第十八章 平行四边形-单元复习题-2024-2025学年人教版八年级数学下册（含答案+解析）

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第十八章 平行四边形一、选择题：1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是(    )．A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对角线平分一组对角D. 对角线互相垂直2.下面哪个特征是矩形、菱形、正方形所共有的(    )A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角线相等且平分3.矩形的四个内角平分线围成的四边形(    )A. 一定是正方形B. 是矩形C. 菱形D. 只能是平行四边形4.   在平行四边形ABCD中，∠B−∠A=20°，则∠D的度数是(    )A.  80°B.  90°C.  100°D.  110°5.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(    )A. AC=BD，AD= //CDB. AD//BC，∠A=∠CC. AO=BO=OC=DO，AB=BCD. AO=CO，BO=DO，AB=BC6.如图，矩形ABCD两条对角线交于点O，∠ AOD=120°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是(    )A. 2B. 4C. 2D. 47.   下列说法，属于平行四边形的判定的有(     )个    ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②平行四边形的对角线互相平分；    ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平行四边形的每组对边平行且相等；    ⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。A.  6个B.  5个C.  4个D.  3个8.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是(    )  A. 7B. 9C. 10D. 119.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：① AB= BC，②∠ ABC=90°，③ AC= BD，④ AC⊥ BD中选两个作为补充条件，使□ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(    )A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG//AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有A. ②④B. ②③④C. ①②④D. ①②③④二、填空题：11.矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是______．12.11、若D、E、F分别是△ABC各边的中点，且△DEF的周长是8cm，则△ABC的周长是    cm。13.  已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为6cm，则其面积为______________cm2．14.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点。若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 　　　　厘米． 15.如图，在□ABCD中，BE平分∠ ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于       ．16.如图所示，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B=60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长(实线部分)为________．17.如图，矩形ABCD对角线AC，BD交于点O，若∠AOD=110°，则∠OAB=______°.18.如图，在菱形ABCD中，周长等于8 cm，∠B=1200，则菱形ABCD的面积等于________ cm2．  ​​19.在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下部分就是如图所示的四边形;经测量这个四边形的相邻两边长为5cm、3cm，一条对角线的长为4cm，则原三角形纸片的周长是____________cm．20.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是_________________．三、解答题：21.如图所示，在中，，点分别为的中点，点在的延长线上，且 .求证：四边形为平行四边形．22.在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，点F在边CD上，，连接AF，BF。                                                  (1)求证：四边形BFDE是矩形；                                                        (2)若   ，求证：AF平分  。23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． (1)求证：CE=AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？(不需证明)24.如图，AC是□ABCD的对角线，∠1=∠2．(1)求证：AB=BC．(2)若AB=4，AC=4 3，求□ABCD的面积．25.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE/​/BD，DE/​/AC.求证：四边形OCED是正方形．答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，考查了菱形的性质，正方形是特殊的菱形，本小题可从正方形所具有的矩形性质来进行分析即可求解．【解答】解：根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，故选B. 2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查矩形、菱形、正方形的性质，熟记这些性质才能熟练做题．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，共有的性质就是平行四边形的性质．【解答】解：矩形、菱形、正方形共有的性质是对角线互相平分．故选C．3.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．由矩形的性质和角平分线证出四边形GMON为矩形，再证出△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形，得出OD=OC，证明△AMD≌△BNC，得出NC=DM，得出OM=ON，即可得出结论． 【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠CBA=∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC，∵AF，BE是矩形的内角平分线．∴∠DAM=∠BAF=∠ABE=∠CBE=45°．∴∠1=∠2=90°．同理：∠MON=∠OMG=90°，∴四边形GMON为矩形．又∵AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD的角的平分线，∴△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形，∴OD=OC，在△AMD和△BNC中，∠AMD=∠BNC ∠DAM=∠CBN AD=BC ，∴△AMD≌△BNC(AAS)，∴NC=DM，∴NC−OC=DM−OD，即OM=ON，∴矩形GMON为正方形．故选A．4.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质．掌握平行四边形的相邻内角互为补角，相对内角相等是解答本题的关键，属于基础题，比较简单．根据平行四边形的基本性质可知，平行四边形的邻角互补，由已知可得，∠A、∠B是邻角，故∠B可求解；然后由“平行四边形的对角相等”的性质得到∠D=∠B.  【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠B+∠A=180°，∠B−∠A=20°， ∴2∠B=200°， ∴∠B=100°. 又∵∠D=∠B， ∴∠D=100°. 故选C．5.【答案】C 【解析】【分析】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【解答】解：A.因为条件AD/​/CD，且AD=CD不能成立，所以不能判定为正方形；B.不能，只能判定为平行四边形；C.能；D.不能，只能判定为菱形．故选C．6.【答案】B 【解析】【分析】本题考查矩形的性质，由矩形的性质可知AO=BO，又∵∠AOD=120°，所以知道△ABO是等边三角形，继而可以推出AC=2AB=4．【解答】解：因为矩形的对角线互相平分， 所以OA=OB=OC=OD.  又因为∠ AOD=120°，所以∠AOB=60°， 所以△AOB是等边三角形． 所以OA=AB=2. 所以AC=2OA=4．故选B．7.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判别方法是说明一个四边形为平行四边形的理论依据，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．平行四边形的五种判定方法分别是：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断． 【解答】解：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故①正确；②平行四边形的对角线互相平分，故②错误；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故③正确；④平行四边形的每组对边平行且相等，故④错误；⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤正确；⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故⑥正确；故选C．8.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，首先利用三角形的中位线定理证明出四边形EFGH是平行四边形及FG的长，再运用勾股定理求出BC的长，进而可得GH的长，即可求解．【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴FG//AD//EH，GH//BC//EF，∴四边形EFGH是平行四边形，且FG=12AD=３，∵在Rt△BCD中，BD=4，CD=3，∴BC=5，∴GH=12BC=2.5，∴Ｃ▱ EFGH=２×(2.5+3)=11．故选D．9.【答案】B 【解析】【分析】本题考查正方形的判定，由已知四边形是平行四边形，加上条件进行判断即可．【解答】解：A.由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B.由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C.由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D.由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选B．10.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．根据菱形的性质得到CD=DA，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠CAD，DAE=∠AED，根据三角形的内角和定理得到∠CAD+∠DAE=90°，即可证明①是正确的；根据菱形的性质得到AB/​/CD，AB=CD，由AAS证明△ABG≌△DEG，故②是正确的；由△ABG≌△DEG得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG/​/AB，故③是正确；先证四边形ABDE是平行四边形，再证△AB是等边三角形，得AB=BD，则四边形ABDE是菱形，故④是正确．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=DA，∴∠ACD=∠CAD，∵CD=DE，CD=AD，∴AD=DE，∴∠DAE=∠AED，∵∠ACD+∠CAD+∠DAE+∠AED=180°，∴∠CAD+∠DAE=90°，∴AC⊥AE，故①正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AB/​/CD，AB=CD，∴∠BAD=∠ADE，∵CD=DE，∴AB=DE，在△ABG和△DEG中，∠BGA=∠EGD∠BAD=∠ADEAB=DE,∴△DEG≌△ABG(AAS)，故②正确；∴AG=DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，AG=DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG//CD，∴OG/​/AB，故③正确；∵AB/​/CD，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BAD=60°，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∴四边形ABDE是菱形，故④正确；故正确的结论有4个．故选：D．11.【答案】24cm2 【解析】解：如图，连接EG、FH、AC、BD，设AB=6cm，AD=8cm，∵四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是四边的中点，∴HF=6cm，EG=8cm，AC=BD，EH=FG=12BD，EF=HG=12AC，∴四边形EFGH是菱形，∴S菱形EFGH=12×FH×EG=12×6×8=24cm2．故答案为24cm2．根据题意，先证明四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，解答出即可．本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，证明四边形EFGH是菱形及菱形面积的计算方法，是解答本题的关键．12.【答案】16 【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理求出出结果，是解题的基本思路．根据三角形的中位线定理，△ABC的各边长等于△DEF的各边长的2倍，从而得出△ABC的周长．【解答】解：如图：∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴AB=2EF，AC=2DE，BC=2DF，∵DE+EF+DF=8cm，∴AB+AC+BC=2(DE+EF+DF)=2×8=16cm．故答案为16．13.【答案】6 3或18 3 【解析】【分析】此题考查的知识点有菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．解题关键是证明△ABD是等边三角形以及分类讨论.首先根据题意画出图形，由菱形有一个锐角为60°，可得△ABD是等边三角形，然后分别从较短对角线长为6cm与较长对角线长为6cm两种情形去分析求解即可求得答案．【解答】解：∠BAD=60°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，∴△ABD是等边三角形，①BD=6cm，则OB=3cm，∴AB=BD=6cm；∴OA= AB2−OB2=3 3(cm)，∴AC=2OA=6 3(cm)，∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=18 3(cm2)；②AC=6cm．∵四边形ABCD是菱形，∴AO=3cm，∠BAO=30°，∴AB=AO÷cos30°=2 3cm，∴BD=AB=2 3(cm)，∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=6 3(cm)；综上可得其面积为6 3或18 3cm2．故答案为6 3或18 3．14.【答案】3 【解析】【分析】  本题考查平行四边形的性质和三角形中位线定理，由已知条件可知AO+BO=12，然后由△OAB的周长是18厘米可得AB=6，由点E，点F分别是AO，BO的中点，可知EF是△OAB的中位线，等于AB的一半，从而得出结论．【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD. 又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米. ∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米. ∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线. ∴EF=AB=3厘米故答案为3．15.【答案】20 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定.由▱ABCD知AD//BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠CBE，又∠ABE=∠CBE，可得∠ABE=∠AEB，所以△ABE是等腰三角形，则AB=AE=AD−ED=BC−ED=4，即可得出结果．【解答】解：在▱ABCD中，AD//BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AB=AE=AD−ED=BC−ED=4，∴▱ABCD的周长为：2(AB+BC)=20．故答案为20．16.【答案】20m 【解析】【分析】此题主要考查菱形的性质，等边三角形的性质的运用，有一定难度，注意熟练掌握这些知识以便综合运用．连接AC，根据已知可得到△ABC为正三角形，从而可求得正六边形的边长是△ABC边长的13，已知种花部分图形共有10条边则其周长不难求得．【解答】解：连接AC，如图所示：已知四边形ABCD为菱形，∠B=60°，∴△ABC为正三角形，△BMF，△AEN也是正三角形，∴AE=EN，BF=FM，∵EF=FM，∴AE=EF=BF，∴正六边形的边长是△ABC边长的13，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为13×6×10=20cm，故答案为20m．17.【答案】55 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠AOD=110°，∠AOD=∠OAB+∠OAB，∴∠OAB=∠OBA=55°故答案为55．由四边形ABCD是矩形，推出OA=OB，推出∠OAB=∠OBA，由∠AOD=110°，∠AOD=∠OAB+∠OAB，推出∠OAB=∠OBA=55°．本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和勾股定理，解答时要先连接菱形的两条对角线，再利用菱形对角线互相垂直的性质，结合已知条件进行求解． 【解答】 解：连接BD，AC∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠ABD=60°∴△ABD是等边三角形， 又菱形周长为8，∴AB=BD=2， ∴BO=DO=1，∴AO=，AC=2，∴菱形ABCD的面积是2×2÷2=2． 故答案为2．19.【答案】24或16+4 13 ． 【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理，首先要还原原三角形，需要分两种情况讨论，利用平行四边形的性质得出各边长，利用勾股定理求出AB的长是解题关键．【解答】解：如图1：周长为：2×(5+4+3)=24(cm)；如图2：∵BD=3，BC=4，CD=5，∴BD2+BC2=CD2，∴△BCD是直角三角形，∴AC=6，AB=2 13，∴周长为2×5+2 13+3=16+4 13  cm．综上所述：原三角形纸片的周长是24cm或16+4 13 cm．故答案为24或16+4 13 ．20.【答案】 【解析】本题可采用特殊化的方法，使P点与E点重合(如图)，此时PR=0，PQ+PR=PQ．因为PQ⊥BC，∠DBC=∠ABC=45°，所以BQ=EQ.在Rt△BEQ中，BE=BC=1，由勾股定理可得PQ=．因此，PQ+PR=．21.【答案】证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE为△ACB的中位线．∴DE/​/BC．∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线， ∴CE=12AB=AE．∴∠A=∠ACE．又∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ACE．∴DF/​/CE．又∵DE/​/BC，∴四边形DECF为平行四边形． 【解析】此题考查平行四边形的判定方法，直角三角形的性质，三角形中位线的性质.根据DE是三角形的中位线得到DE/​/BC，CE是直角三角形斜边上的中线得到CE=AE，得∠A=∠ACE，所以∠CDF=∠A，可得∠CDF=∠ACE，推出DF/​/CE.再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形而得证．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB/​/CD．又∵BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB/​/DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB． 【解析】本题利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得∠DAF=∠DFA是解题关键．(1)根据平行四边形的性质，可得AB/​/CD，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；(2)根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．23.【答案】(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC/​/DE，∵MN/​/AB，即CE/​/AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；(2)解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD/​/CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；(3)当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形． 【解析】本题考查了本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用．(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；(3)求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD/​/BC，∴∠1=∠BCA，∵∠1=∠2，∴∠2=∠BCA，∴AB=BC；(2)解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=2 3，OB=OD=12BD，∴OB= 42−2 32═2，∴BD=2OB=4，∴平行四边形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×4 3×4=8 3． 【解析】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定．(1)根据平行四边形的性质得出AD//BC，根据平行线的性质得出∠DAC=∠BCA，求出∠BAC=∠BCA即可；(2)求出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理求出BO，求出BD，根据面积公式求出即可．25.【答案】证明：∵CE/​/BD，DE/​/AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，∴四边形OCED是正方形． 【解析】先证明四边形OCED是平行四边形，由正方形的性质得出OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，即可得出四边形OCED是正方形．本题考查了正方形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．