人教版八年级数学下册 重难突破03 平行四边形之构造中位线问题 试卷（原卷版+解析版）

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重难突破3 平行四边形之构造中位线问题 一、单选题 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最小值为（    ） A．1 B．3−1 C．2−3 D．32 【答案】D 【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD=90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF=12AG，求出AG的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N． ∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°， ∴∠D=180°−∠BCD=60°，AB=CD=2， ∵AM=DM=DC=2， ∴△CDM是等边三角形， ∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=DM=AM， ∴∠MAC=∠MCA=30°， ∴∠ACD=90°， ∴AC=AD2−CD2=23， 在Rt△ACN中，∵∠ACN=∠DAC=30°， ∴AN=12AC=3， ∵AE=EH，GF=FH， ∴EF=12AG， ∵垂线段最短， ∴当点G在点N时，AG的最小，即AG的最小值为AN的长，此时EF也最小， ∴AG最小值为3，EF的最小值为32． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°，属于中考选择题中的压轴题． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在△ABC中，AC=22，∠CAB=120°，D是AB的中点，E是BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（    ） A．52 B．2 C．3 D．2−122 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，如图，延长BA至F，使得AF=AC，连接CF，证明△AFC是等边三角形得到CF=AC=22，再证明EF=EB，进而推出ED是△CBF的中位线，则ED=12CF=2． 【详解】解：如图，延长BA至F，使得AF=AC，连接CF， ∵ ∠CAB=120°， ∴∠FAC=60°, ∴△AFC是等边三角形， ∴CF=AC=22， ∵ D是边AB的中点，E是边BC上一点，DE平分△ABC的周长， ∴AC+AE+CD=BE+BD，CD=BD， ∴AC+AE=BE， ∵AC=AF， ∴ AF+AE=BE，即EF=EB， ∴ED是△CBF的中位线， ∴ED=12CF=2． 故选：B． 3．（2024八年级·全国·竞赛）四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边（不平行）的长分别为a和b，则d与a+b2的大小关系是（    ）． A．d≤a+b2 B．d≥a+b2 C．da+b2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系，构造三角形的中位线是解答本题的关键，设G，F分别是AD，BC的中点，连结BD，取BD中点E，连接EF，EG，根据三角形的中位线定理可得EG=12AB，EF=12DC，由三角形的三边关系可得EF+EG≥FG，即a+b2≥d，结合AB与DC不平行，即得答案． 【详解】如图，设G，F分别是AD，BC的中点，连结BD，取BD中点E，连接EF，EG， ∵G是AD的中点，F是BC的中点， ∴EG=12AB，EF=12DC， ∵EF+EG≥FG ∴12AB+12DC≥FG 即a+b2≥d， 又AB与DC不平行， 所以a+b2>d． 故选：C． 4．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,BD⊥AD交于点D，点E为边BC的中点，已知AB=10cm,BC=15cm,DE=3cm，那么△ABC的周长为（    ）    A．41cm B．40cm C．39cm D．38cm 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相关性质定理，准确添加辅助线是解题关键． 延长BD交AC于点F，利用全等三角形的判定和性质求得AF的长，根据三角形中位线定理求得CF的长，进而求得AC的长，从而可求三角形周长． 【详解】解：延长BD交AC于点F，    ∵AD平分∠BAC,BD⊥AD交于点D， ∴∠BAD=∠FAD，∠ADB=∠ADF=90°， 又∵AD=AD， ∴△ADB≌△ADF， ∴AF=AB=10，BD=FD ∵点E为边BC的中点， ∴FC=2DE=6 ∴AC=AF+FC=16， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC=10+15+16=41cm 故选：A． 5．（23-24九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB=6，BC=10，则GH的长度为（    ） A．32 B．292 C．342 D．2 【答案】C 【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A=90°，AD//BC，根据全等三角形的性质得到PD=CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，AD∥BC， ∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB=6，BC=10， ∴AE=12AB=12×6=3，CF=12BC=12×10=5， ∵ AD∥BC ∴∠DPH=∠FCH， 在△PDH与△CFH中， ∠DPH=∠FCH∠DHP=∠FHCDH=FH, ∴△PDH ≌ △CFHAAS， ∴PD=CF=5，CH=PH， ∴AP=AD−PD=5， ∴PE=AP2+AE2=52+32=34， ∵点G是EC的中点，H是PC的中点， ∴GH=12EP=342， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，若AB=1，CD=5，则EF长为（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接BF，并延长交CD于点G，可证 DF=AF，再证△GDF≌△BAF，从而可得BF=GF，可证EF是△BCG的中位线，AB=GD=1，即可求解． 【详解】解：连接BF，并延长交CD于点G，    ∵AB∥CD， ∴∠GDF=∠BAF，∠DGF=∠ABF， ∵E，F分别为BC，AD的中点， ∴DF=AF，CE=BE， 在△GDF和△ABF中， ∠GDF=∠BAF∠DGF=∠ABFDF=AF， ∴△GDF≌△BAF（AAS）， ∴BF=GF，AB=GD=1， ∴ EF是△BCG的中位线，CG=CD−DG=5−1=4， ∴EF=12CG=2， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形性的判定及性质，三角形的中位线定理，掌握判定方法及性质是解题的关键． 7．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D、E分别在边AB、BC上，且AD=CE=3，M、N分别为线段DE、AC的中点，则线段MN的长为（     ）    A．1.5 B．3 C．322 D．32 【答案】C 【分析】连接CD，取CD的中点H，连接MH，NH，根据中位线性质得出MH∥BC，MH=12CE=32，根据平行线的性质得出∠DHM=∠DCE，同理课程NH∥AD，NH=12AD=32，根据平行线的性质得出∠CNH=∠A，求出∠MHN=∠MHD+∠NHD=∠DCE+∠A+∠CD=90°，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：连接CD，取CD的中点H，连接MH，NH，如图所示：    ∵M、N分别为线段DE、AC的中点， ∴MH是△EDC的中位线， ∴MH∥BC，MH=12CE=32， ∴∠DHM=∠DCE， 同理可得：NH∥AD，NH=12AD=32， ∴∠CNH=∠A， ∵∠ABC=90°， ∴∠A+∠ACB=90°， ∴∠MHN=∠MHD+∠NHD=∠DCE+∠A+∠CD=90°， ∴MN=MH2+NH2=322+322=322，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 8．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，E在BC上，且EC=2BE，则AFFE=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】取CE的中点M，连接DM，根据三角形中位线定理得DM∥AE，DM=12AE，再根据平行线分线段成比例得EFDM=BEBM=12，即可得出答案． 【解答】解：如图，取CE的中点M，连接DM， ∵D是AC边上的中点， ∴DM∥AE，DM=12AE，EM=MC ∵EC=2BE， ∴EFDM=BEBM=12， ∴EF=12DM， ∴12AE=2EF， ∴AE=4EF， ∴AFFE=3， 故选:B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键． 9．（22-23八年级·全国·假期作业）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE上一点，AF⊥FC．若AC=5，BC=8，则DF的长为（    ）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】由三角形的中位线定理可得DE=4，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=2.5，最后由DF=DE−EF进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵ D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=12BC=12×8=4， ∵ AF⊥FC，E分别是AC的中点， ∴EF=12AC=12×5=2.5， ∴DF=DE−EF=4−2.5=1.5， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解此题的关键． 10．（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，点E在△ABC的内部，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，F是BC的中点，连接EF，若AC=5，AB=9，则EF的长为（    ）    A．2 B．2.4 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】延长CE交AB于点D，根据等腰三角形的判定得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到CE=DE，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长CE交AB于点D， ∵CE⊥AE，AE平分∠CAB，AC=5， ∴∠AEC=∠AED=90°，∠CAE=∠DAE， ∴∠ACE=90°−∠CAE，∠ADE=90°−∠DAE， ∴∠ACE=∠ADE， ∴AD=AC=5， ∵AB=9， ∴BD=AB−AD=9−5=4， ∵AD=AC，CE⊥AE， ∴CE=DE，即点E是CD的中点，， ∵点F是BC的中点， ∴EF=12BD=12×4=2， ∴EF的长为2． 故选：A．    【点睛】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 11．（22-23八年级下·浙江金华·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是边CD、AD的中点，连接BE、BF，点M、N分别是BE、BF的中点，则MN的长为（　　）    A．5 B．2 C．22 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，连接E、F，在Rt△DEF中，利用勾股定理求出EF，在△BEF中，利用中位线性质即可得到答案． 【详解】解：连接E、F，如图所示：    ∵在正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是边CD、AD的中点， ∴DF=DE=2， 在Rt△DEF中，∠D=90°，由勾股定理可得EF=22， 在△BEF中，点M、N分别是BE、BF的中点，则MN是△BEF的中位线， ∴MN=12EF=2， 故选：B． 【点睛】本题考查求正方形中求线段长，涉及正方形性质、中点定义、勾股定理、中位线判定及性质等知识，熟练掌握勾股定理及中位线的性质求线段长是解决问题关键． 12．（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，BE平分∠ABC交CD于点E，作BF⊥AD，垂足F在线段AD上，连接EF，则下列结论∶①∠FBC=90°；②点E是CD中点；③EF=EB；④S△EBF=S△EDF+S△EBC．一定成立的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可判定结论①；根据角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质可判定结论②；如图所示，延长FE，BC交于点H，运用全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质可判定结论③；根据中线的性质可判定结论④． 【详解】解：结论①∠FBC=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠AFB=∠FBC， ∵BF⊥AD， ∴∠AFB=90°， ∴∠AFB=∠FBC=90°，故结论①正确； 结论②点E是CD中点； ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠CEB=∠EBA， ∴∠CBE=∠CEB， ∴△CBE是等腰三角形，即CB=CE， ∵AB=2AD， ∴CD=2BC， ∴CD=2CE， ∴点E是CD中点，故结论②正确； 结论③EF=EB， 如图所示，延长FE，BC交于点H， 由结论②正确可得，CE=DE， ∵AD∥BC， ∴∠D=∠HCE，且∠DEF=∠CEH， 在△DEF,△CEH中， ∠DEF=∠CEHDE=CE∠D=∠HCE， ∴△DEF≌△CEH(ASA)， ∴EF=EH，则点E是FH的中点， 由结论①正确可得∠FBC=90°，△BFH是直角三角形， ∴在Rt△BFH中，BE是斜边的中线， ∴BE=12FH，即BE=FE=FH， ∴EF=EB，故结论③正确； 结论④S△EBF=S△EDF+S△EBC， 如结论③图， 由结论③正确可得，△DEF≌△CEH(ASA)， ∴S△EDF=S△ECH， ∵BE是斜边的中线， ∴S△BEF=S△BEH=S△BCE+S△ECH， ∴S△BEH=S△BEC+S△EDF， ∴S△EBF=S△EDF+S△EBC，故结论④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形与三角形的综合，掌握平行四边的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识是解题的关键． 13．（21-22八年级下·湖北·期末）如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC=2，AD=8，CD=6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，由勾股定理可求AC的长，利用直角三角形斜边上的中线可求解DM的长，根据三角形的中位线可求解EM的长，再利用三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，    ∵AD⊥CD， ∴∠ADC=90°， ∵AD=8，CD=6， ∴AC=AD2+AC2=82+62=10， ∵M为AC的中点， ∴DM=12AC=5， ∵M是AC中点，E是AB中点， ∴EM是△ABC中位线， ∴EM=12BC=12×2=1， ∵DE≤DM+EM（当且仅当M在线段DE上时等号成立）， ∴DE≤6， ∴DE最大为6， 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线，三角形的三边关系等知识的综合运用，构造直角三角形是解题的关键． 14．（22-23八年级下·广东江门·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是（    ）    A．22≤PD≤10 B．3