八年级数学下册 第17章《一元二次方程及其应用》 单元测试题 沪科版（含解析）

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八年级数学下册 第17章《一元二次方程》 单元测试题 沪科版 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分. 1．下列说法中，正确的是 （　　） A．形如 ax2+bx+c=0的方程叫做一元二次方程 B．方程 2x2+3x=6不含常数项 C．一元二次方程中，一次项系数、常数项不能为0 D．2−x2=0是一元二次方程 2．某超市一月份的营业额为250万元，二月份、三月份每月的营业额逐月递增，到三月底，这三个月总营业额为 910万元.设营业额的月平均增长率为x，由题意可列方程为 (　　) A．2501+x2=910 B．250+250(1+2x)=910 C．250(1+2x)=910 D．250+250(1+x)+250(1+x)2=910 3．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)一个实数根为x=2024，则方程cx2+bx+a=0一定有实数根x=（　　） A．2024 B．12024 C．-2024 D．−12024 4． 已知x1，x2是关于x的方程 x2−2m+1x+m2+5=0的两个实数根，已知等腰△ABC的一边长为3，若x1，x2恰好是△ABC另外两边长，则△ABC周长为(　　) A．9 B．9或11 C．13 D．9或13 5．若关于x的一元二次方程 ax2+bx+5=0有一个根为2025，则方程 ax+12+b（x+1）=-5必有一个根为 （　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 6． 已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c=0②cx2+bx+a=0（a≠c≠0）.甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程①有一个解为x=m（m≠0），则方程②一定有一个解为×=1m 乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x1=1，x2=-1 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 7．已知关于x的方程a(x−1)(x−m)=0与a(x−n)2=b有相同的解，则m与n之间的等量关系为（　　） A．m+n=1 B．m−n=1 C．m+2n=−1 D．m−2n=−1 8．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示。 上述求解过程中，错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的情况，有以下四种表述： ①当a0，a+c0，b−c0， 又∵a0，a+b+c0，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ④∵b+4a=0，4a+2b+c=0， ∴b=−4a，c=4a， ∴Δ=−4a2−4⋅4a⋅a=0， ∴方程有两个相等的实数根，原说法错误； 故答案为：B．【分析】利用根的判别式“对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac0， ∴Δ=b2−4ac=b2+(−4ac)>0， ∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； 故②符合题意； ∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根， ∴ac2+bc+c=0， 即c(ac+b+1)=0 当c≠0时，一定有ac+b+1=0成立； 当c=0时，则ac+b+1=0不一定成立，例如：方程3x2+2x=0，则ac+b+1=3≠0； 故③不符合题意； ∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， ∴ax02+bx0+c=0， ∴c=−ax02−bx0， ∴b2−4ac=b2−4a(−ax02−bx0)=4ax02+4ax0+b2=(2ax0+b)2， 故④符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式逐项判断即可。 12．【答案】A 【解析】【解答】解：设t秒后，S△PCQ=4， 由题意得：BP=t，CQ=2t，则CP=5−t ∵S△PCQ=12CQ⋅CP ∴4=12×2t⋅(5−t) 整理得：t2−5t+4=0 解得：t1=1，t2=4（不合题意，舍去）， 即1秒后，△PCQ的面积等于4， 故答案为：A． 【分析】根据动点运动的路程表示出线段的长度，根据三角形的面积公式列出方程，求解即可． 13．【答案】1（答案不唯一，k0， x1,2=−5±1212， 即x1=3，x2=−8； （2）2x−12−8=0， 两边同除以2，得x−12−4=0， 方程左边分解因式，得x−1+2x−1−2=0， 所以x−1+2=0或x−1−2=0， 解得x1=−1，x2=3； （3）y+31−3y=1+2y2， 去括号，得3−8y−3y2=1+2y2， 移项，得1+2y2+3y2+8y−3=0， 合并同类项，得5y2+8y−2=0， a=5，b=8，c=−2， b2−4ac=82−4×5×−2=104>0， 所以y1=−26−45，y2=26−45； （4）设1997−x=a， 则原方程可化为a2+a−12=1， 去括号，得2a2−2a+1=1， 即2a2−2a=0， 所以2aa−1=0， 所以2a=0或a−1=0， 解得：a=0或a=1， 所以1997−x=0，1997−x=1， 解得：x1=1997，x2=1996． 18．【答案】（1）二 （2）解：3x(3x−1)=−(3x−1)， 3x(3x−1)+(3x−1)=0， (3x−1)(3x+1)=0， 3x−1=0或3x+1=0， 所以x1=13，x2=−13． 【解析】【解答】解：(1)他从第二步开始出现了错误，故答案为：二.【分析】(1)第二步不符合等式的性质；(2)先移项得到3x(3x-1)+(3x-1)=0，再利用因式分解法把方程转化为3x-1=0或3x-1=0，然后解两个一次方程. 19．【答案】（1）解：由表格可知：一元二次方程和关联方程的系数特征是：二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数， 一元二次方程和关联方程的根的关系特征是：对应根互为相反数； （2）解：方程x2−2x−4=0和x2+2x−4=0是关联方程，理由如下： 方程x2−2x−4=0和x2+2x−4=0的二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合（1）中描述的特征，故它们是关联方程； 方程x2−2x−4=0的根是：x1=1+25，x2=1−25， 方程x2+2x−4=0的根是：x1=−1−25，x2=−1+25， 它们的两个根对应互为相反数，符合根的关系特征； （3）证明：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2−4ac≥0）的根是：x=−b±b2−4ac2a， 它的关联方程ax2−bx+c=0的根是：x=b+b2−4ac2a， ∴它们的两个根对应互为相反数． 【解析】【分析】(1)通过观察表格信息即可发现并得出一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征；(2)根据一元二次方程和关联方程的系数特征进行判断即可；利用公式法求解两个方程，并判断两个方程的根是否符合根的关系特征即可；(3)利用公式法解一元二次方程及其关联方程，并判断两个方程的根是否符合根的关系特征即可. 20．【答案】（1）10；15；y=12x(x−1) （2）解：依题意，得：x(x−1)2=300 化简，得：x2﹣x﹣600＝0， ∴（x﹣25）（x+24）＝0， ∴x﹣25＝0或x+24＝0， ∴x1＝25，x2＝﹣24（不合题意，舍去）． 答：该班共有25名女生． 【解析】 【解答】解：（1）由图可知：第四个图中 y的值为10， 第五个图中 y的值为15通过探索发现，通话次数 y与该班级人数 x之间的关系式为y=12x(x−1)故答案为：10；15；y=12x(x−1)【分析】（1）根据表格信息进行判断即可求出答案.（2）将y=300代入关系式，解方程即可求出答案. 21．【答案】（1）解：设每个小摆件的售价为x元，则每个大摆件的售价为(2x+60)元，根据题意得： x+2x+60=420， 解得：x=120， 2×120+60=300（元）， 答：每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是300元和120元． （2）解：调整后，当天大摆件的销量为30−12m个，小摆件的销量为100+52m个，小摆件的价格为120−2m元，根据题意得： 30030−12m+120−2m100+52m=20520， 解得：m1=6，m2=−16（舍去）， 120−2×6=108（元）， 答：降价后的小摆件的价格为108元． 【解析】【分析】（1）设每个小摆件的售价为x元，则每个大摆件的售价为(2x+60)元，根据一个大摆件的价格+一个小摆件的价格=420元，列出方程，解方程即可； （2）先表示出调整后，当天大摆件的销量为30−12m个，小摆件的销量为100+52m个，小摆件的价格为120−2m元，然后根据单个的利润×销售数量=总利润及销售30−12m个大摆件的利润+销量100+52m个小摆件的利润=20520元，列出方程，解方程即可． 22．【答案】解：（1）40（2）将纸板①裁去角上4个长宽之比为1:2的小长方形，设裁剪小长方形的宽为2n，长为n，则折成储物盒底面长=原纸板长-4n，底面宽=原纸板宽-2n，由（1）知a=40cm，故折成储物盒底面长=60-4n，底面宽=40-2n，当储物盒的底面积是832cm2时 ，有（60-4n）（40-2n）=832，化简得n2−35n+196=0，解得n=7或n=28，当n=28时，折成储物盒底面长=60-4n=60-4x28=-52