北师大版（2024）1 平均数与方差获奖ppt课件

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北师大（2024）版数学8年级上册第六章 数据的分析6.1.2加权平均数一般地，对于n个数x1 ，x2 ，… ，xn ，我们把 1.什么是算术平均数？2.什么是加权平均数？第 1 页：封面标题：6.1.2 加权平均数副标题：人教版初中数学七年级下册制作者：XXX背景图：权重占比饼图 + 加权平均数公式 + 实际应用场景（成绩核算、商品定价），突出核心主题第 2 页：情境导入 —— 为什么需要加权平均数？回顾旧知：算术平均数：\(\bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\)，适用于所有数据 “重要程度相同” 的场景（如 5 名学生的平均成绩）；上节课伏笔：例 5 中 “笔试占 60%，面试占 40%” 的综合成绩计算，已涉及 “权重” 思想。问题情境：情境 1（成绩核算）：某班期末考试，语文、数学、英语的权重分别为 3、4、3，某学生三科成绩分别为 85 分、92 分、88 分，如何计算综合成绩？情境 2（商品定价）：某超市购进 A、B 两种大米，A 种 50 千克，单价 6 元 / 千克；B 种 30 千克，单价 8 元 / 千克，求混合后大米的平均单价？思考设问：上述情境中，能直接用算术平均数计算吗？（如（85+92+88）÷3 或（6+8）÷2）为什么需要考虑 “权重”？（不同数据对结果的影响程度不同）课题引入：今天我们学习算术平均数的拓展 —— 加权平均数，掌握 “考虑数据重要程度” 的平均数计算方法！第 3 页：探究一：权重的定义与意义一、核心概念（加粗）权重：衡量数据 “重要程度” 或 “出现频率” 的数值，记作\(w_1, w_2, ..., w_n\)（权重可以是比例、次数、百分比等）。常见权重形式：次数权重：如 “80 分（3 人）、85 分（5 人）” 中，3 和 5 是对应分数的次数权重；比例权重：如 “笔试占 60%，面试占 40%” 中，60% 和 40% 是比例权重；系数权重：如 “语文 3、数学 4、英语 3” 中，3、4、3 是系数权重。二、权重的实际意义权重反映数据对 “最终结果” 的影响程度：权重越大，对应数据对结果的影响越显著。示例：成绩核算中，数学权重 4（最高），说明数学成绩对综合成绩的影响最大。第 4 页：探究二：加权平均数的定义与公式一、核心概念（加粗）加权平均数：若一组数据\(x_1, x_2, ..., x_n\)对应的权重为\(w_1, w_2, ..., w_n\)，则这组数据的加权平均数为：\( \bar{x} = \frac{x_1w_1 + x_2w_2 + ... + x_nw_n}{w_1 + w_2 + ... + w_n} \)符号说明：\(x_i\)：第 i 个数据的数值；\(w_i\)：第 i 个数据的权重；分子：数据与对应权重的乘积和（加权和）；分母：所有权重的和（确保权重占比合理）。二、公式特例（加粗）当权重为 “次数” 时（如数据重复出现）：公式简化为：\(\bar{x} = \frac{x_1n_1 + x_2n_2 + ... + x_nn_n}{n_1 + n_2 + ... + n_n}\)（\(n_i\)为数据出现的次数）；本质：与上节课 “含重复数据的算术平均数” 一致（如例 3 中，次数 3、5、8、4 是权重）。当权重为 “百分比” 时（比例权重）：公式简化为：\(\bar{x} = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n\)（\(p_i\)为百分比权重，且\(p_1+p_2+...+p_n=1\)）；示例：笔试 85 分（60%）、面试 90 分（40%），综合成绩 = 85×60% + 90×40% = 87 分。当所有权重相等时（\(w_1=w_2=...=w_n\)）：加权平均数 = 算术平均数（如权重均为 1 时，\(\bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\)）；结论：算术平均数是加权平均数的特殊情况（权重相等）。第 5 页：例题讲解（基础题型：不同权重形式）例 1：次数权重（重复数据）题目：某车间 10 名工人的日产量（单位：件）为：50（2 人）、60（3 人）、70（4 人）、80（1 人），求平均日产量。解：权重\(w_1=2, w_2=3, w_3=4, w_4=1\)；加权和 = 50×2 + 60×3 + 70×4 + 80×1 = 100 + 180 + 280 + 80 = 640；权重和 = 2+3+4+1=10；平均日产量\(\bar{x} = \frac{640}{10} = 64\)（件）；答：平均日产量为 64 件。例 2：比例权重（百分比）题目：某公司招聘，笔试、面试、实习成绩的权重分别为 30%、40%、30%，应聘者小李三项成绩分别为 90 分、85 分、92 分，求小李的综合成绩。解：综合成绩 = 90×30% + 85×40% + 92×30%；=27 + 34 + 27.6 = 88.6（分）；答：小李的综合成绩为 88.6 分。例 3：系数权重（比例系数）题目：某学科的平时作业、单元测验、期末考试权重比为 2:3:5，某学生三项成绩分别为 80 分、85 分、90 分，求该学生的学期成绩。解：权重\(w_1=2, w_2=3, w_3=5\)，权重和 = 2+3+5=10；学期成绩\(\bar{x} = \frac{80×2 + 85×3 + 90×5}{10}\)；= \(\frac{160 + 255 + 450}{10} = \frac{865}{10} = 86.5\)（分）；答：该学生的学期成绩为 86.5 分。第 6 页：例题讲解（实际应用：混合配比问题）例 4：商品混合定价题目：某水果店购进两种苹果，A 种苹果 150 千克，进价 4 元 / 千克；B 种苹果 100 千克，进价 6 元 / 千克。若两种苹果混合销售，要保证不亏本，混合后的最低售价为多少元 / 千克？解：核心：混合后的平均进价 = 总进价 ÷ 总重量（权重为购进重量）；总进价 = 150×4 + 100×6 = 600 + 600 = 1200（元）；总重量 = 150 + 100 = 250（千克）；平均进价\(\bar{x} = \frac{1200}{250} = 4.8\)（元 / 千克）；答：混合后的最低售价为 4.8 元 / 千克。例 5：人口平均年龄题目：某小区有三个年龄段的居民：青少年（200 人，平均年龄 15 岁）、成年人（500 人，平均年龄 40 岁）、老年人（300 人，平均年龄 65 岁），求该小区居民的平均年龄。解：权重为各年龄段人数，加权和 = 200×15 + 500×40 + 300×65；=3000 + 20000 + 19500 = 42500；总人数 = 200+500+300=1000；平均年龄\(\bar{x} = \frac{42500}{1000} = 42.5\)（岁）；答：该小区居民的平均年龄为 42.5 岁。第 7 页：加权平均数与算术平均数的区别与联系一、核心对比（加粗）统计量适用场景权重特点公式本质算术平均数数据重要程度相同所有权重相等（\(w_1=w_2=...\)）加权平均数的特殊情况加权平均数数据重要程度不同或重复权重可不同（次数、比例等）考虑权重的 “公平” 平均数二、关键提醒（加粗）选择哪种平均数，核心看 “数据是否有差异权重”：无差异（如 5 名学生的单人成绩）→ 算术平均数；有差异（如成绩权重、商品销量、人口数量）→ 加权平均数。计算加权平均数时，务必确保 “权重与数据一一对应”，且权重和不为 0。第 8 页：解题技巧与易错点一、核心技巧权重转化：比例权重（如 2:3:5）可直接作为权重代入公式，无需转化为百分比；百分比权重（如 30%、40%）可转化为小数（0.3、0.4）计算，简化运算。公式选择：数据重复→用 “次数权重” 公式（加权和 = 数值 × 次数和）；重要程度不同→用 “比例 / 系数权重” 公式；实际应用：混合配比、平均定价问题→权重为 “数量 / 重量”；成绩、绩效核算→权重为 “比例 / 系数”。二、常见易错点权重混淆：误将数据当作权重（如例 3 中，把成绩 80、85、90 当作权重，3、4、3 当作数据）；比例权重求和不为 1 时，未统一权重（如权重 20%、30%、40%，需补充 10% 或检查数据）。计算错误：加权和漏乘权重（如例 2 中，误算为 90+85×0.4+92×0.3）；权重和计算错误（如例 1 中，误将权重和算成 2+3+4=9，遗漏 1）。场景误判：数据有重复或权重差异时，强行用算术平均数（如混合大米单价用（6+8）÷2=7 元 / 千克，导致结果错误）。第 9 页：课堂练习基础题：（1）某小组 5 名学生的数学作业得分：90（1 人）、85（2 人）、80（2 人），求平均得分；（2）某员工的绩效由工作态度（权重 20%）、工作能力（30%）、工作业绩（50%）组成，三项得分分别为 80 分、85 分、90 分，求绩效总分。提升题：某超市购进 A、B、C 三种饮料，A 种 20 箱，单价 30 元 / 箱；B 种 30 箱，单价 25 元 / 箱；C 种 50 箱，单价 20 元 / 箱，求三种饮料的平均单价。拓展题：某校七年级两个班的数学平均分分别为 85 分和 90 分，一班有 40 人，二班有 60 人，求七年级的数学平均成绩（提示：权重为班级人数）。第 10 页：课堂小结核心内容：权重：数据重要程度或出现频率的衡量标准；加权平均数公式：\(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_iw_i}{\sum_{i=1}^n w_i}\)；应用场景：数据重要程度不同、数据重复、混合配比等。数学思想：公平性思想：加权平均数能更公平地反映数据的实际影响；转化思想：将比例、次数等权重转化为统一形式计算；应用思想：根据实际场景选择合适的平均数统计量。关键收获：掌握加权平均数的定义和不同权重形式的计算方法；能根据实际问题判断是否需要用加权平均数；体会加权平均数在生活、商业、教育中的广泛应用。第 11 页：布置作业教材习题 6.1 第 4、6、7、8 题；实践题：调查本班同学的各科成绩权重（如语文 3、数学 4、英语 3、体育 2），计算自己的综合成绩，并与算术平均数对比，分析差异原因；思考题：当权重发生变化时（如数学权重从 4 改为 5），综合成绩会如何变化？这说明什么？ 一般地,如果在n个数中,x1出现f1次,x2出现f2次, ……，xk出现fk次(这时 f1+f2+……+fk=n ),那么这n个数的加权平均数为问题一 某学校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐(每项满分10分),其中三个班级的成绩分别如下：（1）若将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%，20%，30%，40%的比例计算各班的广播操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？（2）你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案.根据你的评分方案，哪一个班的广播操比赛成绩最高？与同伴进行交流.解:(1)一班的广播操成绩为： 9×10%＋8×20%＋9×30%＋8×40%=8.4(分) 二班的广播操成绩为： 10×10%＋9×20%＋7×30%＋8×40%=8.1(分) 三班的广播操成绩为： 8×10%＋9×20%＋8×30%＋9×40%=8.6(分) 因此，三班的广播操成绩最高. (2)权有差异，得出的结果就会不同，也就是说 权的差异对结果有影响. 小颖家去年的饮食支出为3600元，教育支出为1200 元，其他支出为7200 元.小颖家今年的这三项支出依次比去年增长了9%，30%，6%，小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？ 以下是小明和小亮的两种解法，谁做得对？说说你的理由. 小明:(9%+30%+6%)÷3=15% 小亮:(9%×3600+30%×1200+6%×7200) ÷(3600+1200+7200)=9.3%问题二 由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此，饮食、教育和其他三项支出的增长率“地位”不同，它们对总支出增长率的“影响”不同，不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额3600，1200,7200分别视为三项支出增长率的“权”，从而总支出的增长率为小亮的解法是对的. 日常生活中的许多“平均” 现象是“加权平均”. 你能举出生活中加权平均数的实例吗？你知道大学里学期总评成绩是如何计算的吗？ 是否简单地将平时成绩与考试成绩相加除以2呢？是按照“平时成绩40%，考试成绩60%”的比例计算， 假如平时成绩70分，考试成绩为90分，那么学期总评成绩为多少？70×40%+90×60%=82（分）82分是上述两个成绩的加权平均数解:(1)1小明的平均速度是(15×1+5×1)÷(1+1)=10（千米/时）.(2)小明的平均速度是(15×2+5×3)÷(2+3)=9（千米/时）,小明骑自行车的速度是15千米/时，步行的速度是5千米/时.(1)如果小明先骑自行车1小时，然后又步行了1小时，那么他的平均速度是多少？(2)如果小明先骑自行车2小时，然后步行了3小时，那么他的平均速度是多少？你能从权的角度来理解这样的平均速度吗？小明骑自行车和步行的时间2小时，3小时分别是骑自行车和步行速度的权.射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是_________环．8.5　1.面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分，70分，85分，若依次按 30%，30%，40% 的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是多少？解:80×30%+70×30%+85×40%=79(分)答：这个人的面试成绩是79分.知识点1 加权平均数 C  返回 BA.9.3分B.8.9分C.9分D.9.6分 返回 85.8 返回知识点2 加权平均数与算术平均数的关系 D  返回5.某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”。下表是小明和小勇两名同学某学科的成绩。（1）若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，则小明的学期综合评价成绩为____分；85 不能 返回加权平均数的应用加权平均数的影响加权平均数的实际应用权的不同，导致结果不同，故权的差异对结果有影响谢谢观看！