
，
将其余各点代入验证均适合，
与的函数关系式为：；
（3）当时，代入得，
，
解得，
当砝码质量为时，活动拖盘与点的距离是；
（4）根据反比例函数的增减性，当变小时，变大，故当活动托盘与点的距离不断减小时，即变小，此时变大，
应往托盘中添加砝码．
20．在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，其过程如下：
（1）【观察发现】
如图1，在等边中，，，，分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法．
在等边中，，，
点为边上的中点，．
．
过点作，使，连接．
．．
又，．
．
连接，，当，，三点共线时，的最小值等于线段的长．
连接，可证四边形是矩形，
．
的最小值为 ．
（2）【类比应用】
如图2，已知正方形的边长为6，为对角线的交点，，分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值．
（3）【拓展延伸】
如图3，矩形中，，，是的中点，，分别是和上的动点，且总有，求的最小值．
【解答】解：（1）由作图可知，四边形是矩形，
，
故答案为：．
（2）如图，类比（1），过点作，使，连接，易得．
在和 中，
，，，
．
．
．
连接，当，，三点共线时，线段的长为的最小值．
过点作，交的延长线于点．
在正方形中，为对角线，
，
．
为等腰直角三角形．
正方形的边长为6，
．
．
在 中，，
的最小值为．
（3）如图，延长到，使，连接．
，，
，
，
，
，
连接，当、、三点共线时，线段的长为的最小值．
，，
．
托盘与点的距离
10
15
20
25
30
托盘中的砝码质量
30
20
15
12
10
托盘与点的距离
10
15
20
25
30
托盘中的砝码质量
30
20
15
12
10