2022-2023学年广东省广州市荔湾区八年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市荔湾区八年级上学期期末数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A．笛卡尔爱心曲线B．蝴蝶曲线
C．费马螺线曲线D．科赫曲线
2．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．x≠3B．x＝±3C．x＝3D．x＝﹣3
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6B．a2•a3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5
4．（3分）“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（ ）
A．3×10﹣6B．3×10﹣7C．0.3×10﹣6D．0.3×10﹣7
5．（3分）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x+2＝x（1+）D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
7．（3分）如图，AD＝BC，AC＝BD，则下列结论中，不正确的是（ ）
A．OA＝OBB．OC＝ODC．∠C＝∠DD．∠OAB＝∠DBA
8．（3分）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．10B．8C．7D．4
9．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．4.8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
11．（3分）已知点A（a，﹣2）和点B（8，b）关于y轴对称，那么a+b＝ ．
12．（3分）若x2﹣2mx+1是一个完全平方式，则m的值为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B＝ °．
14．（3分）如图，BE是△ABC的中线，点D是BC边上一点，BD＝2CD，BE、AD交于点F，若△ABC的面积为24，则S△BDF﹣S△AEF等于 ．
15．（3分）若+＝3，则的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°﹣∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有 （填写序号）．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：（x﹣2y）（x+2y）﹣y（x﹣4y）．
18．（4分）解方程：．
19．（6分）分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．
20．（6分）先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a＝2．
21．（8分）如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个△ABC．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）写出点A'、B'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
22．（10分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE∥DF，AE＝DF，AB＝CD．
（1）求证：△AEC≌△DFB．
（2）若∠A＝40，∠ECD＝145°，求∠F的度数．
23．（10分）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
24．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点O、点P分别在射线AD、BA上运动，且保证∠OCP＝60°，连接OP．
（1）当点O运动到D点时，如图1，求AP的长度；
（2）当点O运动到D点时，如图1，试判断△OPC的形状并证明；
（3）当点O在射线AD其它地方运动时，△OPC还满足（2）的结论吗？请用图2说明理由．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，2），C（﹣1，﹣1），且∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，若BC交y轴于点M，AB交x轴于点N，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，请探究线段MN，ME，NF的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若在点B处有一个等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，连接AG，点H为AG的中点，试猜想线段DH与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结论．
2022-2023学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。）
1．（3分）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A．笛卡尔爱心曲线B．蝴蝶曲线
C．费马螺线曲线D．科赫曲线
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．x≠3B．x＝±3C．x＝3D．x＝﹣3
【分析】利用分式值为零的条件得到|x|﹣3＝0且3x﹣9≠0，求解即可．
【解答】解：根据题意得：
|x|﹣3＝0且3x﹣9≠0，
解得x＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了分式值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6B．a2•a3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5
【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方解决此题．
【解答】解：A．根据幂的乘方，得（a2）3＝a6，故A符合题意．
B．根据同底数幂的乘法，得a2•a3＝a5，故B不符合题意．
C．根据积的乘方，得（2a）3＝8a3，故C不符合题意．
D．根据同底数幂的除法，得a10÷a2＝a8，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方是解决本题的关键．
4．（3分）“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（ ）
A．3×10﹣6B．3×10﹣7C．0.3×10﹣6D．0.3×10﹣7
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.0000003＝3×10﹣7．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
5．（3分）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用分式性质依次判断．
【解答】解：当a＝3，b＝4时，＝，＝，
∴A不成立
＝，
∴B不成立．
＝．
∴D不成立．
故选：C．
【点评】本题考查分式性质，掌握分式性质，正确对分式进行化简是求解本题的关键．
6．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x+2＝x（1+）D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
7．（3分）如图，AD＝BC，AC＝BD，则下列结论中，不正确的是（ ）
A．OA＝OBB．OC＝ODC．∠C＝∠DD．∠OAB＝∠DBA
【分析】根据全等三角形的性质得到∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AD＝BC，由等腰三角形的判定得到OA＝OB，于是得到OC＝OD，由于∠DBA＞∠CBA，得到∠DBA＞∠OAB，即可得到结论．
【解答】证明：在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SSS），
∴∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AD＝BC，
∴OA＝OB，
∴AD﹣AO＝BC﹣BO，
即OC＝OD，
∴A，B，C选项正确，
∵∠DBA＞∠CBA，
∴∠DBA＞∠OAB，
∴D选项错误，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8．（3分）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．10B．8C．7D．4
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
m的长大于0而小于8．
故选：C．
【点评】考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．
9．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．4.8
【分析】先作CE垂直AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值．
【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CE＝AC•BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使CM+MN最小时的动点M和N．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
11．（3分）已知点A（a，﹣2）和点B（8，b）关于y轴对称，那么a+b＝ ﹣10 ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：∵点A（a，﹣2）和B（8，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣8，b＝﹣2，
那么a+b＝﹣8﹣2＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握对称点的坐标规律是关键．
12．（3分）若x2﹣2mx+1是一个完全平方式，则m的值为 ±1 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2﹣2mx+1是一个完全平方式，
∴m＝±1．
故答案为：±1．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B＝ 25 °．
【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可．
【解答】解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝，
∵∠BAC＝105°，
∴∠DAC＝105°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+105°﹣＝180°，
解得：α＝50°，
∴∠B＝∠BAD＝＝25°，
故答案为：25．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，BE是△ABC的中线，点D是BC边上一点，BD＝2CD，BE、AD交于点F，若△ABC的面积为24，则S△BDF﹣S△AEF等于 4 ．
【分析】根据三角形面积公式，利用AE＝CE，S△BCE＝12，利用CD＝BC得到S△ACD＝8，然后计算S△BCE﹣S△ACD即可．
【解答】解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴S△BCE＝S△ABC＝×24＝12，
∵BD＝2CD，
即CD＝BC，
∴S△ACD＝S△ABC＝×24＝8，
∴S△BCE﹣S△ACD＝12﹣8＝4，
即S△BDF﹣S△AEF＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S＝×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
15．（3分）若+＝3，则的值为 ．
【分析】变形已知为a+b＝n的形式，然后整体代入得结果．
【解答】解：∵+＝3，
∴＝3，即b+a＝3ab，
则＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是利用整体代入．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°﹣∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有 ①③④ （填写序号）．
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC＝90°﹣∠A错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，故④正确．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②错误；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故答案为：①③④．
【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：（x﹣2y）（x+2y）﹣y（x﹣4y）．
【分析】观察所求的式子发现，被减式满足平方差公式的特征，减式为单项式乘多项式，去括号并合并同类项即可得到最后结果．
【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣xy+4y2
＝x2﹣xy．
【点评】此题考查了多项式的乘法公式，以及合并同类项的法则．其中多项式的乘法公式有两个：平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2和完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．掌握这两公式的特征是解本题的关键．
18．（4分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），
得整式方程（x﹣1）2﹣2＝x2﹣1，
解得：x＝0，
检验：当x＝0时，（x+1）（x﹣1）≠0．
所以原分式方程的解为x＝0．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（6分）分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．
【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2
＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）
＝（m﹣2）（x2﹣y2）
＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
20．（6分）先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a＝2．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝•
＝2a（a+2）
＝2a2+4a，
当a＝2时，原式＝2×22+4×2
＝8+8
＝16．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21．（8分）如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个△ABC．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）写出点A'、B'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据图形即可写出点A'、B'的坐标；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）由图可知点A'的坐标为（3，2），点B'的坐标为（4，﹣3）；
（3）△ABC的面积为3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
22．（10分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE∥DF，AE＝DF，AB＝CD．
（1）求证：△AEC≌△DFB．
（2）若∠A＝40，∠ECD＝145°，求∠F的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△DFB；
（2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】（1）证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AC＝DB，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
（2）解：∵∠ECD＝145°，∠A＝40，
∴∠E＝105，
∵△AEC≌△DFB，
∴∠F＝∠E＝105．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23．（10分）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
【分析】（1）根据从甲地行驶到乙地的路程相等列出分式方程解答即可；
（2）根据所需费用不超过50元列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，
可得：，
解得：x＝0.3，
经检验x＝0.3是原方程的解，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3＝100千米；
（2）汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5＝0.8元，
设汽车用电行驶ykm，
可得：0.3y+0.8（100﹣y）≤50，
解得：y≥60，
所以至少需要用电行驶60千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点O、点P分别在射线AD、BA上运动，且保证∠OCP＝60°，连接OP．
（1）当点O运动到D点时，如图1，求AP的长度；
（2）当点O运动到D点时，如图1，试判断△OPC的形状并证明；
（3）当点O在射线AD其它地方运动时，△OPC还满足（2）的结论吗？请用图2说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝30°，求得∠ACP＝30°，证明△ACD≌△ACP，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定可得出结论；
（3）过C作CE⊥AP于E，根据等边三角形的性质得到CD＝CE，根据全等三角形的性质得到OC＝OP，由等边三角形的判定即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∵∠OCP＝60°，
∴∠ACP＝30°，
∵∠CAP＝180°﹣∠BAC＝60°，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴∠DAC＝∠BAD＝60°，
在△ADC与△APC中，
，
∴△ACD≌△ACP（ASA），
∴AD＝AP，
∵AC＝4，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
∴AP＝2；
（2）△OPC是等边三角形．
证明：∴△ACD≌△ACP，
∴DC＝CP＝OC，
∵∠OCP＝60°，
∴△OPC是等边三角形．
（3）△OPC还满足（2）的结论，
理由：过C作CE⊥AP于E，
∵∠CAD＝∠EAC＝60°，
AD⊥CD，
∴CD＝CE，
∴∠DCE＝60°，
∴∠OCE＝∠PCE，
在△OCD与△PCE中，
，
∴△OCD≌△PCE（AAS），
∴OC＝OP，
∴△OPC是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，2），C（﹣1，﹣1），且∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，若BC交y轴于点M，AB交x轴于点N，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，请探究线段MN，ME，NF的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若在点B处有一个等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，连接AG，点H为AG的中点，试猜想线段DH与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）如图1中，过点C作CT⊥y轴于点T，过点B作BH⊥CT交CT的延长线于点H．证明△ATC≌△CHB（AAS），推出AT＝CH＝3，CT＝BH＝1，可得结论；
（2）结论：MN＝ME+NF．证明△BFN≌△BEK（SAS），推出BN＝BK，∠FBN＝∠EBK，再证明△BMN≌△BMK（SAS），推出MN＝MK，可得结论；
（3）结论：DH＝CH，DH⊥CH．如图3中，延长DH到J，使得HJ＝DH，连接AJ，CJ，延长DG交AC于点M．证明△JDC是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，过点C作CT⊥y轴于点T，过点B作BH⊥CT交CT的延长线于点H．
∵A（0，2），C（﹣1，﹣1），
∴OA＝2，OT＝CT＝1，
∴AT＝2+1＝3，
∵∠ACB＝∠ATC＝∠H＝90°，
∴∠CAT+∠ACT＝90°，∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CAT＝∠BCH，
∵CA＝CB，
∴△ATC≌△CHB（AAS），
∴AT＝CH＝3，CT＝BH＝1，
∴TH＝CH﹣CT＝2，
∴B（2，﹣2）；
（2）结论：MN＝ME+NF．
理由：在射线OE上截取EK＝FN，连接BK．
∵B（2，﹣2），BE⊥y轴，BF⊥x轴，
∴BE＝BF＝2，∠BEO＝∠BFO＝∠EOF＝90°，
∴四边形BEOF是矩形，
∴∠EBF＝90°，
∵EK＝FN，∠BFN＝∠BEK＝90°，
∴△BFN≌△BEK（SAS），
∴BN＝BK，∠FBN＝∠EBK，
∴∠NBK＝∠FBE＝90°，
∵∠MBN＝45°，
∴∠MBN＝∠BMK＝45°，
∵BM＝BM，
∴△BMN≌△BMK（SAS），
∴MN＝MK，
∵MK＝ME+EK，
∴MN＝EM+FN；
（3）结论：DH＝CH，DH⊥CH．
理由：如图3中，延长DH到J，使得HJ＝DH，连接AJ，CJ，延长DG交AC于点M．
∵AH＝HG，∠AHJ＝∠GHD，HJ＝HD，
∴△AHJ≌△GHD（SAS），
∴AJ＝DG，∠AJH＝∠DGH，
∴AJ∥DM，
∴∠JAC＝∠AMD，
∵DG＝BD，
∴AJ＝BD，
∵∠MCB＝∠BDM＝90°，
∴∠CBD+∠CMD＝180°，
∵∠AMD+∠CMD＝180°，
∴∠AMD＝∠CBD，
∴∠CAJ＝∠CBD，
∵CA＝CB，
∴△CAJ≌△CBD（SAS），
∴CJ＝CD，∠ACJ＝∠BCD，
∴∠JCD＝∠ACB＝90°，
∵JH＝HD，
∴CH⊥DJ，CH＝JH＝HD，
即CH＝DH，CH⊥DH．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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