2024-2025学年广东省广州市荔湾区八年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市荔湾区八年级上学期期末数学试卷（含答案），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在显微镜下，有一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为0.00000078米，这个数用科学记数法表示为7.8×10n，则n的值为（ ）
A．7B．6C．﹣7D．﹣6
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+2）2＝a2+4B．（3a2）3＝27a6
C．(1a)-1=-aD．ba=b2a2
4．（3分）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．3（a+b）＝3a+3bB．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1
C．a2+2a+4＝（a+2）2D．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）
5．（3分）如果（x+m）（x+3）＝x2﹣x﹣12，则m的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
6．（3分）若长度分别为a，4，7的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．11B．4C．3D．2
7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
8．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．40°B．64°C．76°D．86°
9．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为（2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）
A．（0，1）B．（3，1）C．（1，﹣1）D．（0，0）
10．（3分）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2；在射线AD上取点F连接BF，CF，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（ ）
A．nB．2n﹣1C．n(n+1)2D．3（n+1）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）平面直角坐标系中，点（1，2）与点 关于y轴对称．
12．（3分）若分式x-1x-2有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）若实数a、b满足a+b＝5，a2b+ab2＝﹣15，则ab的值是 ．
14．（3分）已知一个正多边形每个内角都是120°，则这个正多边形共有 条对角线．
15．（3分）如图，在△ABC中，点M在BC边上，MN⊥AC，垂足为N，MN平分∠AMC，△ABM的周长为18，AN＝3，则△ABC的周长为 ．
16．（3分）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边作△ACD，满足AC＝AD，点E为BC上一点，连接AE，DE，∠CAD＝2∠BAE．有下列结论：①∠ACB＝∠ADE；②AC⊥DE；③DE﹣BE＝BE+CE；④若CD∥AB，则AE⊥AD．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）计算：
（1）（2a）3（﹣5ab2）；
（2）（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）．
18．（4分）解分式方程：
1x+3-1x-3=2xx2-9．
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1）且与x轴平行．
（1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，并写出点A′的坐标；
（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，点P关于直线l的对称点为Q，且PQ＝6，则b的值为 ．
20．（6分）先化简：(x-3xx+1)÷x2-4x+4x+1，然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
21．（8分）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4）．
（1）求原来的二次三项式；
（2）将（1）中的二次三项式分解因式．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若E是AB的中点，CD＝4，求BD的长．
23．（10分）某景区有一片蔬果采摘园，小荔决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆的采摘价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬果一共支付了210元，其中西红柿比土豆少40千克．
（1）求西红柿和土豆各采摘了多少千克；
（2）小荔计划参加爱心义卖活动，将采摘的部分蔬果拿去义卖，已知西红柿和土豆的义卖所得分别是60元和90元，西红柿的义卖单价是土豆义卖单价的2倍，土豆比西红柿多卖出12千克，求土豆和西红柿各自的义卖单价（列分式方程解应用题）．如果小荔将采摘的蔬果全部义卖出去，那么扣除采摘成本后，义卖所得是多少元．
24．（12分）为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表：
（1）由第一小组的方案可知，河宽AB的长度就是线段 的长度；
（2）第二小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于2∠AOB的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在BD左侧．他们认为只要测得DF和FH的长就可求出河宽AB的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由；
（3）请你代表第三小组设计一个测量方案，把测量方案和测量方案示意图填入表格，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并证明方案的可行性．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足a2+2ab+b2+（b﹣6）2＝0，点D为线段AB上一动点，连接OD．
（1）直接写出a＝ ，b＝ ；
（2）点P是射线OD上一点，连接PA，PB，AO＝BP，∠APD＝30°．求△PBO的面积；
（3）在（2）的条件下，点E是线段AB上一动点，以OE为边在OE上方作等边△OEF，连接DF．若OD＝a，求OF+DF的最小值（结果用含a的式子表示）．
2024-2025学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D的美术字不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在显微镜下，有一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为0.00000078米，这个数用科学记数法表示为7.8×10n，则n的值为（ ）
A．7B．6C．﹣7D．﹣6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵0.00000078＝7.8×10﹣7，
∴n等于﹣7．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+2）2＝a2+4B．（3a2）3＝27a6
C．(1a)-1=-aD．ba=b2a2
【分析】根据完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂、分式的基本性质逐项判断即可．
【解答】解：A、（a+2）2＝a2+4a+4，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（3a2）3＝27a6，计算正确，故此选项符合题意；
C、(1a)-1=a，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、不一定成立，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂、分式的基本性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
4．（3分）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．3（a+b）＝3a+3bB．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1
C．a2+2a+4＝（a+2）2D．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【解答】解：3（a+b）＝3a+3b是乘法运算，则A不符合题意；
a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1中等号右边不是积的形式，则B不符合题意；
a2+2a+4≠（a+2）2，则C不符合题意；
a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（3分）如果（x+m）（x+3）＝x2﹣x﹣12，则m的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x+m）（x+3），再根据已知条件，列出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（x+m）（x+3）
＝x2+3x+mx+3m
＝x2+（3+m）x+3m，
∵（x+m）（x+3）＝x2﹣x﹣12，
∴3+m＝﹣1，
解得：m＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
6．（3分）若长度分别为a，4，7的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．11B．4C．3D．2
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到3＜a＜11，即可得到答案．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：7﹣4＜a＜7+4，
∴3＜a＜11，
∴a的值可以是4．
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解．
【解答】解：在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=CDAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AE就是∠PRQ的平分线，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
8．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．40°B．64°C．76°D．86°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠2，再利用全等三角形的性质求解．
【解答】解：如图，在第一个三角形中，∠2＝180°﹣40°﹣64°＝76°．
由全等三角形的性质可知∠1＝∠2＝76°．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
9．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为（2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）
A．（0，1）B．（3，1）C．（1，﹣1）D．（0，0）
【分析】到△ABC三个顶点距离相等的点是AB与AC的垂直平分线的交点，进而得出其坐标．
【解答】解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O，
∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0），
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．（3分）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2；在射线AD上取点F连接BF，CF，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（ ）
A．nB．2n﹣1C．n(n+1)2D．3（n+1）
【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
【解答】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，
∴∠BAD＝∠CAD．
在△ABD与△ACD中AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDE中EB=ECBD=CDDE=DE，
∴△BDE≌△CDE（SSS），
∴图2中有1+2＝3对三角形全等；
同理：图3中有1+2+3＝6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是n(n+1)2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）平面直角坐标系中，点（1，2）与点 （﹣1，2） 关于y轴对称．
【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案．
【解答】解：平面直角坐标系中，点（1，2）与点（﹣1，2）关于y轴对称．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
12．（3分）若分式x-1x-2有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：根据题意得x﹣2≠0，
∴x≠2，
故答案为：x≠2
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
13．（3分）若实数a、b满足a+b＝5，a2b+ab2＝﹣15，则ab的值是 ﹣3 ．
【分析】由a2b+ab2＝﹣15知ab（a+b）＝﹣15，结合a+b＝5可得答案．
【解答】解：∵a2b+ab2＝﹣15，
∴ab（a+b）＝﹣15，
又∵a+b＝5，
∴ab＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查因式分解﹣提公因式法，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
14．（3分）已知一个正多边形每个内角都是120°，则这个正多边形共有 9 条对角线．
【分析】先根据正多边形内角和定理求出其边数，再根据多边形的对角线条数公式计算即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
根据题意得，（n﹣2）×180°＝120°n，
解得n＝6，
∴正六边形共有6×(6-3)2=9条对角线，
故答案为：9．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的对角线，熟记多边形内角和定理以及多边形对角线条数的计算公式是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，点M在BC边上，MN⊥AC，垂足为N，MN平分∠AMC，△ABM的周长为18，AN＝3，则△ABC的周长为 24 ．
【分析】根据角平分线+垂直构造△AMN≌△CMN，然后利用全等三角形的性质可得AM＝CM，AN＝CN＝3，从而利用等量代换进行计算即可解答．
【解答】解：∵MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠CMN，
∵MN⊥AC，
∴∠ANM＝∠CNM＝90°，
∵MN＝MN，
∴△AMN≌△CMN（ASA），
∴AM＝CM，AN＝CN＝3，
∵△ABM的周长为18，
∴AB+BM+AM＝18，
∴AB+BM+CM＝AB+BC＝18，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝18+3+3＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（3分）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边作△ACD，满足AC＝AD，点E为BC上一点，连接AE，DE，∠CAD＝2∠BAE．有下列结论：①∠ACB＝∠ADE；②AC⊥DE；③DE﹣BE＝BE+CE；④若CD∥AB，则AE⊥AD．其中正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】根据∠CAD＝2∠BAE．且∠ABC＝90°，要构造2倍的∠BAC，故延长EB至G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EAD，且AE＝AG，接着证明△GAC≌△EAD（SAS），则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设∠BAE＝x，则∠DAC＝2x，因为CD∥AB，所以∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，接着用x表示出∠EAC，再计算出∠DAE＝90°，故③是正确的，当∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故②是错误的．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，△ACD中，AC＝AD，如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠EAB=12∠DAC，
∴∠BAE=12∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
AG=AE∠GAC=∠EADAC=AD，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
故①正确，该选项符合题意；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
故②是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC=12（180°﹣2x）＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
故③正确，该选项符合题意；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴DE﹣BE＝BE+CE，
故④正确，该选项符合题意；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求．
三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）计算：
（1）（2a）3（﹣5ab2）；
（2）（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）．
【分析】（1）原式利用积的乘方运算法则计算和利用单项式乘单项式法则计算即可；
（2）原式利用平方差公式，去括号合并即可．
【解答】解：（1）（2a）3（﹣5ab2）
＝8a3•（﹣5ab2）
＝﹣40a4b2；
（2）（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）
＝a2﹣1﹣a+1
＝a2﹣a．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（4分）解分式方程：
1x+3-1x-3=2xx2-9．
【分析】先整理分式方程，然后方程两边同乘（x+3）（x﹣3），将分式方程化为整式方程求解即可．
【解答】解：1x+3-1x-3=2xx2-9，
方程可化为1x+3-1x-3=2x(x+3)(x-3)，
方程两边同乘（x+3）（x﹣3），得（x﹣3）﹣（x+3）＝2x，
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣3）＝0，不是分式方程的解，
所以原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1）且与x轴平行．
（1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，并写出点A′的坐标；
（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，点P关于直线l的对称点为Q，且PQ＝6，则b的值为 4 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）由题意得，点Q的坐标为（a，2﹣b），即可得b﹣（2﹣b）＝6，求出b的值即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
由图可得，点A′的坐标为（﹣3，﹣3）．
（2）∵点P（a，b）关于直线l的对称点为Q，
∴点Q的坐标为（a，2﹣b），
∵PQ＝6，
∴b﹣（2﹣b）＝6，
解得b＝4，
∴b的值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（6分）先化简：(x-3xx+1)÷x2-4x+4x+1，然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合条件的x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（x2+xx+1-3xx+1）÷(x-2)2x+1
=x(x-2)x+1•x+1(x-2)2
=xx-2，
∵x+1≠0且x﹣2≠0，
∴x≠﹣1且x≠2，
则可取x＝0，
原式＝0．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21．（8分）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4）．
（1）求原来的二次三项式；
（2）将（1）中的二次三项式分解因式．
【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则计算（x﹣1）（x﹣9）和（x﹣2）（x﹣4），再根据两个同学的计算结果，确定原多项式即可；
（2）根据（1）中所求原多项式，利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣9）
＝x2﹣9x﹣x+9
＝x2﹣10x+9，
（x﹣2）（x﹣4）
＝x2﹣4x﹣2x+8
＝x2﹣6x+8，
∴原来的二次三项式为：x2﹣6x+9；
（2）x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式和分解因式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和几种常见的分解因式的方法．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若E是AB的中点，CD＝4，求BD的长．
【分析】（1）证明△ACD和△AED全等即可得出结论；
（2）证明DE是AB的垂直平分线得BD＝AD，则∠B＝∠EAD＝∠CAD＝α，再根据∠B+∠BAC＝90°得α＝30°，然后在Rt△ACD中，根据CD＝4，∠CAD＝30°可得出AD的长，进而可得BD的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴设∠CAD＝∠EAD＝α，
∴∠BAC＝2α，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠DEA＝90°，CD＝CE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
CD=CEAD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE；
（2）解：∵点E是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠B＝∠EAD＝α，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴α+2α＝90°，
∴α＝30°，
∴∠CAD＝α＝30°，
在Rt△ACD中，CD＝4，∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝8，
∴BD＝AD＝8．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，含有30°角的直角三角形的性质，理解角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
23．（10分）某景区有一片蔬果采摘园，小荔决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆的采摘价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬果一共支付了210元，其中西红柿比土豆少40千克．
（1）求西红柿和土豆各采摘了多少千克；
（2）小荔计划参加爱心义卖活动，将采摘的部分蔬果拿去义卖，已知西红柿和土豆的义卖所得分别是60元和90元，西红柿的义卖单价是土豆义卖单价的2倍，土豆比西红柿多卖出12千克，求土豆和西红柿各自的义卖单价（列分式方程解应用题）．如果小荔将采摘的蔬果全部义卖出去，那么扣除采摘成本后，义卖所得是多少元．
【分析】（1）设西红柿采摘了x千克，土豆采摘了y千克，根据采摘这两种蔬果一共支付了210元，其中西红柿比土豆少40千克，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设土豆义卖单价为m元/千克，则西红柿的义卖单价为2m元/千克，根据西红柿和土豆的义卖所得分别是60元和90元，土豆比西红柿多卖出12千克，列出分式方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）设西红柿采摘了x千克，土豆采摘了y千克，
根据题意得：x=y-406x+3y=210，
解得：x=10y=50，
答：西红柿采摘了10千克，土豆采摘了50千克；
（2）设土豆义卖单价为m元/千克，则西红柿的义卖单价为2m元/千克，
根据题意得：90m-602m=12，
解得：m＝5，
经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意，
∴土豆义卖单价为5元/千克，西红柿的义卖单价为10元/千克，
∴扣除采摘成本后，义卖所得是10×10+50×5﹣210＝140（元），
答：扣除采摘成本后，义卖所得是140元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
24．（12分）为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表：
（1）由第一小组的方案可知，河宽AB的长度就是线段 BC 的长度；
（2）第二小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于2∠AOB的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在BD左侧．他们认为只要测得DF和FH的长就可求出河宽AB的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由；
（3）请你代表第三小组设计一个测量方案，把测量方案和测量方案示意图填入表格，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并证明方案的可行性．
【分析】（1）根据已知条件可判定△ABC是等腰直角三角形，据此可得河宽AB的长度就是线段BC的长度；
（2）延长AH交DF的延长线于点E，先证明△ABO和△EDO全等得AB＝DE，∠BAO＝∠E，设∠AOB＝α，则∠BAO＝∠E＝90°﹣α，再根据∠EFH＝2∠AOB＝2α可求出∠FHE＝180°﹣（∠E+∠EFH）＝90°﹣α，由此得∠FHE＝∠E＝90°﹣α，则EF＝FH，进而DE＝DF+EF＝DF+FH，据此可得出答案；
（3）观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD＝∠ACB＝65°，CD交AB延长线于D，河宽AB的长等于线段BD的长，证明△ABC和△DBC全等即可．
【解答】解：（1）∵AB⊥BC，∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACB＝∠CAB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB，
∴河宽AB的长度就是线段BC的长度．
故答案为：BC；
（2）第二小组的方案可行，证明如下：
∵点A，O，H在一条直线上且点H在BD左侧，
∴延长AH交DF的延长线于点E，如图4所示：
∵O是BD的中点，AB⊥BD，DE⊥BD，
∴OB＝OD，∠ABO＝∠EDO＝90°，
在△ABO和△EDO中，
∠ABO=∠EDO=90°∠AOB=EOBOB=OD，
∴△ABO≌△EDO（AAS），
∴AB＝DE，∠BAO＝∠E，
设∠AOB＝α，则∠BAO＝∠E＝90°﹣α，
又∵∠EFH＝2∠AOB＝2α，
∴在△EFH中，∠FHE＝180°﹣（∠E+∠EFH）＝180°﹣（90°﹣α+2α）＝90°﹣α，
∴∠FHE＝∠E＝90°﹣α，
∴EF＝FH，
∴DE＝DF+EF＝DF+FH，
∴AB＝DF+FH，
故第二小组的方案可行．
（3）第三小组的设计方法是：
观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD＝∠BCA＝65°，CD交AB延长线于D，
此时线段BD的长就是河宽AB长，理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠DBC＝90°，
在△ABC和△DBC中，
∠ABC=∠DBC=90°BC=BC∠BCD=∠BCA
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴BD＝AB，
∴河宽AB的长等于线段BD的长．
【点评】本题主要考查全等三角形的应用，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足a2+2ab+b2+（b﹣6）2＝0，点D为线段AB上一动点，连接OD．
（1）直接写出a＝ ﹣6 ，b＝ 6 ；
（2）点P是射线OD上一点，连接PA，PB，AO＝BP，∠APD＝30°．求△PBO的面积；
（3）在（2）的条件下，点E是线段AB上一动点，以OE为边在OE上方作等边△OEF，连接DF．若OD＝a，求OF+DF的最小值（结果用含a的式子表示）．
【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题．
（2）如图，分别过A，B作OD的垂线，垂足分别为E，M．利用全等三角形的性质以及直角三角形30度角的性质证明PA＝OP即可解决问题．
（3）如图，以OB为边在y轴右侧作等边△OBG，连接GF．证明△OEB≌△OFG（SAS），得出∠OGF＝∠OBE＝45°，即点F在与OG夹角为45°的直线GF上运动，作点D关于FG的对称点T，设直线GF交AB于点F′，连接OF′，TF′．证出O，F′，T共线，则DF+OF的最小值＝线段OT的长，可得结论．
【解答】解：（1）∵a2+2ab+b2+（b﹣6）2＝0，
∴（a+b）2+（b﹣6）2＝0，
∴a+b＝0，b＝6，
∴a＝﹣6，b＝6，
故答案为：﹣6，6；
（2）如图，分别过A，B作OD的垂线，垂足分别为E，M．
∵∠BMO＝∠AEO＝∠AOB＝90°，
∴∠BOM+∠OBM＝90°，∠BOM+∠AOE＝90°，
∴∠AOE＝∠OBM，
∵BO＝AO，
∴△AEO≌△OMB（AAS），
∴OE＝BM，AE＝OM，
∵∠APD＝30°，
∴PA＝2AE＝2OM，
∵BP＝BO＝AO，BM⊥OP，
∴OM＝MP，
∴PA＝PO，
过P作PF⊥OA，
∴OF=12OA＝3，
∴△PBO的面积=12×OB×3=12×6×3=9；
（3）如图，以OB为边在y轴右侧作等边△OBG，连接GF．
∵∠EOF＝∠BOG＝60°，
∴∠EOB＝∠FOG，
∵OE＝OF，OB＝OG，
∴△OEB≌△OFG（SAS），
∴∠OGF＝∠OBE＝45°，即点F在与OG夹角为45°的直线GF上运动，
作点D关于FG的对称点T，设直线GF交AB于点F′，连接OF′，TF′．
∵∠DOG＝60°+75°＝135°，∠OGF＝45°，
∴∠DOG+∠OGF＝180°，
∴OD∥GF，
由（2）知∠ODB＝60°，
∴当点F与F′重合时，点E与D重合，此时△ODF′是等边三角形，
∵DT⊥FG，
∴OD⊥DT，
∴∠TDO＝90°，
∵∠ADO＝60°，
∴∠F′DT＝90°﹣60°＝30°，
∵DF′＝F′T，
∴∠T＝∠TDF′＝30°，
∴∠DF′T＝120°，
∴∠DF′O+∠DF′T＝180°，
∴O，F′，T共线，
∴DF+OF的最小值＝线段OT的长，
∵OT＝2OD＝2a，
∴OF+DF的最小值为2a．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．课题
测量河流宽度
工具
测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺
小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
如图1，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得∠ACB＝45°．
如图2，从点B向正南方向走到点D，O是BD的中点，继续从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点A，O，E在一条直线上．

测量方案示意图



题号
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
答案
A
C
B
D
A
B
A
C
D
C
课题
测量河流宽度
工具
测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺
小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
如图1，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得∠ACB＝45°．
如图2，从点B向正南方向走到点D，O是BD的中点，继续从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点A，O，E在一条直线上．
从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD＝∠BCA＝65°，CD交AB延长线于D
测量方案示意图