内蒙古自治区鄂尔多斯市伊金霍洛旗2025-2026学年九年级上学期1月期末 数学试题

这是一份内蒙古自治区鄂尔多斯市伊金霍洛旗2025-2026学年九年级上学期1月期末 数学试题，共11页。试卷主要包含了本试卷共6页，满分100分，若，则下列方程中，以为根的是等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共6页，满分100分。考试时间为90分钟。
2.答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置。请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
3.答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．下列事件是随机事件的是（ ）
A．一匹马奔跑的速度是700米/秒B．射击运动员射击一次，命中10环
C．两个负数的和是负数D．在只装有白球的袋子中摸出黑球
2．若，则下列方程中，以为根的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，中，，把绕点逆时针旋转40°，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．90°
4．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为人，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
5．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“简车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，简车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．2米B．4米C．米D．米
6．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流与使用电器的总功率的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量与的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时，B．每增加的增加量相同
C．随的增大而增大D．越大，插线板电源线产生的热量越多
7．如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点，分别在，上，点在上．若，则图中阴影部分面积的和为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，一段抛物线记为抛物线，它与轴交于两点将抛物线绕点旋转180°得到抛物线交轴于两点：将抛物线绕点旋转得到抛物线交轴于两点……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A．6B．-6C．8D．-8
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。9．某射击运动员在相同的条件下的成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是______（精确到0.1）．
10．如图，是正五边形的外接圆，点为上的一点，，则的度数为______．
11．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为斜边作，则边上的中线的最小值为______．
12．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，，将绕点旋转，使点落在轴上，则此时点的坐标为______．
三、解答题：本大题共有6小题，共64分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
13．（本小题满分8分）用适当方法解下列方程
（1）；（2）
14．（本小题满分7分）已知函数的图象如图所示，图像过，，根据图象回答下列问题．
（1）关于的方程的解为______．关于的不等式的解集为______．
（2）如果关于的方程无实数根，求的取值范围．
15．（本小题满分11分）
小明正在参加数学竞赛，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有3个选项第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一道题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一道题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率为______；
（2）如果小明将“求助”留在第二道题使用，请用画树状图法或列表法求小明顺利过关的概率．
（3）请你从概率的角度分析，建议小明在第几道题使用“求助”，才能使他顺利过关的概率较大．
16．（本小题满分12分）
如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
17．（本小题满分14分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为．
（1）求和的解析式；
（2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径；
（3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅益能否正常益上?请说明理由．
18．（本小题满分12分）如图，四边形中，对角线与交于点，且．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若是边上一点（H与，不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点分别作及延长线的垂线，垂足分别为，．设四边形的面积为，以为邻边的矩形的面积为，且．
①求证：；
②当时，求的长．
2025-2026学年第一学期期末质量监测试卷评分说明及作答示例
九年级数学（100分）
一、选择题：
二、填空题：
9．0.8； 10．100°；11．2； 12．或
三、解答题：共有6小题，共64分。
13．（8分）每小题4分，解方程方法不限，按步骤给分。
（1）解：
．
．
（2）解：
．
．
14．（1）关于的方程的解为．
关于的不等式的解集为或．（每空2分，只写一个解不给分）
（2）解：
方程无实根．．
15．（11分）（1）如果小明第一道题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概系为.
（2）解：分别用A，B，C表示第一道题的3个选项，a，b，c表示使用“求助”后第二道题剩下的3个选项，画树状图如下：
可知共有9种等可能的结果，其中小明顺利过关的结果只有有1种，
．
（3）如果小明在第一道题使用“求助”，那么他顺利过关的概率为；如果小明在第二道题使用“求助”，那么他顺利过关的概率为，
，建议小明在第一道题使用“求助”．（没有数据分析，只给结论给1分）
16．本题（12分）（注意多种证法，不同证法参照下面答案给分）
证明：（1）证明：如图1，连接，
，，
是的切线，，
，，
，；
（2）证明：如图2，连接、，
由（1）可知，，，
，
，．
为的直径，，
，即为的中点，
．，．
（3）过点作于，设，
过圆心，．
，，
，
四边形为矩形，
在中，，
即，
，．
17．本题（14分）（1）由于抛物线顶点，且过点
设的解析式为：
把代入，得
即：抛物线．
同理由于抛物线顶点，过点
设的解析式为：
把代入解得：
即：抛物线．
（2）当炒菜锅里的水位高度为时，
，即，
解得：，
此时水面的直径为．
（3）锅盖不能正常盖上，理由如下：
当时，抛物线，
抛物线，
而，
锅盖不能正常盖上．
18．本题（12分）证明：，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形是矩形，
，
，
，即，
矩形是正方形；
（2）解：①，，四边形是正方形，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
在和中，
；
②，四边形是正方形，
，
，
，
，．
设，则，
，
四边形是正方形，
，
，
（舍去）或，
故的长为．射击次数
20
40
100
200
400
1000
射中9环以上次数
15
33
78
158
321
801
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
B
D
A
A
C
B
B
D