2024-2025学年河南省郑州市中原区八年级（上）期末数学试卷含答案

这是一份2024-2025学年河南省郑州市中原区八年级（上）期末数学试卷含答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）实数的相反数是（ ）
A．B．2C．D．
2．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．正比例函数的图象一定经过原点
B．直角三角形的两锐角互余
C．x轴上的点的横坐标均为0
D．两直线平行，同位角相等
3．（3分）已知△ABC的三边为a、b、c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝5B．∠A+∠B＝∠C
C．a2+b2＝c2D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点A的坐标为（﹣3，3），表示尾部点B的坐标为（2，1），则表示足部点C的坐标为（ ）
A．（0，2）B．（﹣1，0）C．（0，﹣1）D．（0，0）
6．（3分）如图是一副初中专用三角尺拼成的图案，∠A＝∠E＝90°，∠B＝30°，∠D＝45°，AB∥CD，则∠BCE的度数为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
7．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）某校竞选学生会主席分为现场演讲和答辩两个环节，其中现场演讲分占80%，答辩分占20%，小明参加并在这两个环节中分别取得85分和90分的成绩，则小明的最终成绩为（ ）
A．80分B．84分C．86分D．88分
9．（3分）已知点（﹣4，y1），（2，y2），（5，y3）都在直线y＝﹣2x+1上，则y1，y2，y3大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．不能确定
10．（3分）电子体重秤原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，已知R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），如图所示．下列说法不正确的是（ ）
A．b＝240
B．可变电阻R1随着踏板上人的质量m的增加而减小
C．当踏板上人的质量m每增加10千克，可变电阻R1减小20欧
D．当可变电阻R1为90欧时，对应测得人的质量m为60千克
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个比1大的无理数是 ．
12．（3分）如图，春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，A，B两处灯笼的位置关于y轴对称，若点B的坐标为（1，3），则点A的坐标为 ．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx﹣1与y＝﹣x+b图象的交点为A（2，3），则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
14．（3分）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知AE+BF＝20m，BC＝10m，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程．
15．（3分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，AB＝4，点D是BC边上的一点（不与B、C重合），连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处．当△BDE是直角三角形时，CD的长为 ．
三、解答题（8小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上确定一点P，使PA+PB最小，请直接写出点P的坐标．
18．（9分）文明和卫生是一座城市最亮的底色，也是一座城市最好的名片．中原区某校开展“文明城市，你我共建”知识竞赛活动，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：
74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
八年级10名学生在B等级中的数据为：
81，82，84，88，88．
两年级平均数、中位数、众数、方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有950名学生，八年级有1000名学生，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀（C等级）的学生总人数．
19．（9分）如图，线段AD与CE、BF分别交于点G、H，如果∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠3（ ），
∴CE∥BF（ ），
∴…
请在括号内填写所缺的依据，并完成本题的证明．
20．（9分）为加强劳动教育，落实五育并举，郑州市中原区某校在校园内建立了一处劳动教育基地．现学校选定基地中土壤水平及光照时长相同的一块地，来种植甲、乙两种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据．数据记录如下：
通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度y1，y2（单位：cm）与已种菜苗天数x（单位：天）均为一次函数关系．
（1）在平面直角坐标系中分别画出甲、乙两种菜苗的高度y1，y2关于已种菜苗天数x（x≥0）的函数图象，并求出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到60cm时成熟，请问哪种菜苗先成熟，并说明理由．
21．（9分）电器公司对某电器在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价50元，已知销售单价调整前甲地比乙地少100元，调整后甲地与乙地销售单价相同，求调整前甲、乙两地该电器的销售单价．
22．（10分）八年级（一）班新购进了一批课桌便携式挂钩，某数学小组利用课余时间完成了如下实践探究，形成了实验报告：
已知地面MN、桌面AE均为水平面，DP∥MN．
（1）如图是课桌挂钩的放大示意图，试猜想∠A+∠B+∠C+∠CDP的度数，并说明理由；
（2）已知EF为课桌的高度，挂钩顶端D到地面的距离为DG，该数学小组通过测量，得到以下数据：
请直接写出课桌挂钩顶端D到地面的距离DG．
23．（10分）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰直角△ACB的直角顶点C作直线l，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，已知点A的坐标为（2，1），求点B的坐标；
（2）如图3，直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A、C，直线BC过点C交x轴于点B，且∠CBA＝45°，求直线BC的表达式；
（3）在（2）的条件下，若点Q是直线AC上且位于第三象限的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标．
2024-2025学年河南省郑州市中原区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）实数的相反数是（ ）
A．B．2C．D．
【分析】在实数的前边加上“﹣”，求出实数的相反数即可．
【解答】解：实数的相反数是．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相反数的含义以及求法，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
2．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．正比例函数的图象一定经过原点
B．直角三角形的两锐角互余
C．x轴上的点的横坐标均为0
D．两直线平行，同位角相等
【分析】利用正比例函数的性质、直角三角形的性质、横轴上的点的坐标特点及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、正比例函数的图象一定经过原点，正确，是真命题，不符合题意；
B、直角三角形的两锐角互余，正确，是真命题，不符合题意；
C、x轴上的点的纵坐标均为0，故原命题错误，是假命题，符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义和定理，难度不大．
3．（3分）已知△ABC的三边为a、b、c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝5B．∠A+∠B＝∠C
C．a2+b2＝c2D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、∵a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，不符合题意；
C、∵a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据算术平方根、立方根的定义逐项计算判断即可．
【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、被开方数为﹣4，没有意义，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
5．（3分）褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点A的坐标为（﹣3，3），表示尾部点B的坐标为（2，1），则表示足部点C的坐标为（ ）
A．（0，2）B．（﹣1，0）C．（0，﹣1）D．（0，0）
【分析】根据A（﹣3，3）或B（2，1）确定原点位置并建立坐标系，从而得到点C的坐标．
【解答】解：根据A（﹣3，3）或B（2，1）确定原点位置，建立如图所示的坐标系：
根据坐标系，表示足部点C的坐标为（0，0）．
故选：D．
【点评】本题考查坐标确定位置，根据已知点的坐标确定原点位置并建立坐标系是解题的关键．
6．（3分）如图是一副初中专用三角尺拼成的图案，∠A＝∠E＝90°，∠B＝30°，∠D＝45°，AB∥CD，则∠BCE的度数为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
【分析】由平行线的性质推出∠BCD＝∠B＝30°，求出∠DCE＝90°﹣45°＝45°，即可得到∠BCE的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠B＝30°，
∵∠E＝90°，∠D＝45°，
∴∠DCE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝75°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BCD＝∠B．
7．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，可以列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
8．（3分）某校竞选学生会主席分为现场演讲和答辩两个环节，其中现场演讲分占80%，答辩分占20%，小明参加并在这两个环节中分别取得85分和90分的成绩，则小明的最终成绩为（ ）
A．80分B．84分C．86分D．88分
【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解．
【解答】解：小明的最终成绩为：85×80%+90×20%＝68+18＝86（分）．
故选：C．
【点评】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式列出算式是本题的关键．
9．（3分）已知点（﹣4，y1），（2，y2），（5，y3）都在直线y＝﹣2x+1上，则y1，y2，y3大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．不能确定
【分析】先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵点（﹣4，y1），（2，y2），（5，y3）都在直线y＝﹣2x+1上，﹣4＜2＜5，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数的增减性是解题的关键．
10．（3分）电子体重秤原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，已知R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），如图所示．下列说法不正确的是（ ）
A．b＝240
B．可变电阻R1随着踏板上人的质量m的增加而减小
C．当踏板上人的质量m每增加10千克，可变电阻R1减小20欧
D．当可变电阻R1为90欧时，对应测得人的质量m为60千克
【分析】A．结合图象，将m＝0代入R1＝km+b得到的R1的值即为b的值；
B．观察图象即可；
C．根据图象计算即可；
D．利用待定系数法求出R1与m的函数关系式，将R1＝90代入求出对应m的值即可．
【解答】解：当m＝0，R1＝b＝240，
∴A正确，不符合题意；
由图象可知，可变电阻R1随着踏板上人的质量m的增加而减小，
∴B正确，不符合题意；
240÷120×10＝20（欧），
∴当踏板上人的质量m每增加10千克，可变电阻R1减小20欧，
∴C正确，不符合题意；
将坐标（0，240）和（120，0）分别代入R1＝km+b，
得，
解得，
∴R1＝﹣2m+240（0≤m≤120），
当R1＝90时，得﹣2m+240＝90，
解得m＝75，
∴当可变电阻R1为90欧时，对应测得人的质量m为75千克，
∴D不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个比1大的无理数是 π ．
【分析】找出一个比1大的无理数即可．
【解答】解：比1大的无理数可以为：π（答案不唯一），
故答案为：π
【点评】此题考查了实数大小比较，以及无理数，熟练掌握无理数的定义是解本题的关键．
12．（3分）如图，春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，A，B两处灯笼的位置关于y轴对称，若点B的坐标为（1，3），则点A的坐标为 （﹣1，3） ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同来求解．
【解答】解：∵A，B两处灯笼的位置关于y轴对称，点B的坐标为（1，3），
∴A（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，理解关于y轴的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同是解答关键．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx﹣1与y＝﹣x+b图象的交点为A（2，3），则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
【分析】根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1与y＝﹣x+b图象的交点为A（2，3），
∴关于x，y的二元一次方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意是解题的关键．
14．（3分）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知AE+BF＝20m，BC＝10m，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 26 m的路程．
【分析】将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可．
【解答】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长，
原图长度增加（m），则AB＝20+4＝24（m），
连接AC，
在长方形ABCD中，AB＝24m，BC＝10m，
由勾股定理，得AC＝（m），
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26m的路程．
故答案为：26．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路线问题，解答中涉及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
15．（3分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，AB＝4，点D是BC边上的一点（不与B、C重合），连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处．当△BDE是直角三角形时，CD的长为 2或 ．
【分析】由勾股定理求出BC＝2，推出当△BDE是直角三角形时，∠BDE＝90°或∠BED＝90°，再折叠的性质与勾股定理分别计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝2，
∵点D是BC边上的一点（不与B、C重合），
∴∠DBE≠90°，
∴当△BDE是直角三角形时，∠BDE＝90°或∠BED＝90°，
①如图1，当∠BDE＝90°时，
则∠CDE＝90°，
由折叠可得：∠ADC＝∠ADE＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∴CD＝AC＝2，
②当∠BED＝90°时，
由折叠可得：∠AED＝∠C＝90°，∠CAD＝∠EAD，AC＝AE，
∴∠AED+∠BED＝180°，
∴点E在AB上，如图2，
∴AE＝AC＝2，BE＝AB﹣AE＝4﹣2＝2，∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝DE，
∵DE2+BE2＝BD2，
∴CD2+22＝（2﹣CD）2，
解得：CD＝，
综上所述，CD的长为2或，
故答案为：2或．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．
三、解答题（8小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）根据实数的运算方法进行计算即可；
（2）根据加减消元法，求出y的值，再代入求出x的值即可．
【解答】解：（1）原式＝2+2﹣1＝2+1；
（2），
②﹣①得，y＝3，
把y＝3代入①得，3+x＝1，
解得x＝﹣2，
所以原方程组的解为．
【点评】本题考查实数的运算，解二元一次方程组，掌握实数的运算方法以及二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上确定一点P，使PA+PB最小，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据割补法解答即可．
（3）连接A1B交x轴于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）△ABC的面积＝＝4；
（3）如图所示．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（9分）文明和卫生是一座城市最亮的底色，也是一座城市最好的名片．中原区某校开展“文明城市，你我共建”知识竞赛活动，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：
74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
八年级10名学生在B等级中的数据为：
81，82，84，88，88．
两年级平均数、中位数、众数、方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 86 ，b＝ 84 ，m＝ 30 ．
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有950名学生，八年级有1000名学生，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀（C等级）的学生总人数．
【分析】（1）先计算出八年级A等级人数，再根据中位数计算出八年级成绩的中位数，从而得到a的值，计算计算出八年级C组人，则可计算出八年级C组人数所占的百分比，从而得到m的值；然后根据众数的定义确定b的值；
（2）通过比较方差的大小可判断八年级的成绩比较稳定，从而得到八年级的成绩更好；
（3）用950乘以七年级C等级人数所占的百分比，用1000乘以八年级C等级人数所占的百分比，然后把两者相加即可．
【解答】解：（1）八年级A等级人数为10×20%＝2（人），
八年级成绩的中位数为×（84+88）＝86（分），
即a＝86；
所以八年级C等级人数为10﹣2﹣5＝3（人），
则m%＝×100%＝30%，
即m＝30；
七年级成绩的众数为84（分），
即b＝84；
故答案为：2，84，30；
（2）∵七年级成绩的平均数为86，八年级成绩的平均数为86.1，
而七年级成绩的方差为56，八年级成绩的方差为33.2，
∴八年级的成绩比较稳定，
∴八年级的成绩更好；
（3）950×+1000×30%＝585（人），
估计这两个年级竞赛成绩为优秀（C等级）的学生总人数为585人．
【点评】本题考查方差的定义：它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了众数、中位数．
19．（9分）如图，线段AD与CE、BF分别交于点G、H，如果∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠3（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠3（ 等量代换 ），
∴CE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴…
请在括号内填写所缺的依据，并完成本题的证明．
【分析】根据平行线的判定与性质求证即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠4，
∵∠A＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠4，
∴∠B＝∠C．
故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
20．（9分）为加强劳动教育，落实五育并举，郑州市中原区某校在校园内建立了一处劳动教育基地．现学校选定基地中土壤水平及光照时长相同的一块地，来种植甲、乙两种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据．数据记录如下：
通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度y1，y2（单位：cm）与已种菜苗天数x（单位：天）均为一次函数关系．
（1）在平面直角坐标系中分别画出甲、乙两种菜苗的高度y1，y2关于已种菜苗天数x（x≥0）的函数图象，并求出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到60cm时成熟，请问哪种菜苗先成熟，并说明理由．
【分析】（1）描点并连线，利用待定系数法求其函数有关系式即可；
（2）将当y1＝60和y2＝60分别代入对应函数，求出对应x的值并比较大小即可．
【解答】解：（1）y1，y2关于x的函数图象如图所示：
设y1关于x的函数关系式为y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（0，3）和（2，6）分别代入y1＝k1x+b1，
得，
解得，
∴y1关于x的函数关系式为y1＝x+3；
设y2关于x的函数关系式为y2＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0），
将坐标（0，8）和（2，10）分别代入y2＝k2x+b2，
得，
解得，
∴y2关于x的函数关系式为y2＝x+8．
（2）甲种菜苗先成熟．理由如下：
当y1＝60时，得x+3＝60，
解得x＝38；
当y2＝60时，得x+8＝60，
解得x＝52，
∵38＜52，
∴甲种菜苗先成熟．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
21．（9分）电器公司对某电器在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价50元，已知销售单价调整前甲地比乙地少100元，调整后甲地与乙地销售单价相同，求调整前甲、乙两地该电器的销售单价．
【分析】根据题意，找到题中调整后甲地与乙地销售单价相同的等量关系，列出方程即可解答．
【解答】解：设调整前甲地该电器的销售单价为x元，则调整前乙地该电器的销售单价为（x+100）元．
（1+10%）x＝x+100﹣50，
x＝500，
x+100＝600．
答：调整前甲、乙两地该电器的销售单价分别是500元、600元．
【点评】本题考查了百分数的应用，解题的关键是找准题中的等量关系来列方程．
22．（10分）八年级（一）班新购进了一批课桌便携式挂钩，某数学小组利用课余时间完成了如下实践探究，形成了实验报告：
已知地面MN、桌面AE均为水平面，DP∥MN．
（1）如图是课桌挂钩的放大示意图，试猜想∠A+∠B+∠C+∠CDP的度数，并说明理由；
（2）已知EF为课桌的高度，挂钩顶端D到地面的距离为DG，该数学小组通过测量，得到以下数据：
请直接写出课桌挂钩顶端D到地面的距离DG．
【分析】（1）延长DP交BC于点Q，则∠BQD＝∠C+∠CDP，过点B作AE∥ST，则∠A+∠ABS＝180°，根据题意得ST∥DQ，则∠SBC+∠BQD＝180°，结合∠A+∠ABC+∠C+∠CDP＝∠A+∠ABC+∠DQB＝∠A+∠ABS+∠SBC+∠BQD即可；
（2）连接AC交DP于点H，则AB＝BC，结合已知得∠BAC＝∠ACB＝45°和AC，进一步得∠DHC＝90°，则DH＝HC，且DH＝HC＝2，求得 AH＝AC﹣HC，再利用DG＝EF﹣AH即可．
【解答】解：（1）猜想：∠A+∠B+∠C+∠CDP 的度数为360°；
延长DP交BC于点Q，则∠BQD＝∠C+∠CDP，
过点B作AE∥ST，则∠A+∠ABS＝180°，
∵地面MN、桌面AE均为水平面，DP∥MN，
∴ST∥DQ，
∴∠SBC+∠BQD＝180°，
则∠A+∠ABC+∠C+∠CDP
＝∠A+∠ABC+∠DQB
＝∠A+∠ABS+∠SBC+∠BQD
＝180°+180°
＝360°；
（2）连接AC交DP于点H，如图，
∵，，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝45°，
∵∠CDP＝45°，
∴∠DHC＝90°，
∴DH＝HC，
∵，
∴DH＝HC＝2，
∴AH＝AC﹣HC＝10﹣2＝8，
∵EF＝83，
∴DG＝EF﹣AH＝83﹣8＝75cm，
答：课桌挂钩顶端D到地面的距离DG为75cm．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．（10分）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰直角△ACB的直角顶点C作直线l，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，已知点A的坐标为（2，1），求点B的坐标；
（2）如图3，直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A、C，直线BC过点C交x轴于点B，且∠CBA＝45°，求直线BC的表达式；
（3）在（2）的条件下，若点Q是直线AC上且位于第三象限的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）如图2，过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，根据垂直的定义得到∠BFO＝∠AOB＝∠AEO＝90°，得到∠OBF＝∠AOE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A，C，得到A（﹣1，0），C（0，2），求得B（2，0），设直线BC的表达式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；
（3）分∠BMQ＝90°、∠MQB＝90°、∠QBM＝90°三种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可．
【解答】解：（1）如图2，过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，
∴∠BFO＝∠AOB＝∠AEO＝90°，
∴∠OBF+∠BOF＝∠BOF+∠AOE＝90°，
∴∠OBF＝∠AOE，
∵OB＝OA，
∴△OBF≌△AOE（AAS），
∴AE＝OF，OE＝BF，
∵点A的坐标为（2，1），
∴AE＝1，OE＝2，
∴OF＝1，BF＝2，
∴点B的坐标为（﹣1，2）；
（2）∵直线y＝2x+（2分）别交x轴、y轴于点A，C，
∴A（﹣1，0），C（0，2），
∵∠CBA＝45°．
∴OB＝OC＝2，
∴B（2，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2；
（3）设点M（0，m），点Q（n，2n+2），
①如图4，当∠BMQ＝90°时，（点M在x轴上方），
分别过点Q、B作y轴的平行线QG、BH，过点M作x轴的平行线分别交GQ、BH于点G、H，
由（1）的模型可得：△MHB≌△QGM（AAS），
∴GQ＝MH，BH＝GM，
即：m＝﹣n，m﹣2n﹣2＝2，
解得m＝，n＝﹣；
故点Q（﹣，﹣）；
同理当点M在x轴下方时，
∴2n+2﹣m＝2，﹣m＝﹣n，解得：m＝n＝0（舍去）；
②当∠MQB＝90°时，如图5，
同理可得：﹣n＝﹣2n﹣2，2n+2﹣m＝2﹣n，
解得：m＝﹣6，n＝﹣2，
∴Q（﹣2，﹣2）；
③当∠QBM＝90°时，如图5，
同理可得：﹣2n﹣2＝2，m＝2﹣n，
解得：m＝4，n＝﹣2，
∴Q（﹣2，﹣2）；
综上，Q（﹣，﹣）；Q（﹣2，﹣2）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题．学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
86
85
b
56
八年级
86.1
a
88
33.2
已种菜苗天数x/天
0
2
4
6
8
…
甲种菜苗高度y1/cm
3
6
9
12
15
…
乙种菜苗高度y2/cm
8
10
12
14
16
…
调查主题
课桌挂钩顶端到地面距离的计算
调查方式
测量，查看说明书
测量图示
元素
EF
AB
BC
CD
∠ABC
∠BCD
∠CDP
数据
83cm
90°
90°
45°
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
D
D
B
D
C
A
D
学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
86
85
b
56
八年级
86.1
a
88
33.2
已种菜苗天数x/天
0
2
4
6
8
…
甲种菜苗高度y1/cm
3
6
9
12
15
…
乙种菜苗高度y2/cm
8
10
12
14
16
…
调查主题
课桌挂钩顶端到地面距离的计算
调查方式
测量，查看说明书
测量图示
元素
EF
AB
BC
CD
∠ABC
∠BCD
∠CDP
数据
83cm
90°
90°
45°