八年级数学下册 第17章《一元二次方程及其应用》 单元测试卷 沪科版（含解析）

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八年级数学下册 第17章《一元二次方程》 单元测试卷 沪科版 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分. 1．下列方程是一元二次方程的是 (　　) A．x+y2=2 B．x+4=2 C．x2+4x=2 D．x2+1x=2 2．把一元二次方程(2一x)(x+3)=1化成一般形式，正确的是 (　　) A．x2+x−5=0 B．x2−5x−5=0 C．x2−5x−6=0 D．−x2−x+6=0 3．关于x的一元二次方程(a−1)x2−2ax+a2−1=0的一个根为0，则a的值为（　　） A．2 B．−1 C．1或−1 D．2或−1 4． 若a是方程x2+x−1=0的根，则3a2+3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 5．用配方法解方程x2-4x-3=0，则配方正确的是（　　） A．(x-2)2=1 B．(x+2)2=1 C．(x-2)2=7 D．(x+2)2=7 6． 已知关于x的方程a(x−m)2+k=0（a，m，k均为常数，且a≠0）的两个解是x1=1，x2=4，则方程a(x−m−2)2+k=0的解是（　　）. A．x1=1，x2=−2 B．x1=3，x2=6 C．x1=1，x2=4 D．x1=−1，x2=2 7．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（　　） A．x2=0 B．x2−2=0 C．−x2+2=0 D．x2+2=0 8． 在用求根公式 x=−b±b2−4ac2a 求一元二次方程的根时，小南正确地代入了a，b，c 得到 x=3±(−3)2−4×2×(−1)2×2，则他求解的一元二次方程是（　　） A．2x2−3x−1=0 B．2x2+4x−1=0 C．−x2−3x+2=0 D．3x2−2x+1=0 9．若关于x的一元二次方程k−1x2−2kx+k−3=0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥34 B．k≥34且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1 10．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（　　） A．-4 B．4 C．7 D．-7 11．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（　　） A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）·x% D．（2+x%）·x% 12．小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式2x2−4x+6的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（　　） （1）小聪认为找不到实数x，使2x2−4x+6得值为0； （2）小明认为只有当x=1时，2x2−4x+6的值为4； （3）小伶发现2x2−4x+6没有最小值； （4）小刚发现2x2−4x+6没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果. 13．设x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则x1+x2+x1x2=　 　. 14．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8＝0的两根，则该三角形的周长为 　 　． 15．如图，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m 的长方形场地 ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块草坪的面积都为144 m2，求通道的宽.若设通道的宽为 x m，请补全关于x的方程：(40-2x)(　 　)=144×6. 16．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步?若设宽为x步，则根据题意可列方程为　 　． 三、解答题：本大题共7小题，共68分. 17．解下列方程： （1）x2+8x−9=0 （2）x2−6x+4=0 18．已知关于x的方程x2−2x+k−1=0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若x2x1+x1x2=x12+2x2−1，求k的值． 19．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）． （1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根； （2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝1r是方程②的根； （3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求msnt的值． 20．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．②求x2+6x+11的最小值． 解：原式=a2+6a+9−1 =a+32−12 =a+3−1a+3+1 =a+2a+4； 解：原式=x2+6x+9+2 =x+32+2； ∵x+32≥0， ∴x+32+2≥2， 即x2+6x+11的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）当x为何值时，多项式x2+4x−6有最小值？请求出这个最小值； （2）若x2+5x+2=0，求2x2+11x−102+x2的值； （3）证明：关于x的二次三项式x2+8x+20在实数范围内不能因式分解． 21．用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。 （1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？ （2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？ 22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程x2−6x+8=0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程x2−4x+3=0的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，2x2−5x+2=0是“________倍根方程”； （2）若关于x的方程x2+6x+m=0是“三倍根方程”，求m的值； （3）直线l1：y=−x+5与x轴交于点A，直线l过点B−1,0，且与l1相交于点C1,4．若一个五倍根方程的两个根为x1和x200）。 ①求y关于x的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？  答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、是二元二次方程，故此选项不符合题意；B、是一元一次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故答案为：C. 【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：(2-x)(x+3)=1，2x+6-x2-3x=1，-x2-x+5=0x2+x-5=0 故答案为：A. 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数目a≠0)的一般形式，a、b、c分别是二次项系数：一次项系数、常数项，可得答案. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵一元二次方程a−1x2−2ax+a2−1=0的一个根为0， ∴a2−1=0， 解得：a=±1，∵方程a−1x2−2ax+a2−1=0是关于x的一元二次方程，∴a−1≠0，解得：a≠1，∴a=−1， 故选：B． 【分析】根据方程为一元二次方程，得出a−1≠0，再根据方程的一个根为0，将x=0代入方程可求出a的值． 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x−1=0的根，∴a2+a−1=0，∴a2+a=1，原式=3a2+a+2024=3×1+2024=2027，故答案为：C.【分析】根据题意得到：a2+a=1，然后对待求式化简得到3a2+a+2024，最后代入计算即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：x2-4x-3=0，x2-4x+4=3+4，∴（x-2）2=7.故答案为：C【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边写成完全平方公式的形式即可. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x-m）2+k=0（a，m，k均为常数，且a≠0）的两个解是x1=1，x2=4，∴方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，解得x1=3，x2=6， 故答案为：B . 【分析】 根据已知方程得出方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，据此可得答案. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵x2=0，∴x=0∴此方程有解，故A不符合题意；B、∵x2-2=0，∴x2=2∴x1=−2，x2=2，故B不符合题意；C、∵-x2+2=0，∴x2=2，∴x1=−2，x2=2，故C不符合题意；D、∵x2+2=0，∴x2=-2，故D符合题意； 故答案为：D. 【分析】通过将方程转化为x2=a的形式，判断a的符号来确定是否有实数解；若a≥0则有解，否则无解. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意 a=2,b=−3,c=−1. 故答案为：A. 【分析】得出a，b，c的值即可解题. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程k−1x2−2kx+k−3=0有实数根， ∴Δ=b2−4ac=−2k2−4k−1k+3=16k−12≥0且k−1≠0， 解得：k≥34且k≠1， 则k的取值范围是k≥34且k≠1， 故答案为：B． 【分析】利用已知可得到b2-4ac≥0且 k-1≯0，据此可得到关于k的不等式组 ，然后求出不等式组的解集可得到k的取值范围. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ x2-7x-4m2=0；∴由韦达定理得，x1+x2=−−71=7； 故答案为：C. 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，根据韦达定理，两根之和x1+x2=−ba，代入系数即可得出答案. 11．【答案】D 【解析】【解答】解：设第一季度的产值为1， 第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第二季度为1×（1+x%）， 第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，第三季度为1×（1+x%）×（1+x%)， 根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了1×（1+x%）×（1+x%）-1=(2+x%)•x%， 故选：D. 【分析】设第一季度的产值为1，根据增长率表示第三季的产值，由增长率公式计算解题. 12．【答案】C 【解析】【解答】解：∵2x2−4x+6=2x−12+4， 又∵x−12≥0， ∴2x2−4x+6=2x−12+4≥4， 故不存在实数x，使2x2−4x+6得值为0， 当x=1时，2x2−4x+6有最小值为4，不存在最大值， 当2x2−4x+6=4时，解得：x1=x2=1； 故（1）（2）（4）正确，（3）错误； 故答案为：C．【分析】先将代数式进行配方，根据完全平方式的非负性即可求得代数式的范围，再逐一判断. 13．【答案】1 【解析】【解答】解：由韦达定理可知x1+x2=2,x1·x2=−1∴x1+x2+x1x2=2+(−1)=1 故答案为：1. 【分析】一元二次方程根与系数之间存在韦达定理的关系，即x1+x2=−ba,x1·x2=ca，整体代入即可求出答案。 14．【答案】10 【解析】【解答】解：x2-6x+8＝0 （x-4）(x-2)=0 解得x=4或x=2， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，错误三角形三边关系，不能组成三角形，故舍去， 当等腰三角形的三边为2，4，4时，正确三角形三边关系，能组成三角形，此时周长为2+4+4=10 故答案为：10． 【分析】先求出方程的解，再分两种情况，利用三角形三边的关系及等腰三角形的周长公式求解即可。 15．【答案】26-x 【解析】【解答】解：设通道的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为(40-2x)m，(26-x)m；根据题意即可得出方程为：(40-2x)(26-x)=144×6. 故答案为：26-x. 【分析】如果设通道的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为(40-2x)m，(26-x)m；那么根据每一块草坪的面积都为144m2，可得出方程. 16．【答案】x（60-x）＝864 【解析】【解答】解：设宽为x步，则长为（60-x）步，根据题意得：x（60-x）＝864．故答案为：x（60-x）＝864．【分析】由题意知，长和宽一共60，设宽为x，则长为（60－x），根据等量关系面积为864即可列出方程． 17．【答案】（1）解：x2+8x−9=0， x−1x+9=0， x−1=0,x+9=0， （2）解：x2−6x+4=0∵Δ=−62−4×1×4=20>0，∴x=−−6±202×1=6±252=3±5，∴x1=3+5,x2=3−5． 【解析】【分析】（1）利用因式分解法得到x−1x+9=0，求解即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． （1）解：x2+8x−9=0， x−1x+9=0， x−1=0,x+9=0， x1=1,x2=−9． （2）解：x2−6x+4=0 ∵Δ=−62−4×1×4=20>0， ∴x=−−6±202×1=6±252=3±5， ∴x1=3+5,x2=3−5． 18．【答案】（1）解：由题意得a=1,b=−2,c=k−1， ∴Δ=(−2)2−4(k−1)=8−4k≥0，解得k≤2； （2）解：由根与系数的关系得x1+x2=2,x1x2=k−1，x12−2x1+k−1=0 ∴x12=2x1−k+1 ∵x2x1+x1x2=x12+2x2−1， ∴(x1+x2)2−2x1x2x1x2=2x1+x2−k， ∴4k−1=6−k，解得k=2或5， 由（1）知k≤2，则k=2． 【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个实数根，则判别式∆=b2−4ac≥0，解不等式即可求出答案.（2）根据二次方程根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=k−1，将x=x1代入方程可得x12=2x1−k+1，再整体等式，解方程即可求出答案. （1）解：由题意得a=1,b=−2,c=k−1， ∴Δ=(−2)2−4(k−1)=8−4k≥0，解得k≤2； （2）解：由根与系数的关系得x1+x2=2,x1x2=k−1，x12−2x1+k−1=0 ∴x12=2x1−k+1 ∵x2x1+x1x2=x12+2x2−1， ∴(x1+x2)2−2x1x2x1x2=2x1+x2−k， ∴4k−1=6−k，解得k=2或5， 由（1）知k≤2，则k=2． 19．【答案】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，∴方程②的根为x1＝13，x2＝12；（2）∵方程①有一根为x＝r，∴r2+br+a＝0，两边同除r2得ar2+br+1＝0，∴1r是方程ax2+bx+1＝0的根，∴x＝1r是方程②的根；（3）∵a2b+b＝0，∴b＝0，∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝1a，∴a＝1st＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，∴ms＝nt，∴msnt＝1． 【解析】【分析】（1）对于方程 ① 可根据根与系数的关系即可求得a、b的值，再代入到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；（2）根据方程根的定义得到r2+br+a=0，两边同除r2得ar2+br+1＝0，即可证得x=1r是方程②的根；（3）根据题意b=0，根据根与系数的关系得到m+n=0，s+t=0，从而得到m=-n，s=-t，即可得到ms=nt，进而求得msnt=1． 20．【答案】（1）解：∵x2+4x−6=x2+4x+4−10=x+22−10， 又∵x+22≥0， ∴x+22−10≥−10， 故当x=−2时， 多项式x2+4x−6有最小值，最小值为−10； （2）解：由题知， 原式=2x2+5x+x−102+x2， ∵x2+5x+2=0， ∴x2+5x=−2，2+x2=−5x， 则原式=2×−2+x+2x =x2+2x−4 =−5xx−4 =−5−4 =−9； （3）证明：∵x2+8x+20=x2+8x+16+4=x+42+22， 而a2+b2的形式不能分解因式， ∴关于x的二次三项式x2+8x+20在实数范围内不能因式分解． 【解析】【分析】（1）根据配方法可把原式变形为x+22−10，根据偶次方的非负性可得出多项式x2+4x−6有最小值，最小值为−10； （2）首先把原式变形为：2x2+5x+x−102+x2，然后再根据已知条件x2+5x+2=0， 可得出x2+5x=−2，2+x2=−5x，进而整体代入，并进行计算即可； （3）把已知多项式进行变形可得出（x+4)2+22，不符合平方差公式的特征，即可得出不能进行因式分解。 （1）解：∵x2+4x−6=x2+4x+4−10=x+22−10， 又∵x+22≥0， ∴x+22−10≥−10， 故当x=−2时， 多项式x2+4x−6有最小值，最小值为−10； （2）解：由题知， 原式=2x2+5x+x−102+x2， ∵x2+5x+2=0， ∴x2+5x=−2，2+x2=−5x， 则原式=2×−2+x+2x =x2+2x−4 =−5xx−4 =−5−4 =−9； （3）证明：∵x2+8x+20=x2+8x+16+4=x+42+22， 而a2+b2的形式不能分解因式， ∴关于x的二次三项式x2+8x+20在实数范围内不能因式分解． 21．【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)， 由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450， 化简、整理，得：2x2-65x+275=0， 解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)， 答：纸盒的高为5cm. （2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)， 由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912， 化简、整理，得：x2+20x-44=0， 解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)， 答：裁去的正方形的边长为2cm. 【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；(2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论. 22．【答案】（1）四 （2）解：∵关于x的方程x2+6x+m=0是“三倍根方程”，可设这个方程的两个根分别为n，3n，∴n+3n=−6，n⋅3n=m，∴n=−32，∴m=3n2=274； （3）解：设直线BC解析式为y=kx+b，把B−1,0，C1,4代入到y=kx+b中得−k+b=0k+b=4，∴k=2b=2，∴直线BC解析式为y=2x+2；∵一个五倍根方程的两个根为x1和x20